3的倍数的特征是人教版五年级下册第二单元的内容，是在学习了2、5的倍数的特征的基础上学习的。
教学中，老师们常常用不完全归纳法总结出3的倍数的特征，然后就开始验证、记忆、应用。对于“为什么3的倍数有这样的特征？”没有做深入的探究。而吴老师的课堂却能让学生“知其然，且知其所以然”
镜头一:“数学是讲道理的!”
师:你们知道了什么样的数是2的倍数、什么样的数是5的倍数，那么我的问题来了，为什么只看这个数的个位就行了？你们可以举个例子说说。
生1:1375是5的倍数。因为1375个位上的数是5的倍数，所以这个数就是 5 的倍数。
师:为什么不用看其他数位上的数就不用考虑了？数学是讲道理的，难道你们只看个位上的5就能得出结论？5前边还有 1370呢，为什么不用考虑它们呢？
(学生陷入了沉思，过一会儿开始四个人一组进行讨论。)
生2:因为10是5的倍数，137里的1370是137个10，也是5的倍数，所以只看个位上的数是不是5的倍数就行了。
(此时教师在黑板上用一条线把“1375”个位上的数和其他数位上的数分开，见下图。)
师:你真是个会思考的孩子!(在“7”的上方写“十”，手指着“7”)这是十位，十位上的数是几就表示几个十，不管几个十都是5的倍数，还用不用看十位上的数了？
生:不用。
师:十位不用看了，那么百位上的数、千位上的数，用不用再看呢？为什么？
(教师一连串的追问，唤醒了学生们的再思考、再讨论……)
生 3:不需要再看。因为十位上的数肯定是5的倍数，百位上的数一定是10的倍数，所以不论百位上的数是几，它也一定是5的倍数;又因为千位上的数是100的倍数，所以千位上的数也是10的倍数，当然也一定是5的倍数了。
师:(微笑着)对啊!你们真会想问题!一个“因为……所以…”又一个“因为……所以…”，就把这个道理讲得清清楚楚了。
师:(又顺势与2名学生按照身高从高到低的顺序站成一排)因为吴老师比王东高，又因为王东比李强高，所以吴老师一定比李强高，不就是这么个理儿吗？(学生们笑了。)
生 4:老师，我觉得2的倍数看个位数也是这个道理。学生们频频点头。)
......
师:真好!你们不仅记住了结论，更重要的是会讲其中的道理，这个讲道理的过程就是数学推理的过程。接下来我们一起研究 3的倍数特征。
镜头二:结合猜想，寻找3的倍数
(出示学生课前对“3的倍数特征”的猜想，见下图。)
猜想1:个位上是3，那这个数就是3的倍数。
猜想2:个位上是3、6、9，那这个数就是3的倍数。
猜想3:各个数位的数字和是3的倍数，那这个数就是3的倍数，
师:请同学们读一读这三个猜想，都读懂了之后，我们该做什么？
生:验证。
师:你们觉得哪个对，哪个不对，要讲道理，说明为什么。三个猜想中哪个和你的猜想是一样的？先验证自己的，再验证别人的，自己想好后再和同学讨论。
(教师提供学习工具:百数表和小棒。大屏幕展示学生作品，见下图。)
师:大家都看出来了，三位同学圈出的数有的是 3的倍数，有的不是3的倍数。
生:1号、2号作品圈出来的数有的是3的倍数，有的不是。3号作品圈的数都是 3的倍数。
师:到底哪些数是3的倍数，哪些数不是3的倍数？请同学们在黑板上写一写。
(学生边计算、边议论，纷纷上台写数，见下图。)是3的倍数:24、57、66、15、75…
不是3的倍数:29、34、58、73、16
镜头三:多角度思考--渗透推理的策略:举反例
师:(手指黑板)这些数是3的倍数，那些数不是3的倍数，那么问题来了，3的倍数到底有什么特征？我们回到前面的猜想，你们现在的任务是随便选数(聚焦到黑板上的例子)，说明哪个猜想是错误的，哪个猜想是正确的。
生1:我通过做除法，知道哪个是3的倍数，也知道哪个不是3的倍数，但是我不知道为什么。
生2:我用小棒摆出来的，3根3根地拿，如果没有剩余的就是3的倍数。
生 3:我就利用“猜想3”，把各个数位上的数加起来了。
师:有人遇到事儿了，不知道你遇到事儿了没有？3的倍数到底有什么特征？为什么会有这样的特征？
(学生用大量的数举例说明3的倍数符合“猜想3”。)师:刚刚你们分析了那么多的数说明猜想3是正确的，(面对猜想3)你们只证明了哪个数是3的倍数，还有更严谨的办法吗？
生4:(喊着说)举反例。
师:这个事真的很重要!为什么要举反例？
生4:这个猜想没准儿错了呢？所以要举一个反例来证明它。
师:如果正着想是这样，反着想也是这样，我心里可就…
生:踏实了。
生5:比如83，8+3=11，11除以 3有余数，所以它不是 3的倍数。
师:你又从反面证明了什么？
生 5:猜想3是对的。
师:你为什么选择 83 呢？
生 5:83 有点像 3的倍数。
师:看着像不行，数学人要用严格的数学推理来证明它到底是不是。
师:现在你们能推翻前面那两个猜想吗？
生:能!
师:就这么轻而易举地推翻了？
生6:猜想1是错的，比如83，个位数是 3，但它就不是3的倍数。
师:是啊，10000个个位上是3的数，其中 9999个都是3的倍数，就1个不是，这个猜想正确吗？
生:不正确!
师:所以第一个猜想--
生:是错误的!
生7:比如说 43，个位是 3，它也不是 3 的倍数。
师:我特别喜欢你说的“比如说”这种表达方式。
师:第二个猜想对不对？
生8:不对!
师:大家问他……
生:为什么？
师:好!主动地问问题，我们就讨论起来了。
生8:比如说16，个位上是6可是它不是3的倍数，所以猜想2也是错误的。
(此时的学生已经被教师调动起来主动展开对话了。学生按照“因为……所以……”的方式表达。)
师:(及时进行总结)推理的时候，要学会想问题，不仅能从正面想还能从反面想，然后才能获得正确的结论。
镜头四:为什么各数位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数？
(在举出大量3的倍数的例子之后，教师没有局限在两位数、三位数，还用四位数、五位数等更多位数让学生辨别是否是3的倍数。此时的学生已经能用猜想3来判断说明了，之后他们又展开了新的思考……)
师:同学们，关于特征你们已经知道了，接下来我们应该研究什么了？
生:为什么3的倍数特征是这样的？
师:为什么以前是看个位，现在要看各个数位上的数了？借助小棒摆一摆说明道理。(用小棒在黑板上摆出111。)
师:要判断这个数是不是3的倍数，就要看这个数除以3后有没有余数对吗？只要从这 111根小棒中每次分出3根，看最后还剩不剩小棒就行了。
师:(指向百位)在分的时候，这个数里有多少个3？
生:100里面有33个3，而且还剩下 1根小棒。
师:也就是百位上分走了99根，说明99是3的倍数，最后还剩1根，我们这样记录可以吗？(板书99+1
生:可以。
师:十位上呢？分走多少根？剩下多少根？
生:可以分走9根，剩下1根，个位上还有1根。
生:写成9+1。(教师极书见下图)
师:研究这个数是不是3的倍数,其实是由哪些小棒决定的?(学生动手圈一圈。)
师:数学是讲道理的，我们应该问--
生:为什么。
生1:因为前边的99和9已经是3的倍数了，所以我们就不需要看了，只需要看百位上、十位上和个位上剩下的小棒数量。(这时有学生自发地为发言的同学鼓掌。)
师:(及时捕捉到)你为什么鼓掌?
生 2:我觉得他说得有道理，很佩服他。
师:你对着他(指刚才发言的生1)说话，把“他”变成“你”你俩对话啊!
师:刚才讲的，你们听懂了吗?
生:听懂了。
师:如果是 1111呢？
生:那就是说明千位上拿走 999根小棒，还剩1根，再把它和其他3根合起来，1111不是3的倍数。
师:对啊，十位是 9+1，百位是99+1，千位是999+1，是否是3的倍数特征一定跟谁有关系？
生:跟剩下的小棒有关系。
师:如果是222呢？怎么思考这样的数？一时说不好也没关系，分一分小棒，讨论讨论。
(学生分小组演示小棒，讨论说理。稍后，教师请一组学生上台介绍。)
生3:这个十位上的“2”表示20，能从20中取走2个9，余下2(出示2根小棒);百位上的“2”表示200，能从200中取走2个99，余下2(出示2根小棒)。
师:可以用怎样的算式记录他的分法？(根据学生的回答，教师板书算式，见下图。)
生4:99是3的倍数，99x2也是3的倍数;9是3的倍数9x2也是3的倍数。
师:那么只需要考虑谁呢？
生 3:剩下的小棒数。
师:正确!一共剩下了多少根小棒昵？(询问一直没有发言的生5。)
生5:一共剩下了6根小棒。百位上、十位上、个位上各剩2根。6是3的倍数，所以 222是3的倍数，
师:看222是不是3的倍数，你最终算的数是-
生5:2+2+2!
师:如果是2222呢？如果是1234呢？
(此处的迁移推理已经让学生们恍然大悟，原来道理是这样的……)
镜头五:其实它们是一家子--2、3、5 倍数特征的一致性
(在利用学具的方式直观表达让学生理解了判断是否是3的倍数和为什么要把各数位上的数加起来的道理后，吴老师又把学生们的思维引入了深处……
师:3的倍数特征和 2、5的倍数特征一样吗？
生:不一样。
师:在研究 2、5、3的倍数特征的过程中，发现它们“一样”的地方了吗？
(学生思考后做出了回答。）
生1:我认为有一样的地方，2的倍数是2根小棒2根小棒地拿走，直到全部拿完，没有剩余的话它就是2的倍数;5的倍数是5根小棒5根小棒地拿走，直到全部拿完，没有剩余的话它就是5的倍数;3的倍数是3根小棒3根小棒地拿走，直到全部拿完，没有剩余的话它就是3的倍数:却是没剩余，这是它们的“一样”
生2:判断是否是2和5的倍数要看个位上的数，判断是否是3的倍数就要看各个数位上的数之和。表面上看判断3的倍数方法和判断2、5的倍数方法是不一样的，但实际上都是一个数位一个数位地“分”数，好像得分两家可实际上它们也可以看作一家啊。
师:说得真好，它们的本质是不是一回事？(众生点头。）3个3个地拿，5个5个地拿，2个2个地拿，正好拿完了，没有剩余，就是它们的整倍数，否则就不是它们的倍数。这就是它们的一致性。
