“因数与倍数”是人教版五年级下册第二单元的第一课时。
学生在学习整数、小数的乘除法时对因数与倍数有一定的认识，只局限于乘法、除法算式中各数的名称。与本单元的“因数”“倍数”却是含义不同的，本单元是从数与数之间的关系进行研究。这无疑增加了学生学习的困难。且看吴正宪老师是如何突破教学难点的。
镜头一:在交流与碰撞中展现学生的原有认知
师:今天这节课我们聊这样一个话题(板书:因数和倍数)。此时此刻在你们心目中因数和倍数是什么样的？举个例子说说什么是因数，什么是倍数。
生1:乘法里有因数，比如说2x3=6，2和3都是因数。
师:你举的例子真好!我们把它记录在黑板上，关于2和3就有故事，比如一支笔卖2元，买3支，就用2x3=6表示。又比如一支笔卖 0.2元，买3支笔，该怎么列算式？
生1:算式是 0.2x3=0.6.
师:你们认为这里面谁是因数呢？
生1:0.2和3都是因数。
师:我听懂了，你们认为在乘法算式里乘号前面的数和后面的数都是因数。那么倍数去哪里找？
生 2:倍数就是乘法算式中的积，比如6就是2的3倍，6就是一个倍数。
生3:我觉得把乘法变成除法，更容易找到倍数。
师:你也举个例子，可以换一个例子。
生3:比如2x4=8，变成除法就是8÷2=4，8就是倍数。
生 4:我认为 4是倍数。
师:又有不同的声音了，你的意思是8÷2=4，4就是倍数？不急，8元钱真的是2元钱的4倍，8角钱也是2角钱的4倍，这里面有倍数吗？也就是0.8÷0.2=4，这里面有倍数吗？
生:4倍。
师:我听懂了，你们的意思是，在乘法算式“2x3=6”“0.2x 3=0.6”里，2、0.2和3都是因数。除法算式里更容易找到倍数，比如8÷2=4，有人认为8是倍数，还有人认为4是倍数。总之，你们的意思是要到乘法里去找因数，倍数则要到除法里去找。这是你们现在的认识，那么今天这节课我和你们一起讨论这个话题:到底什么是因数？什么是倍数？我们会给因数和倍数怎样的约定呢？
镜头二：在操作与分类中初步感知因数和倍数
师:如果有12个人要分成若干个小组，要求每个组的人数相等，可以把分的过程用磁扣摆一摆，谁来试试？如果碰到分不完的情况也没关系，可以提出来。请一名学生到前面分，其他同学把他分的过程用算式表达出来。
生1:(边摆磁扣边说)可以12个人分成2个小组，每组有6个人。
师:可以用哪些算式表达？
生1:2x6=12，12÷2=6，12÷6=2
师:真好，我们一口气写了一个乘法算式、两个除法算式，三个算式都能表示每组2个人，有6组。还可以怎样分组？怎样列式？
(学生第二次分:把12个人分成4个小组，每组3人。)
生:列式是3x4=12，12÷4=3，12÷3=4。
(学生第三次分:把12个人分成12 个小组，每组1人。)
列式是1x12=12，12÷1=12，12÷12=1。
师:像这样每摆出一种情况，你们就列出了一个乘法算式和两个除法算式。我想这样分(把磁扣分成了5、5、2三份），你们看看可以吗？
生2:(在犹豫中回答)不可以……
生3:可以，每组人数同样多，都是5个。
(教师微笑着点点头。)
师:假如这样分，5个人一组，怎样表达呢？
生：12个人分成两组，每组5人，还剩2人，算式是12÷5=2……2。
(教师移走了 12个磁扣，指着黑板上这些算式问学生有什么感觉，学生都说有点乱。)
师:现在黑板上出现了一堆乱糟糟的算式。如果想细致地研究它们，我们该怎么办呢？
生:分类。
师:(赞扬)对!分类是一种研究问题的重要的方法!只要有标准，我们就可以进行分类。你打算怎么归类？
生4:我想把乘法分一类，除法分一类。
师:很好，按照运算意义的不同进行分类。还打算怎么分类？
生5:我想把有小数的算式分成一类，把没有小数的算式分成一类。
生6:我想把乘法和除法分在一起，把12÷5÷2…2单独分成一类。
师:你们都用不同的标准对算式进行了不同的分类。老师也有老师的标准，今天我们研究因数和倍数，我把些算式分成两大类。(动手画了两个圈）你们看看吴老师的分类可以吗？
(学生观察两组算式，有人若有所思，有人充满疑惑，有人面露迷茫……)
师:(面露微笑地等待了片刻)同学们，第一个圈里的算式就存在着因数和倍数的关系。
师:我来举例说明。当算式表示成12÷2=6时，我们可以说12是6的倍数，6是12的因数;当然也可以说12是2的倍数，2是12的因数。最初你们认为，“乘法算式里乘号前面的数和后面的数都是因数”现在因数又跳进了除法中。我再举个例子:3x4=12，这时候我可以说3和4是12的因数，反过来12是3的倍数，12也是4的倍数，现在倍数又跳进了乘法里，是不是和你们先前的经验有点不大一样了？
但是今天我告诉你们，“0.2x3=6”算式里不存在因数和倍数的关系;在“0.8÷0.2=4”算式中，0.8是0.2的4倍，但是它们也不存在今天的因数和倍数关系;“12÷5=2……2”中也不存在因数和倍数的关系。我是按照什么分类的？
生：有无因数和倍数的关系。
师:接下来的研究任务给你们了，今天我们要给因数和倍数新的约定，你们要总结概括:在什么情况下才能说你是它的因数，它是你的倍数呢？希望每个同学先独立思考，然后小组商量商量。
(学生们开始了热烈讨论…)
镜头三:在讨论中深化因数和倍数的概念本质
师:发言的时候要充分提出不同的意见。总结过程中我们互相提问，看看谁能把倍数和因数真正的意义表达出来。不求全，一点点来。
(教师请第一组学生代表上台发言。)
生1:乘法里乘号前面和后面的数是因数，等号后面的数是倍数。
师:这是你们组的意见，只有在乘法里有因数和倍数吗？(其他学生不同意。)谁能给她提问题？你想问她什么？
生2:难道因数和倍数就只在乘法里有吗？除法里也有，比如12÷2=6，除号后面的2是因数，等号后面的6也是因数。
生1:(承认)因数和倍数应该在除法里也有。
师:(表扬生2)厉害了，孩子!那么该怎样说因数和倍数呢？
生3:在乘法里，乘号前面和后面的数是因数，等号后面的数是倍数;在除法里，除号后面和等号后面的数是因数，除号前面的数是倍数。
师:(问大家)他这样总结行不行？
生2:这样总结也不行，0.8÷0.2=4，这里有因数和倍数吗？
生3:(立刻表示同意)0.8÷0.2=4里没有因数和倍数。
师:问题出在哪儿呢？
生4:我们小组讨论的是，如果乘、除法里出现小数，就没有因数和倍数的关系。
师:你们换了个角度，说出了什么不是因数，什么不是倍数。如果数里面有小数，就没有倍数关系。
生4:对!如果这些数中有小数就不行。
师:越来逼近本质了，你们的意思是，要想知道是否存在因数、倍数关系就必须是什么数？
生:(齐答)整数。
师:学习就是在错错对对的讨论中进行的。第一个条件出来了，必须是整数，和我们过去说的不一样了，老经验遇到了新问题。所以我们说在乘、除法中的数必须是整数才有因数和倍数。
（教师把手慢慢地指向了黑板上的算式12÷5÷2………2。)
师:同学们有问题吗？
生5:你们看12÷5=2……2，这里的12、5和2都是整数，也在除法里，请问12是5的倍数吗？5是12的因数吗？
生:不是。
师:是整数也不行吗？12不正好是5的2.4倍吗？
生:2.4不是整数。
师:12和5都是整数，看来你们又要补充第二个条件了。
生 5:结果不能有余数。
生6:商必须是整倍数，2.4倍不是整倍数。
师:补充了第二个条件——必须是整倍数，没有余数。谁能总结两个数要是因数和倍数关系，条件是什么？
生7:第一，这两个数都得是整数，不包括小数；第二，结果没有余数。
生 8:我补充一条，加、减法不行，必须在乘、除法中才行。
(教师让学生在黑板上写下“乘、除法”“整数”“整倍数”三个关键词。关于因数、倍数的“限制条件”，学生从“两个数都要是整数，在乘、除法里出现，而且没有余数”慢慢地凝练成“两个整数只有存在着整倍数的关系，它们才有倍数和因数的关系”。）
师：总结得真不错!那我们再来举些例子吧。
生1:36÷6=6，36是6的倍数，6是36的因数。
生3:24÷8=3，24是8和3的倍数，8和3是 24的因数。
师:掌声送给他们!他们俩(生1和生3)今天立功了。虽然开始错了，但不急，我们错着错着就(生齐答“对了”)，聊着聊着就…(生齐答“会了”)，问着问着就……(生齐答“明白了”)。这就是探讨数学问题。
师:我们回过头看看上课之前我们的算式2x3=6，有没有因数和倍数的关系？
生:(齐答)有!
师:0.2x3=0.6里有没有倍数和因数关系？
生1:(肯定地说)没有!虽然在乘法里它的名字是因数，但是这个因数和我们今天学的不大一样，只是名称相同而已。
师:多会学习呀!那0.8÷0.2=4是整4倍，可以吗？
生:不可以。虽然它们是整倍数，正好4倍，却是两个小数相除，我们研究的前提是整数。
师:你们认定了 2x3=6、12÷3=4中存在着因数和倍数的关系，还能例吗？
生9:6x5=30，30就是5的倍数5 就是 30 的因数。
生10:49÷7=7，7是49的因数，49是7的倍数。
师:你们是从不同角度说的，那我也说一个“6是倍数”，同意吗？
生:不同意，6是谁的倍数？
师:6是2和3的倍数，可以吗？
生:可以。
师:可以说3是因数吗？
生:不可以!得说3是谁的因数，比如 3是6的因数。
师:(总结)因此一说因数和倍数，就是一组的。
(教师俯身问身边一个男孩叫什么名字。)
生 11:魏来。
师:这个名字真好，那如果我说魏来是哥哥？同意吗？
生:谁的哥哥？
师:对，得说魏来是弟弟妹妹的哥哥，弟弟妹妹的哥哥是魏来。所以，这时候的概念是你连着我，我连着你，一对一对地说的(边说边和魏来同学挽起了胳膊，连在一起)。
镜头四:在寻找联系中拓展学生对问题的认识
师:咱们一起来找找 36 的因数和倍数，先找因数，写在作业纸上。
师：我们一起来看一看同学们找的因数。(展示学生作品。)
生1:6、3、2、1，我找了4个。
生2:6、4、9，我找了3个。
生3:6、4、9、1、36，我找到了5个。
(其他学生陆续汇报:“我找了8个因数。”“我找了9个因数。”找了 10个因数。”)
师:36的因数，有人找的多，有人找的少，不着急，我们先看1号作品。这个同学怎么就找全了呢？他有什么经验吗？
36的因数有:1、2、3、4、6、9、12、18、36
生4:我发现她是按照顺序写的，所以找全了。我没有按照顺序找，找着找着就迷糊了，就没找全……
师:真会反思!再看看另一位同学的作品，你看出了什么？
36的因数有:1、36、2、18、3、12、4、9、6
生 5:第一位同学是按照顺序找的，第二位同学是成对找的。
师:一上来就找 36的因数挺有挑战的，现在你有什么好方法？
生 6:按顺序、一对一对地找。
生7:前边写1，后边写36；1后边再写2，36前边写18…
师:我懂你的意思了。这些数有的在前边，有的在后边，我就这样画一条直线，在最前边先点个点表示1，用一个磁扣代表；最后面这个点表示 36。(见下图)
师:1和36找完了，该找2和18了。谁来试试，并贴上同样颜色的磁扣？
(学生在数线上表示出36的因数。)
师：刚才这位同学在数线上找因数的时候，你们发现什么了？
生:些这因数贴得越来越近。
(此时教师拿起粉笔连线，见下图。）
师:那你们说说36的因数的个数一共有几个。
(齐答)9个因数，找全了。
师：咱们现在找36的倍数。36的1倍在哪儿？
(学生找到 36，贴上磁扣。一名学生继续找36的2倍，然后贴磁扣，其他学生数36的3倍、4倍、5倍、6倍、7倍、8倍、9倍…贴磁扣的学生说:。“黑板不够用了，没办法贴了。”)
师:是啊，现在没办法继续贴了，要是从墙这头穿过去还能不能继续找到更多的 36 的倍数？
生:(异口同声)能。
师:(追问)穿过你们学校还有没有？
生:有。
师:穿过你们所在的区还有没有？
生:还有。
师:那是否继续找？
生:不找了，因为它的倍数是无限的。
师:在这个数线模型当中，你们看到了什么，又想到了什么？
生8:我看到了36全部的9个因数，我想因数的个数是有限的。
师:在数线上看到这些因数越来越接近，能数清楚，在一个封闭图形里它的个数是有限的。（见下图）
师:所以我们研究它才有意义(板书:有限)。研究倍数的时候我们又发现了什么？
生 9:倍数的个数是无限的。
师:真是会思考!(板书:无限。)
生 10:我还发现 36 的头上有两个“点”，36 既是自己的倍数又是自己的因数。
师:真是好眼力!(板书:既、又)继续观察，在这些因数里还发现了什么？
生11:在36的这些因数当中，1是最小的因数，36是最大的因数，(教师板书:最小、最大。)
师:“数”这个大王国真是太丰富了，一个36你们就想到了这么多，以后还能不能发现其他什么呢？今天这节课就上到这里。
