1238期双元无耦合，主元或偏导思想要学会用

该篇素材选自前几天考的浙江湖州、衢州、丽水 2024 年 11 月三地市高三教学质量检测第18题。该题是传统导数压轴，并不是很难，第（2）问是含参数不等式恒成立证明问题，第（3）问是不等式恒成立求参数范围问题，代入特殊点用必要性探路缩小参数范围，很简单。

之所以讲此题，是因为第（2）问的含参数不等式恒成立问题，以及第（3）问必要性探路缩小参数范围后充分性证明中都可以应用偏导数思想。这两问中，参数 和变量 有各自的取值范围，而且参数 和变量 之间并不存在任何等式或不等关系，即二者之间无任何耦合关系，可以利用偏导数，剥离两个变量，逐次证明两个变量在各自的定义域内满足要求。
另外就是这个过程非常像主元法，即先将参数 先看成主元（变量），证在其取值范围下满足条件，然后再证变量 在其取值范围下满足条件。但是，主元法比偏导思想相比应用更广一些，在同范围双变量不等式证明问题也适用。

• 一、这题中的主元或偏导思想应用

• 二、什么是偏导数？

• 三、偏导数在求最值问题中的应用

• 1、多元函数的极值与最值基础

• 2、拉格朗日乘数法

• 2、拉格朗日乘数法求多元最值模板

• 四、偏导数在含参恒成立问题中的应用

• 五、什么是主元法？

• 1、对于含参函数的恒成立证明问题

• 2、对于同范围双独立变量不等式证明问题

• 3、主元法在模考中的应用

一、这题中的主元或偏导思想应用

【浙江湖州、衢州、丽水25届高三11 月质检T18】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 （ ）
（1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 若 ， ，证明： ；
（3） 若 ，恒有 ，求实数 的取值范围.

解析：

（1） 由题意得 的定义域为

则 ，又

所以所求的切线方程为 ，即

（2） 记

，

在 单调递增

令

在区间 上单调递减

故 成立（关注微信公众号：Hi数学派）

（3） 当 时， ，所以

下证：当 ， 时 恒成立.

由 （2） 得 在 单调递增

令

当 时， ， 单调递减

当 时， ， 单调递增

所以 的取值范围为

二、什么是偏导数？

对于多变量函数如 ，它的偏导数就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定。

例如，求解 关于 的偏导数，我们将 、 视为常数，然后对 求导，所得的新函数（还可能是多变量函数）即为偏导数，记作 （简记为 ）（关注微信公众号：Hi数学派）

举一个具体的例子，二元函数 ，其中 ，

对 求导则有 ，对 求导则有

注： 偏导数在高等数学中非常重要，但是高中一般不怎么涉及，因此在这里不再多加介绍。

三、偏导数在求最值问题中的应用

1、多元函数的极值与最值基础

1. 极值是一个局部概念。

2. 定义：设在点 的某个空心邻域，若 ，则称点 为函数的极大值点， 为函数的极大值。同理可定义极小值点与极小值。

3. 驻点：一阶导数为零的点。在这一点，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于 平面。

注意： 一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点（考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况）；反之，在某设定区域内，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点（考虑到边界条件）（关注微信公众号：Hi数学派）

4. 二元函数极值的必要条件：设 在点 具有偏导数，且它在该点有极值的必要条件是 ， ， 由此易推广到 元函数。

5. 二元函数极值的充分条件：设 在点 有二阶连续偏导数，又 ， ，令 ， ， ，则当 时 是极值，且 时为极大值， 时为极小值；当 时 不是极值；当 时 可能是极值。

6. 求二元连续函数在有界闭域内的最值的一般步骤：

• 先后求函数在内和边界上的所有驻点；
• 将所有驻点的函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值。

2、拉格朗日乘数法

条件极值的一般处理方法为代入求解，过程较复杂，计算量较大！这就迎来今天的内容——拉格朗日乘数法，我们先从二元入手再进行推广

设给定二元函数 和附加条件

为寻找 在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数

其中 为参数。

令 对 ， 和 的一阶偏导数等于零，即（关注微信公众号：Hi数学派）

由上述方程组解出 ， 和 ，如此求得的 ，就是函数 在附加条件 下的可能极值点。若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

从定义上看，在二元的情况下，只要对 求导两次，再结合条件 ，即可得到所求的极值点 。

我们进一步推广：设函数 ，约束条件 ， ，则可构造拉格朗日函数

同上分别对变量求导即可得到可能的极值点坐标。

2、拉格朗日乘数法求多元最值模板

【拉格朗日乘数法模板】 已知 ，，，，  ，要求 ，，，， 的极值。

设

则（关注微信公众号：Hi数学派）

 是对 偏导，即把  看作变量，其他字母看作常量进行求导

解出 ，，，，  ，代入 ，，，， 就可以求得极值。

【典例】 已知正实数  满足  ，则  的最小值是________ .

解析： 设

设

则（关注微信公众号：Hi数学派）

解得

代入解得最小值为

四、偏导数在含参恒成立问题中的应用

先举一个最简单的例子，

【典例1】 设实数 ，证明：

这个问题其实并不难，直接放缩即可：注意到 ，因此 ，即证。

为了说明如何利用偏导数解决含参不等式恒成立问题，此题可以这样写（关注微信公众号：Hi数学派）

令 ，其中 ，此处将 视为常量。

， 在 单调递增。

因此

接下来只需证明 ，而这是显然的。

注： 从上面可以看出，偏导数法就是在剥离两个变量，逐次证明两个变量在各自的定义域内满足要求。下面给出更多典例加以说明。

【典例2】 已知函数 ，
（1） 若 不存在极值点，求 的取值范围。
（2） 若 ，证明： $<e^x$ $+\sin="" x$="" $-1$.<="" p="">

解析： （1） 略

（2） 由 ， 知 ，下证该不等式在 成立。

我们先固定 ，令 ，

在 单调递增。

因此

只需证明

考虑对 进行讨论：（关注微信公众号：Hi数学派）

若 ，则 ， ，

，该不等式成立；

若 ，则 ，只需证明

令

因此 ，该不等式成立。

综上，不等式 在 成立，证毕。

【典例3】 已知函数
（1） 讨论 的单调区间（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 若 ，求证：当 时，

解析： （1） 略

（2） 注意到 ，因此我们先将 视为变量。

令

因此函数 在 单调递增

只需证明

其中

到这里，变量只剩下了 ，虽然看上去有些复杂，但比原不等式简单多了（关注微信公众号：Hi数学派）

令 ，其中

，

在 单调递增，在 单调递减

因此 ，证毕。

注： 事实上，构造出来的 是关于 的一次函数，其一次项 恒正。因此可以知道单调递增，可以不用求导。

【典例4】 设函数 ，
（1） 求 的极值（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 证明：

解析： （1） 略

（2） 注意到 ，

因此只需证明

其中

注意到 ， ，其中

因此 ，当且仅当 时取等，证毕。

【典例5】 已知函数
（1） 若 ，求 的单调区间；
（2） 若 ， ，求证：

解析： （1） 略

（2） 令

因此

只需证明 ，其中

这个不等式的证明还是有难度的，但是有了第(1)题，思路还算自然。

由 （1） 知：当 时，

用 代替 得

其中

因此（关注微信公众号：Hi数学派）

当且仅当 时取等，证毕。

五、什么是主元法？

1、对于含参函数的恒成立证明问题

对于含有参数 的函数 ， ，现要证明 ， ， ．假若此时 的单调性与值域难以分析，可考虑将 看作为关于 的函数 ，此时只需证 ， ，  即可，若 的单调性或值域容易分析，那么将 做为主元来研究将会是一个不错的选择，下面举一个典型的例子

【广东中山市24届高三第三次月考T22】 已知函数
（1） 若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2） 求证：当 时， .

解析：

（1） 实数 的取值范围为 （详解略）.

（2） 将 看成主元，则 是关于 的一次函数，要么单调递增，要么单调递减，取决于 的系数 ，下面分区间讨论其正负

① 当 时， ， ，成立；

② 当 时， ， 在 单调递增，

则 成立；