一、现代社会的种种方便，比如坐高铁、坐飞机、打电话、用全球定位系统（GPS）出行、用网站……它背后有很多算法，都是来自微积分的发明。
没有微积分的数学，我们只能算匀速直线运动，变动的都算不了。
微积分的总体思路是把复杂的问题切分成多个简单的部分，切分到无穷的程度。
微积分的实质是切分和重组。
切分的过程叫微分，重组在一起叫积分。
人类是先有积分思想，后有微分思想。
因为积分是诞生在几何之上，微分是诞生在代数之上的，代数比几何要晚。
二、圆面积
圆如果可以被切到无穷块，那它将会成为一个相当标准的矩形。
这个矩形的高是半径，长的一边是二分之一个周长，也就是πd÷2。
三、0为什么不能做分母？
因为2÷0等于无穷，3÷0也等于无穷，10÷0也等于无穷，那结论是什么？2=3=10，全等于，全世界都一样，这很明显是错的。
所以除数为0会召唤出无穷，这个无穷就会导致整个世界的逻辑混乱，就意味着这个杯子跟桌子是相等的，因为它们除以0都一样。
四、微积分最主要的应用是解决三大谜题
1、曲线之谜
圆形怎么算？弧形怎么算？抛物线怎么算？
阿基米德算出了抛物线弓形的面积，我们现在会算抛物线下边的面积。
2、运动之谜
世界上的匀速直线运动几乎没有，你不可能见到哪个人是一直保持匀速直线运动的，他一定会有加速和减速的过程。
3、变化之谜
比如说你体内的细胞增长了、减少了，这个变化的速率是不均匀的，所以用简单的加减乘除根本无法计算。
五、用三角函数测量出你的位置
这手机怎么知道我在哪儿呢？手机怎么知道我在桥上桥下？
现在都这么精确，因为它是纳秒级别的时间记录，用时间记录就可以知道你和卫星之间的距离，这个系统的几乎所有功能都取决于微积分。
六、微积分的应用将远远超出曲线及其切线的范畴，能够涵盖任何种类的变化。
有一条曲线，曲线上有一条切线，这个切线的斜率就是切点的导数，切线的斜率表示的是变化率。
一个东西多快？多陡？多敏感？
凡是你问这样的问题的时候，其实问的都是变化率。
变化率怎么算出来，唯一的办法就是求导。
你能够在每一个点上求出导数，你就知道这个点的变化率。
七、牛顿和莱布尼茨登场以后，微积分的三大核心问题
1、正向问题，已知一条曲线，求它各处切线的斜率，也就是变化率；
2、反向问题，已知一条曲线的各处斜率，求这条曲线的方程；
3、面积问题，已知一条曲线，求曲线下方的面积。
微积分说到底就这三件事，就是知道切线，求方程；知道方程，求切线；知道方程，求面积。
但实际上这个可以应用在医学、建筑、火箭发动机等各个方面。
因为只要是变动的运算，都可以用方程和图形来表示，这就是微积分的力量所在。
这三大核心问题涉及物理、工程、金融、医学等等。
人的大脑比较善于理解线性问题，线性的东西我们都比较容易理解。
但是非线性的东西很不容易理解，我们的办法是放大曲线中的图像。
八、物种的平衡
比如草原上狼多好还是羊多好？
假如你说狼很坏，把狼都打死吧，羊多了，草就没了，草没了，人也受影响。
那你说多养狼，狼太多，把羊吃没了，狼就饿死了，狼要吃人怎么办？
所以物种平衡怎么把握？
只要牵扯不同的变化率，就需要通过微积分来计算。
九、某些预测问题将得到解决
只要解决了曲线求积问题，我们就可以预测出运动物体在遥远未来的位置。
即使一颗行星受到的引力与我们宇宙中的引力不同，我们也能预测出某一时刻它在轨道上的位置。
我之所以称曲线求积问题为积分学的圣杯，是因为许许多多的其他问题都可归结为这个问题。
如果它被解决了，其他问题也会得到解决。
斜率是变化速率问题，面积是累积效果问题，就是用这样的速度做了这么长的时间，最后到底做了多少呢？这就是面积问题。
所以在生活当中，我们不但要知道变化速率问题，也要知道累积效果问题。
变化速率是微分，整个面积是积分，这就是微积分。
十、解决艾滋病问题
有一个华裔的医学家何大一，他和数学家艾伦·佩雷尔森用微积分解决了艾滋病病毒的问题。
他们发现在这十年的病毒期间，以前的治疗方法就是没办法，这十年反正是潜伏期，也没什么症状，就别治了，等到发作再说吧。
所以一发作，人就死了。
于是何大一和他的搭档，就在人体当中截取了一个微小时间段中的病毒变化数，然后去计算病毒涨落的方程。
最后发现这十年时间里，病毒并不是没有发作，而是天天发作，但是白细胞和自然杀伤细胞每天都在和病毒作战。
白细胞的大量工作，使得病毒在体内的数量达到了均衡。
看起来是不动的，但实际上每天有大量的病毒死去，有大量病毒产生，然后白细胞和自然杀伤细胞有大量的损耗。
所以当用数学定义了这件事以后，你就可以给他配药，然后就发明了鸡尾酒疗法。
通俗点讲，就是在这十年时间里，给白细胞帮忙，让白细胞能够更厉害一点。
所以现在艾滋病已经变成了一个慢性病，基本上它不会像过去那样，得了就死了。
只要长期吃药，就能够一直活下去。
十一、牛顿写了《自然哲学的数学原理》，揭示了力学的世界，然后用三重积分的方法帮我们解决了二体问题。
地球和月亮、两个星星互相吸引，这是二体问题。
二体问题其实很难计算，因为它在变动当中，牛顿用三重积分的方法解决了，所以我们能够预测月亮的轨道。
但是三体问题无法解决，牛顿到死都没有解决三体问题，现在的科学家可能也很难算出来。
三体问题始终是一个很难的问题，所以那本小说叫《三体》，就是从这儿来的。
十二、《独立宣言》都是在微积分的影响下写出来的
起草者杰斐逊是牛顿的信徒，所以《独立宣言》开篇所写的话就和牛顿在《自然哲学的数学原理》那本书中所写的一模一样，叫作“我们认为有些真理不证自明”。
也就是说从公理着手，然后凭着逻辑的力量，他从这些公理中推导出一系列难以回避的问题，这就是《独立宣言》的起草思路。
这个思路来自来自牛顿写的《自然哲学的数学原理》。
十三、微积分在飞机上的应用
波音公司的数学家将机翼近似分解为几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，这些较为简单的形状扮演着基本结构单元的角色。
就像在面部手术的建模阶段一样，他们先要为每个构建单元的刚度和弹性赋值，然后这些构建单元会受到临近构建单元施加的推力和拉力。
弹性理论的偏微分方程可以预测出每个构建单元会对这些力做出怎样的反应，最终在超级计算机的帮助下，所有这些反应会被组合起来，用于预测机翼的总体振动情况。
也就是说他不能把机翼当作一个整板，他要把机翼切成一个一个的小形状，这些小形状之间还要互相传导力量，最后才能够算出来机翼的安全承受力。
所以坐飞机的时候，不同的飞机颠簸程度是不一样的。
坐糟糕的飞机就会颠得厉害，你坐新的、大的、好的飞机，就会颠得轻，因为它的计算能力更强了。
十四、微波炉是用微积分发明出来的
1、当年一个研究武器的公司发现了用在武器上的磁控管，但是不知道民用该怎么用。
后来有一个实验人员在用磁控管做实验的时候，突然发现自己口袋里的花生巧克力化掉了。
原因是磁控管产生的波会使得巧克力内部发生振动，从而加热。
2、可以用微波炉来测量光速
你把微波炉里边的转盘拿出来，然后放一块奶酪在盘子里，放进微波炉加热。
加热三十秒以后，把盘子取出来。
这时候你会看到奶酪有的地方已经熔化了，有的地方还没熔化。
它先熔化的地方就是热点，对应着微波炉微波模式的腹点，也就是振动最剧烈的地方，它类似于正弦波的波峰和波谷。
对于一台运行频率为2.45千兆赫的标准微波炉，你会发现两个相邻熔点之间的距离大约是6厘米，这是从波峰到波谷的距离，也就是半波长，实际上它的波长是12厘米。
将微波炉的振动频率乘以你在实验中测得的这个波长，就能够得出光速，或者非常接近光速的结果。
3、微波炉的原理来自傅里叶
傅里叶是发现了用正弦波来解决这些问题的人。
他把这些东西都简化为正弦波，后来发现正弦波真的很好用，包括我们今天做电脑断层扫描（CT）、核磁共振扫描（MRI）、我们用的电子琴、语音合成器，全部都是用正弦波的原理。
十五、2017年的诺贝尔物理学奖获得者是引力波的探测者
引力波是广义相对论预测到的又一个惊人的效应。
这个理论指出，一对互相缠绕的黑洞会在它们周围的时空中形成漩涡，并有节奏地拉伸和挤压时空，由此产生的时空扰动会像涟漪一样以光速向外扩散。
爱因斯坦曾经怀疑我们不可能测量到这种波，并担心它可能只是一种数学错觉。
数学错觉就是数学上说得通，但是实际上看不到。
2017年诺贝尔物理学奖的获得者的关键成就在于，他们设计并制造出了有史以来最灵敏的探测器。
