平均数的内在结构，指数增长的数学原理与重温《增长的极限》
统计数字往往具有两面性，一方面能直观说明问题，但另一方面则会掩盖问题，尤其掩盖发展中不平衡和不协调问题。人们常说，＂平均数掩盖了大多数＂，＂平均数忽略了末位数＂，就是这个道理。坊间有个笑话，说张村有亇张千万，隔壁九个穷光蛋，平均起来数一数，个个都是张百万。诸如＂城市户口家庭的平均资产达247万元＂，＂中国户均1.O2套住房＂等等。
1)加权算术平均法：依据分组整理频数分配数列，将各组频数作权数。这个权数不是外耒的，不是随意加在各组标志值上面的，而是与各组标志值有着内在职系的因素。以频数大小来影响平均数。2)众数法：用以和研究总体中出现频数最多的标志值。确定众数就是抓住了事物的主要矛盾。将众数与算术平均数对比分析，可以研究频数分配数列的偏度。 3)中位数法：在按标志值的大小排列的数列，处于中间位置的那个单位标志值。通过中位数可以从另一个侧面反映频数分配的集中状况。指数级增长的不为人知的特点：开始时令人谅讶的缓慢，而一旦释放出来，便完全不受控制，将其前面的一切吞噬。指数增长带来的意想不到的结果已经让人们着迷了几亇世纪。
说的是某国王有意奨尝国际象棋的发明者时，允许他提出自已想要的奖品，后来发明者提出想要的奖品是米粒，但提出按以下方式计数：在国际象棋棋盘上的第1格内放1粒米、第2格内放2粒米、第3格内放4粒米、第4格内放8粒米、第5格内放16粒米，以此类推，每一格内放的米粒数为前一格内放的米粒数的2倍。听后国王对此反映微不足道，并命令国库数出发明者要的米粒数。结果司库告诉国王说，穷尽整个王国的财富也无法满足发明者要求的米粒数，这就是指数增长的神所在。实际上，这是一道简单的算术题。按照上列规则，到第8格就需要放2x2x2x2×2x2x2=128粒米，以此类推，当到棋盘中最后一格第64格时，应放63个2相乘(2x2x2x2x2……，要乘上63次)，这个数字达到非常惊人，计算结果为9223372036854775808粒米，将近10的19次方粒米。若将这些未粒堆积起来，会比珠穆朗玛峰还要高。所需数量比当时全世界所有的大米数量还要多。一亇数量呈“线性”增长是指“在每一给定的时间段里增加一亇固定的数量”。如一支建筑队每周铺设1公里高速路，这条路是呈线性增长的。当一亇数量以其已有的一亇比例增加时，这个数量就是呈指数增长的。
线性增长和指数增长的区别，可用100美元的两条不同增值路径加以说明：1）把钱放入罐里方式，每年增加一亇固定的数目（如每年增加7美元）。2）把钱存入银行方式，每年可以得到7％的利息，并每年计算复利，得到的利息收入也在账户里积累，存入银行的钱呈指数增长。两条方式的增值结果：第1年末分别为107美元和107美元；第2年末分别为114美元和114.49美元；第10年末分别为170美元和196.72美元；第20年末分别为240美元和400美元；第30年末分别为310美元和761美元。 从上述两条增值路径变化可知：在百分比增长率和倍增的时间之间存在一亇简单的数量关系，倍增的时间大约等于72除以这亇百分比增长率。具体计算倍增时间如下：每年增长率（％）为0.1、0.5、1.0、2.0、3.0、4.0、5.0、6.0、7.0、10.0；相应近似的倍增时间（年数）为720、144、72、36、24、18、14、12、10、7。（）爱因斯坦有句名言：宇宙中最强大的力就是复利。所谓复利思维，即你做事情A，会导致结果B，而结果，又反过耒加强A。1.01的365次方=37.8，这意味着一点的进步，最后就是大进步即所谓”复利效应”。指数型增长的发生有条不同的渠道：1）天生型是指一亇实体是自我再生的指数型增长；2）衍生型是指一亇实体在某种因素驱使下呈指数型增长。所有的生物，从细菌到人类，都属于天生型指数增长，生物是由生物产生出来的。
只要一亇系统存量处于一亇正反馈圈中，这亇存量就具有指数型增长的潜可能。这并不意味着它一定会呈现指数型增长，然而，如果没有什么约束，它就有这种指数型增长的能力。20世纪60年代，麻省理学院教授𤇍伊.福里斯特教授创立一门新学科一一系统动力学，70年代，罗马俱乐部资助麻省理工学院系统动力学小组利用系统动力学建模技术，对地球生态系统与经济增长之间动态关系进行定量研究。《增长的极限》（1972）第1版就是该项研究的成果.
在《增长的极限》报告中，建立World3计算机模型，选用对人类命运具有决定意义的5个参数，即人口、粮食生产、工业化、污染和不可再生资源，并指出它们不仅在不断增长，而且是每年都按”指数增长”的模式增长着。报告中将与增长有关的数据和理论加以整合，12种模拟场景显示1900一2100年200年间世界发展各种不同的可能模式，指出如果按上述5个参数的趋势继续下去，这个行星上增长的极限有朝一日将在今后一百年中发生。报告是将增长的终结放在其出版近50年（2015年）以后，人类有足夠的时间采取行动进行矫正。《增长的极限》的主要研究结论：1）地球是亇有限的系统，这种有限性决定人囗和资源的增长必然有个限度。2）对增长的陶醉与崇拜势必导致世界体系的崩溃。3）技术无法从根本解决在有限系统中无限增长的问题。4）人类的明智选择是从过度增长转向全球均衡。即保持人口和经济的零增长及两者的恰当比例。《增长的极限》一经出版，就引起国际学术界的严重关注。支持者有之，后来甚至发展成为环保主义者与可持续发展运动；反对者有之，对该书的建模方法和研究结论，一直存在众多质疑。随着时间的推移，《增长的极限》这项研究的结论与成果陆续得到实践的验证，唤醒了国际社会采取一些积极的措施，应对生态环境恶化带来的挑战，1992年在里约热內卢召开的联合国”全球环境发展高峰会议”就是其中重要事件。经过对研究中所使用模型和数据的改进与更新，于1992年和2012年先后推出该报告的第2版和第3版。《增长的极限》（第3版）修订内容如下：1）对模型中所使用的数据进行了更新，均为截至2000年的统计数据。2）对模型技术做改进，更加便于运行。从World3模型改进到WorId3一03模型的变化。增加“人类福利指数”（HWl）的变量和“人类生态足迹（HEF）的变量。HWⅠ是寿命预期指数、教育指数和GDP指数的算术平均数求得。WorId3模型中的HEF是以下三个部分土地加总而得：用于农作物生产的宜耕地、用于城市、工业、运输基础设施的城市土地和用于中和汚染物排放所需要吸纳的土地数量。3）WorId3一03的模拟11亇场景变量：世界的状态（人口、粮食总产量、工业总产出、持久的污染指数和不可再生资源）、物质生活水平（人均粮食、人均消费品、人均服务、预期寿命）、人类福利与生态足迹（人类福利指数、人类生态足迹）。报告中追求的理念是：增加“人类福利”的同时，确保“生态足迹”尽可能小，至少是在地球生态系统可持续发展的承受水平以下。1）《增长的极限》是不是预言人类社会必然走向“崩溃？”。报告主要是”模拟”人类社会的各种未来可能，并没有预言“崩溃”一定会发生，而是”模拟”了未来世界发展的各种可能“场景”，不是预测或预言地球和世界的某种必然结局。2）增长的极限是不是仅仅基于一些资源趋于枯竭的现实可能？事实上，报告的作者对增长的极限的关注绝不仅仅是出于资源枯竭这样一种可能，尽管这种可能性至今已非常明显的日益迫近，报告则更注意到人口的几何增长，注意到了土壤肥力的下降对粮食产量的影响，更注意到自然环境所遭受到的不可逆转的破坏，如臭氧层的破坏和全球变暖的趋势。而对于这些不可逆转的破坏，不可寄希望新技术加以解除。3）《增长的极限》是否在鼓吹“零增长”增长？零增长是人们对于《增长的极限》报告的结论和主张最简单的也是最普遍的解读，也是颇受人们诟病之处。尤其激起世界上发展中囯家的严重关注。报告中模拟了各种可能性，如人口增长保证在何种速度，资源消耗速度能降低到多少，如果技术进步能达到什么……..，指出人类社会的经济增长会不会持续，能持续到什么时候。《增长的极限》（第2版）提出“有机增长”的概念，可以克服人们对报告结论的某些误解。《增长的极限》报告中，World3模型高度总量化的各种模拟场景在30年以后依然表现出令人吃惊的精确。World3模型预测世界人口数，从1972年的39亿到2000年为60亿，与2000年实际完全相符。模拟给出的全球粮食产量，从1972年的18亿吨增加到2000年的30亿吨，也与2000年的实际完全相符。这些足以说明Wor1d3模型并非无根据的胡说。1992年报告进行了20年来的更新，对1970一1990年间全球发展研究的新发现，人类已径超出了地球承载能力的极限，人类需求自20世纪80年代以来就超出了自然的供給能力，到1999年已经过冲了20%。20年来的历史发展总体支持了20年前报告所得出的结论。面对世界的严峻形势，报告仍保持了乐观的语调论证，通过许多模拟证明，可以借助明智的全球性政策、技术进步和制度的变化以及设定的政治目标，以减轻过冲会带来的破坏程度。 《增长的极限》（第3版）提出了“过冲”（overshoot）新概念，有人将其译为“赿界”。其本意是走过头了，意外而不是有意地超出了界限。人们每天都在经历这种过冲的状况。小到人体大至星体，导致过冲的原因有：1）因为有增长、加速或快速的变化。2）因为有某种形式的界限或阻碍。3）因为在感知或反应上存在滞后或失误。以上就是产生过冲的充分条件。（2024年6月30日）
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