深研学历案｜翁张娜：三下第二单元《商中间有0或末尾有0的除法》

     人教版小学数学三年级册教材第二单元笔算除法板块的第3课时

《义务教育数学课程标准》（2022版）第二学段关于数与运算教学的要求：

1. 在实际情境中，运用除法的运算进行解决简单的实际问题，感悟如何将未知转化为已知。

2. 经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法，初步形成应用意识。

3. 在解决问题的过程中，体验克服困难、解决问题的成就，体会数学的作用。在学习活动中会提出自己的想法，在与他人交流的过程中，敢于质疑和反思。

一、基于教材梳理明确关键问题

本课时是三年级下册第二单元《除数是一位数的除法》的内容，是数与运算的一部分。梳理本单元的计算内容，本课在整个除法计算学习过程中起到承上启下关键课的作用。

本课时是整个“除数是一位数的除法”的教学难点之一，学生已经有了一定的学习基础，比如数的组成、表内除法、口算除法、简单的笔算除法、估算等，本课也为接下来学习商末尾有0的除法、除数是两位数的除法以及小数和分数除法计算作铺垫。在本单元之前，在计算首位不能整除的三位数除以一位数的笔算时，百位不够除时，商的百位不写，本质上也是商0，只不过最高位的0不能写，这也为商中间或末尾有0的内容做了铺垫。因此学生在学习本课时候其实是有所感悟了，只不过计算时十位、个位不够除，在计算过程中学生很容易出错。

二、基于学情分析敲定关键问题

在以往教学中发现，这个单元的计算中，商的中间或末尾有0的算式学生很容易出错，在计算时会忘记了商0就直接把后面个位上数落下来，比如商是105会算成15或者150。因此在教学本课时应该让学生在熟练之间的笔算除法步骤的基础上，引导学生理解商中0产生的条件，在理解的基础上加强对0的关注，减少错误率。

而在后续练习中，经常出现类似“7□5÷7，要使商中间有0，□该填几”这样的问题，都是学生的难题和易错题。因此本节课确定了以下关键问题：

1.208÷2商是几位数？14为什么错？104对吗，有什么道理？

2. 竖式中分十位上的数这一步能不能省略？请说明理由。

3. 商的十位上为什么写0？

4. 三位数除以一位数，什么情况下商中间有0？

5. 三位数除以一位数，什么情况下商末尾有0？

1. 理解“0除以任何不是0的数都得0”得含义，理解0不能作除数，能正确口算有关0的除法。

2. 经历探究“商中间有0得除法”计算方法的过程，能正确计算，并掌握简便写法。理解商中间“0”的产生条件是：百位正好除完，十位不够除。

3. 将商中间有“0”的算式特点应用到商末尾有“0”中，自主探索商末尾有“0”的条件是：百位和十位正好除完，个位不够除。

4. 在解决问题的过程中，感受数学与日常生活的联系，增强自主探究的意识，提高合作交流的能力。

1. 完成任务一（检测目标1、4）

2. 完成任务二（检测目标2 ）

3. 完成任务三（检测目标3）

4.完成任务四（检测目标1、2、3）

任务一：理解0除以任何不是0的数，都得0。

1. 复习引入

出示和0有关的计算：

35＋0    0＋23    58×0     0×5    91×0

计算秘诀：任何数乘0都等于0；任何数加0都得这个数。

2. 揭题：今天我们来学习——有0的除法。

（1）同桌讨论：0÷8＝？

预设1：通过讲述故事举例子：8只小猴子到树上摘桃子，可是树上一个桃子也没有，所以每只小猴0个桃子。

预设2：用乘法想除法：（  ）×8=0，（  ）里填0

（2）像这样的算式你还能写出哪些？自己写一个，和同桌说说算式的意义。

（3）你有什么发现？

预设：0 除以任何数都等于 0。

3.除数可以是0吗？8÷0=？

从两个角度进行说明：

（1）例如8÷0＝（  ）→ （  ）×0=8找不到得数。

（2）0 表示没有，任何数除以0表示没有分，就没有除法表示平均分的意义，不符合除法的意思，所以0不能作为除数。

4.小结：0 作除数，没有讨论的价值，所以 0 不能作除数。所以在除法中，0除以任何不是0的数都得0。

【设计意图】“0 除以任何不是 0 的数都得 0”，很 多学生已经对这句话有了一些了解，但不理解为什么0不能作为除数，为什么0除以任何不是0的数都等于0。让学生自己选择感兴趣的问题，进行知识辨析，通过对0乘任何数都等于0的知识迁移和结合0的特殊意义进行解释，既调动学生参与的积极性，又通过说理辨析加深了学生对知识的意义理解 。

任务二：探究商中间有0的除法

1.三年级在六一儿童节活动中获得了208张奖励卡片，要分给2个班，平均每个班要分多少张？如果有218张卡片，平均每个班分多少张？

（1）你会列式吗？

（2）为什么列除法算式？

预：实际就是把208平均分成2份，求每份是多少，用除法。

活动一：研究被除数中间有0，商中间有0

交流反馈：

①先算2÷2=1，商1；1×2=2；2-2=0；

0落下来，0÷2=0，商0；0×2=0；0-0=0

8落下来，8÷2=4，商4；4×2=8；8-8=0

反馈：你把计算过程讲得很清晰，做到了①商②乘③减④落这几个步骤。

②如果中间落下来的是0，那怎么算都是0，就可以不写这一步了。

③不正确，我验算了，14×2=28 不是208， 所以计算错误。而且刚才估算的结果是200，14的话也差太多了。

【教学意图】在交流反馈的过程中再一次复习了除法竖式计算的步骤：①商②乘③减④落，在每一次除法中都能掌握这样的步骤，为后续的计算准确作保障。

2.优化算式

①②这两种你更喜欢哪种？

预设：第②种，因为0不管怎么算都是0，这一步就可以不写。

教师指出：在笔算除法，如果遇到被除数哪一位商的数是0（而且商前面没有余数），就直接在这一位商0，这种写法更简便。

活动二：研究被除数中间没0，且商中间有0

1. 学生自主计算

2. 交流汇报

(1)先判断对错，说说判断的理由。

算式③错误，理由：180×2=360。十位上的1落下来后忘记商0了。

算式②错误，理由：103×2=206。十位上的1没落下来直接商0了。

（2）正确的算式，引导学生将算的步骤说清楚：①商②乘③减④落

（3）竖式优化

十位商0，0×2=0，1-0=1，所以框框这一步可以省略。

3.总结辨析。

（1）比较 208÷2 和 216÷2 这两个算式的共同点和不同点？

①共同点：商的中间都是 0。

思考：商的十位上为什么要写0？

预设：第一个算式2个百刚好分完，十位是0，商的十位用0占位；第二个算式2个百刚好分完，十位是1，1÷2不够除就商0。

②不同点：208÷2 时，商中间的 0 是十位的 0 除以 2 得到的，而 216÷2 时，商中间的 0 是十位的 1 除以 2 不够除，用 0 来占位。

（2）概括特点。

①自己写一个和208÷2与216÷2 类似的算式，想一想商中间有0的算式有什么特点？（写完后全班交流）

②商中间0的产生条件：被除数的百位是除数的倍数，被除数的十位比除数小。

【设计意图：动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方式。商中间有0的除法对学生来说是一个难点，但教师不能因为难就包办代替，让学生在自主探索、交流的过程中去明辨对错，弄清算理，明白算法。在教学组织的交流中，从计算检查的角度出发，先根据验算方法判断计算结果是否正确，再让学生在说理中明晰算理。】

任务三：探究商的末尾是0的特点

1.思考算式特点，尝试写算式。

刚才我们发现了商的中间“0”产生的条件，0还可能出现在商的哪一位？

如果商的个位上是 0，这样的除法算式又会有什么特点呢？请你试着写一个。

2.小组合作学习。 

3.全班交流。

（1）让学生说说算式的特点，并举例。

特点：被除数的百位或十位上的数都是除数的倍数，或者前两位正好除。

（2）交流竖式计算时的注意之处。

【设计意图】通过前面的教学，学生对于竖式计算的基本法则已经清晰，放手让学生自己根据商的特点写算式并计算，让学生真正参与到学习中去，主动辨析算式的特点，有助于学生利用算式的规律进行计算。

任务四：练习辨析，加深理解 

1.判断。

（1）0 除以任何数都得0。(    )

（2）0 除以任何不是0的数都得0。(    )

（3）被除数的中间有0，商的中间一定有0。(    )

2.老师在计算的时候不小心把墨渍撒到了纸上，你能帮我复原这个竖式吗？三角形和圆形分别填几？同桌交流。

△=7，⚪=4

理由：先看百位能整除，商的十位是0，所以⚪＜7；竖式最后是0，也就是没有余数，想7的口诀：七七四十九，所以⚪=4

反馈：我们在分析问题的时候也要这样全面。

任务五：课堂总结

今天我们是怎么学习的？你有哪些收获？

1.本节课的教学设计，不追求表面热闹的课堂，通过扎实的自主探究学习，引导学生关注数学本体知识，关注计算算理。放手让学生运用已学知识去辨析0商中的位置，比较发现算式的特点。在商的数位上有0的算式教学中，学生在自主计算、算理辨析、规律辨析中，纠正计算方法，解释正确的算理。借助习得的学习经验，将商中间0产生条件这一知识迁移应用到商末尾有0的算式，并自主创编算式，在交流的过程中进一步深刻理解商中的0产生的条件：前面（百位或百位和十位）正好除完，后面（十位或个位不够除）。

2.充分了解学情，相信学生潜力。由于学生已经有了竖式计算的经验与基础，教学时可以适当防守，留给学生更多思考的机会和空间。本课教学更多地从知识的关注转移到学生的关注，教师也从费心讲解走向对话交流，让学生在讨论和辨析中自主构建，而教师只要在关键处适当点拨，只要把学生“发动”起来，教学一定会激荡起蓬勃生机。

3.学讲数学故事，理解其中道理。本节课现呈现与0相关的加、减、乘，唤起学生的已有经验，再出示0除以5，请学生说想法，引导学生用生活情景的例子说明规定的合理性，激发学习热情，激活学生的思维。

4.强化估算意识，提高计算水平。估算在生活与学习中有广泛应用，培养学生估算意识，发展学生估算能力，对学生良好数感的形成具有重要意义。本课教学中，由于学生刚接触，容易漏写商中间的0，在计算之前或者计算之后的估算，能有效避免这一现象。

图文 | 翁张娜

编辑 | 施婉茹

审核 | 叶兴福