沟通关联，感悟数概念本质的一致性 

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沟通关联，感悟数概念的一致性 

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老师们，大家好，今天这一讲，我们以建立树的概念为核心，和大家聊一聊如何通过沟通联系，引导学生感悟数概念本质的一致性。我们知道 2022 版的新的数学课程标准，确立了核心素养导向的课程目标，强调课程内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。由此可见，素养导向下的数学教学要突出整体化、结构化、一致性。那么数与运算，这是我们小学数学的第一个学习主题，这个内容包括整数、小数、分数三个不同数里的数，还包括加、减、乘、除四则运算。这么庞大的内容怎么去体现一致性呢？首先我们来看树概念，树概念的重点在于理解树的意义，学生要经历由数量到树的抽象过程，理解和掌握树概念，初步体会树是对树量的抽象，感悟树的概念本质上的一致性来形成数感和符号意识。数运算它的重点在于理解算理，掌握算法。学生要经历算法到算理的探索过程，感悟数与运算之间的密切联系，体会数与运算本质的一致性来形成运算能力和推理意识。

首先我们来看看数和运算之间它们的关联，如何在教学中体现它们的一致性。这一讲我们重点说树概念本质的一致性。数是对数量的抽象，不管是整数、小数、分数，它们都是对数量的抽象，数是对多少个单位的表达。整数、小数和分数都可以从技术单位和技术单位的个数这个角度来认识。孩子们入学了一年级，要走进数的世界。我们一起看四位同学四本书，四朵花，这都很具体的，可以在这具体中抽象出数字。

4、它的含义就在具体的、直观的、孩子们看得见的、生活中的故事中产生了。那么理解数的概念，我们要转换新的环境。离开了教室，推开学校的大门，跑来了四只小狗，路边有 4 棵树，开过四辆汽车，依然可以用符号 4 来表示。刚才是具体到抽象的过程，现在用抽象的概念去解释具体的事物。这就是对树的理解。经历具体抽象，再回到具体的过程，整数是这样，小数分数一样，譬如 3/ 5 圆、 3/ 5 米、 3/ 5 块，依然可以去掉量缸。抽象出 3/ 5，用 3/ 5 这个概念在引导孩子们在陌生的新环境中去解读它的意义。比如一本书 50 页，读了 3/ 5，读了多少页？就是把 50 页平均分成 5 份，表示这样的 3 份。我们知道数是对数量的抽象，还可以从数是多少个单位的表达这个角度来认识。继续看整数、小数、分数都是表达了多少个这样的技术单位？325 表示 3 个百， 2 个 15 个一小数，依然分数 2/ 3，它的意义是什么？把一个整体平均分成三份，表示这样的两份正确。

那么今天我们还要打开一扇窗，从单位的角度来认识，比如 2/ 3 就是一这个单位平均分成了 3 份，表示了两份一这个单位的细分的结果。2/ 3 还可以看作是两个 1/ 3 的累加g，可以从单位的细分，也可以从单位的累加这个维度来认识数是多少个单位的表达。有了这个维度，一是打通了整数、小数、分数、数亿之间的关联。二是建起了数以运算的桥梁，我们后面还要讲到运算，所有的运算都是单位的操作。那么在树概念建立的时候，我们能打开这扇窗，也是为后面奠定了基础。大家知道孩子们在一年级要学习 11- 20 数的认识，那么 11- 20 数的认识我们怎么理解？这些数在它的背后我们要涉及到哪些要素呢？比如技术单位、位置、进率，这都是认识树的核心要素，如何在一年级课的当中去体现呢？下面我们和老师们一起走进北京朝阳实验小学倪芳老师 11- 20 数的认识这节课我们节选了一些片段，大家先一起来分享。好，我们一起来看。

另外一个珠子，写一个位就能区分了。

其实在这上做个小标记就可以了，你看老师们都给你鼓掌了。你老师特别佩服你们，我真得和你握握手，因为你的想法和我们数学家的想法特别像，我们来一起看看，好不好？好来，往这儿看。刚才他说一个当个位，一个当十位，其实就是这个我们数学家帮我们发明了技术的工具，知道这叫什么吗？算轮，这不叫算盘，老师告诉。哎，不是计算嘛？它叫计数器。叫什么计数器？真好，孩子们，谢谢你们，请回，我们来一起认识他，掌声鼓励，他们多棒啊。刚才咱们说这叫技术器，在这上边，快看，快看，这儿真精神，这一组特别棒，女生你看那眼睛，一共在这上面有两个小好多小位子。快看，这是哪一位？各位，这是哪一位？10 位， 10 位，我们来一起，我把计数器画在黑板上，我们来看看谁的眼睛看这儿呢？最后一个女生别看离老师最远，但是最精神了，真棒，好极了，快看，在计数器上啊，有小位子从右边起。

第一位叫什么位？个位。第二位叫十位，十位，十位。唉呀，快来看看，如果我们把这一颗小珠子放在个位上，他就表示一个一一，真棒，快看，如果我们把它放在十位上，它可就不是一个一了，他就表示一个十十真好。前边这两组先往这看，你看谁最棒啊？把计数器放在那，先不动了。真好，第一组最快。那你们说这个数是多少？10 亿。那你觉得两颗小珠子在计数器上能不能表示出 10 亿？能，会写 11 吗？会，看看倪老师写一个。哎，你是一，我也是一。咱俩一样吗？不一样。哪不一样啊？你也长那样，我也长这样说，因为左边那个珠子是在十位，右边那个珠子是在个位，那在十位上就表示十几个十，一个十，接着在个位的话就是一个一，对不对？真棒，那看来只要我往这儿一站，我背后藏着的就是。我要往这儿一站，我背后藏着的就是蛇，看着长得都一样，可他们表示的意思却怎么样？不一样呢。

想不想在计数器上播一个11？想。我看很多同学都已经开始了，能试着播一个十一吗？先找好各位和十位两个人合作，看谁最默契播完 11 作证，谁作证了？第一组最快好敌了。真好，很多同学都已经播完了，唉，孩子们，如果让你接着往下播，还能播吗？谁能到前面来播？谁愿意来我 Google 找一个来，那个女生来。就是你，我们说让他来播来。11 完了应该多少呀？1212 接着播， 12 就播。嗯，多少？12，接着十几啦。1313，继续。14，接着。16 笔下的同学说出来接着。17188818181118 再添 1919 再添一二十，快看看个位上已经够 10 颗小珠子了，我们可以把这 10 颗小珠子怎么样？你说吧，对着话筒说，再拨回去，把 10 颗可以换成一个十位，一个10，再加一个 10 就是几个 10 了，两个10， 20 了。真棒，谢谢你，我们会播了吗？想不想玩个波数游戏？想好两个人一个人说，一个人播，开始。10 波波，我们今天研究的十几的数啊。你快点弄好，我再做1112、1314，对，互相合作，一个人说那个人就拨了，然后再交换 5920 真棒，有的人合作的特别默契。

好了作证了最快的一组二组四组，真棒，孩子们快看，老师好。唉，我发现有了计数器还真是方便呢，帮我们很快的就又认识了这些数。唉，往前看，把计数器放在原位，看看最精神的是男生还是女生。真好，你看看第四组同学多快，好极了。孩子们，今天我们一起认识了 11- 20 这些数还记得吗？我们是在古人技术的基础上来认识的，其实这个故事还没有讲完，如果让你继续讲下去，你又会用怎样的图画来表达你对这些树的认识呢？有人有想法了，倪老师今天也带来了北京小朋友画的画，想不想看看？想来往这看。

有人在点头，好像看懂了，哎呀，那倪老师就把这个任务留给大家，我们回去以后可以在这个小书后边画一画，好不好？倪老师，期待大家的作品，有机会我们还可以再交流，行吗？好，下课一。老师您辛苦了，孩子们辛苦了。谢谢孩子们和老师们摆摆手，再见。

老师们。刚才我们看了这节课的片段，大家清晰的看到了在这节课当中，老师关注到了树概念的本质的建立。12 根小棒怎么能一眼就让我们看出来他是 12 呢？孩子们，四种不同的白发，共同的地方都是以群计数，只不过这个群有的是两个为一群， 5 只为一群。那么在这个过程当中，老师特别重点的介绍了，以 10 只小棒为一群， 10 只捆成了一捆，就有了一个10，还有两个一，那么在这样的学习当中，让孩子们认识到数值，特别是对 11 这个数的讨论，大家看到了两个一长得一模一样，它们的大小一样吗？刚才学生的这个讨论很有意义，那在这个讨论当中我们进一步的明确了。

古人计数的时候打了一个列，放一个小石子，当小石子多了 10 个小石子，就可以换一个大石子，这样可以用 11 表示。同学们在操作当中看到了一只小棒是 1 十只，变成了一捆也是一，这个一是一捆的一，也就是一个一和一个 10 是不一样的，特别是老师提出了用两个完全一样的小珠子来表示 11 可以不可以呢？正反方的对话，让我们看到了孩子通过对他的讨论逐步认识到了 11 的本质。两个一长得一样，把它放在个位上就表示，一个一放在十位上就表示一个10。

那么一年级数的认识就涉及到了进率技术单位值，那么这样的学习它和未来的小数学习有怎样的关联呢？他们如何理解树的概念本质的一致性呢？接下来我们来看看小数这个单元。小数的意义。这是一个自然单元，有 6 个知识点组成的这样一个单元，多个知识点，核心概念只有一个，就是小数的意义。我们来看看这些知识点与小数的意义有怎样的关联呢。小数的意义我们教材上给出的是分母是十、百、千等等，这样的分数可以用小数表示，也就是说一位小数表示十分之几，两位表示百分之几，以此类推。那么今天从树的本质的角度建立知识之间的关联，我们还可以从技术单位的角度来认识小数，我们来看看小数的读写。小数的读写重点是理解小数的组成。那么小数的读，小数的写涉及到的都是技术单位，技术单位与技术单位的个数 3.21 表示了 3 个一两个 0.11 个0.01。小数点移动引起小数大小的变化，又涉及到了技术单位和技术单位的个数，单位变了，单位的个数没有发生变化，以此类推。小数的性质和大小的比较，小数与单位换算以及近似数，他们都涉及到了小数的技术，单位及单位的个数。由此可见，多个知识点聚焦了小数的技术单位。

那么在这样的学习当中，我们在建立小数概念的时候，就要打开一扇窗，帮助学生从技术单位的角度来认识树。比如一位小数0.6， 0.6 表示 6/ 10 正确。但是今天从单元结构的整体来学习小数的时候，我们要打开一扇窗，还可以从一这个单位的细分来认识0.6，还可以从 0.1 这个单位的累加这个角度来认识0.6。那么小数的认识如何与整数的认识，他们是共同的，本质是一样的呢。我们也来看看这两个小的片段。

首先我们来看一看 0.66 的认识。刚才我们讲整数认识的时候，我们看到倪芳老师提出了 11 两个一长得一模一样，他们的表达的意思一样吗？四年以后进入了小数0.66，两个 6 长的一样，他们表达的意思一样吗？您看提出的问题是一致的，整个的语境都是一致的，如何让学生感受到 0.66 的本质意义呢？下面我们也看一段教学片段，认识0.66。

咋了？两个 6 长得都一样，难道他们不一样吗？他说不一样，他这么坚决。两个 6 长得不一样吗？

一个是十，一个是个。

不急来到前面来，没事儿讨论讨论就清楚了。那个女孩儿，那个女孩你想说什么？说呀。他说一个是6，一个是10，一个是个，你想说什么？

一个是在 10 里面分成六个，一个是在白里面分成六个。

不急。那男孩不急呢？我，我听懂了你，你拿手指一指你的意思一个是什么？

这个是10，这个是个。

我听懂了，他管这个叫10，这个叫个，你说什么？这什么这个补教课，那是我们儿时的故事，一个方块一个长条。今天我们长大了，我们开始进一步研究它一个长条是这里边的几分之一， 1/ 10， 1/ 10 就是多少？0.1，好了，记下来， 1/ 10 就是0.1，那现在一个小方格是这 100 个格子里的多少？说呀？百1%，那这一个小方格就是0.01，那六个他和六个他一样吗？不一样。你说说哪不一样？一个是 6 个谁？

一个是 6 个长条，一个是 6 个小方格，哈哈哈。

6 个长条， 6 个小方格，不及。说的真好，那一个长条它叫什么来的？一个长条就叫 1/ 10，也叫做0.1。那你能说说 6 个是什么吗？0.6。说呀， 0.66 一个60.0.60.6，就是 6 个0.0.1，那刚才那个 6 就是 6 个0.01。真好，过来，这就是数学的表达，我们只会说六个一条，六个方块对着呢？那不是我们数学人说的话，数学人怎么说？那是 6 个0.1，那是 6 个0.01，掌声送给他。

好，老师们，看了这段教学片段，我们联系到一年级整数的认识，大家看一看他们在本质上是不是一致的？他们所涉及的要素都是技术单位，位置和进率本质是一致的。那么我们再来看一小段，一年级倪芳老师在和孩子们交流的时候，讲了 10 个一是一个10，通过古人技术的故事，通过课件的演示，孩子们第一次接触到了十进制，一捆小棒十支，把它捆在一捆，我们可以看作是一个 11 支小棒，我们就可以看作是一个一抽象出来。到这里我们刚才看到的 0.66 从教学方法、教学的路径以及所涉及到的核心要素是一致的，我们再从另一个角度看，讲整数的认识，要培养学生的数感，要培养学生的推理能力。刚才小数学习的过程，同理依然也要培养学生的数感和推理能力。所以从技术单位的这个角度来看，他们也是拥有着共同点。老师们一年级讲十个一是一个十，第一次出现了十进制，这正式学习小树和更大的树的重要基础。好，我们再看一段关于在四年以后小数意义当中如何去发展这个对十进制的认识，我们一起看。

认识认识。我们让这个一涨十倍可以吗？可以，一涨十倍变成几十，还能再涨吗？再涨十倍，再整一些，再涨5万。还能再涨吗？

你看看一涨。

说呀，再找，再二一 one 能不能长到头？不能，永远没有尽头吗？对，那么今天我们回头一看，一不仅能够长一，还能怎么样？减好了，一缩成 10 倍是多少？再缩 10 倍，变，再缩 10 倍0.001，再缩 10 倍0.001。还能继续缩下去吗？能。好，你看看缩，一起跟我说这个字。刷刷刷。

好。大家看到 10 个一是一个 10 的这样一个学习的过程，一而十、十而百、百而千，以此类推，发展了一年级的一个十个一是一个10，发展了十进制。那么当一我们再从另一个方向看的时候，把一细分成 10 等份，出现了0.1，以此类推，这是一条怎样的竖线模型？在它的背后，孩子们看到了一这个核心的单位。它可以十倍的向前翻，它也可以十倍十倍的缩整数、小数浑然一体，建立了一个整体的知识结构。那么小数的学习就是通过细分单位，细分单位就是为了满足我们人类的精准表达，这正是小数学习的意义所在。老师们，数的概念从整数的认识 1211 百万到更大的数分了几个阶段，那在这个学习当中离不开数位、技术单位值、实际关系、小数的认识呢。

同理，我们通过对小数的学习，分数的学习，我们知道依然是技术单位作为了一个核心。如果从整数看，一可以不断的去量，一变成了10，变成了100，不断的去扩大它的倍数，十倍、百倍、千倍，我们可以一为单位小量大，它可以无限大下去，没有尽头。小数分数我们也可以用大来量小，它可以无限的小下去。将一细分成 10 等份、 100 等份、 1, 000 等份，它可以无限的小下去。

那么从这个图当中我们就看到了整数、小数、分数概念的之间的关联，我们能够通过沟通整数、小数之间的关系来建立数的整体结构，引导学生感受树的本质的一致性。老师们关于树概念的教学，我们也提这样几点教学建议，第一，我们要充分利用 20 以内认识树的基础来建好树的概念。老师们， 20 以内数的认识涵盖了纪律位值、数位、技术单位，它是学好大数、小数、分数的重要基础，怎样重视都不为过。二、我们要从多角度认识和理解数的概念，尤其是感悟技术单位的意义。第三，我们要遵循从具体到抽象再回到具体的认知规律，遵照这样一个原则来理解树的意义，感悟树的本质的一致性。好，老师们，有关数概念的教学这一讲，我们就讲到这里，谢谢大家。