1232期又是包络线，借此讲讲18个曲线系及应用

该篇素材选自今天刚考的浙江湖州、衢州、丽水 2024 年 11 月三地市高三教学质量检测第19题。该题又是曲线族与包络线题，这题在24年高考之前的模考中考过几次，其实并不难，按照包络线的定义来就行，最后就是一道解析几何题。今天这篇就借此题讲一下包络线，以及解析几何中常用的曲线系及应用。

• 一、这道曲线族与包络线题
• 二、包络线定义
• 1、包络线定义
• 2、曲线族的包络线例子与求法
• 三、曲线系定义及18个曲线系
• 1、直线系
• 2、圆系
• 3、二次曲线系
• 4、二次曲线系拓展
• 四、曲线系应用举例
• 1、四点共圆
• 2、定点问题
• 3、定值问题
• 五、模考中的曲线族与包络线考题

一、这道曲线族与包络线题

【浙江湖州、衢州、丽水25届高三11 月质检T19】 （关注微信公众号：Hi数学派）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 （ ）表示过点 的直线族（不包括直线 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1） 圆 是直线族 （ ）的包络曲线，求 满足的关系式；
（2） 若点 不在直线族 （ ） 的任意一条直线上，求 的取值范围及直线族 的包络曲线 的方程；
（3） 在 （1）（2）  的条件下，过曲线 上动点 向圆 做两条切线 ，，交曲线 于点 . 求 面积 的最小值.

解析：

（1） 由题可得，直线族 （ ）为圆 的切线，所以

所以 满足

（2） 将点 代入 （ ） ，可得关于 的方程

因为点 不在直线族 （ ）上，故方程 无实数解

所以 ，则 ，故

因为区域 的边界为抛物线

下证： 是 （ ）的包络曲线.

联立直线 （ ）与 ，可得

所以 （关注微信公众号：Hi数学派）

故直线族 （ ） 为抛物线  的切线

因此直线族 的包络曲线 的方程为  

（3）  设 ， ，

由直线 与 相切，所以

整理得

同理可得

由 可得直线

直线 与 联立得

显然

可得

由韦达定理可得

因此（关注微信公众号：Hi数学派）

由于点 到直线 的距离为

所以 面积为

令 ，则

解得

所以 在 上单调递减，在 上单调递增

那么 （当且仅当 时取到）

所以 面积 的最小值是

二、包络线定义

1、包络线定义

在几何学，某个曲线族的包络线（Envelope），是跟该曲线族的每条线都有至少一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

设一个曲线族的每条曲线 可表示为 ，其中 是曲线族的参数， 是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由 得出，其中 由以下的方程求得（关注微信公众号：Hi数学派）

若曲线族以隐函数形式 表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去 得出

2、曲线族的包络线例子与求法

【典例】 （关注微信公众号：Hi数学派）一个梯子靠在墙上，由于梯子下沿比较光滑，致使梯子下滑直至滑倒在地，在这个过程中，求：
（1） 梯子中点的轨迹；
（2） 梯子靠近下沿的三等分点的轨迹；
（3） 梯子的包络线.

解析： 为了方便，将梯子长度定单位 ，模型抽象为如上图 1 的坐标系

（1）  显然 中点到原点的距离为 ，即中点轨迹是圆

（2）  由于 ，设 ，，

则靠近下沿的三等分点坐标为 ，轨迹为椭圆

（3）  设 ，则

线段 方程为

记

令 ，即

解得

代入方程得到包络线为星形线

总结： 对于曲线族 ，（ 是参数，随着 取不同值得到不同的曲线），当包络线存在时，包络线由方程组（关注微信公众号：Hi数学派）

消去参数 得到，即方程 。

这是因为包络线与曲线族 的每条曲线都相切，但是曲线族的包络线是固定的,不随 的改变而改变，这就是

三、曲线系定义及18个曲线系

曲线系的定义： 具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系，并用含有参数的方程来示。由曲线系的定义可知，曲线系并不是一条曲线，而是有共同性质的多条曲线的集合，而这些共同的性质在高中阶段常见的就是过几个定点或交点 .

1、直线系

（1） 过定点 的直线系方程为

其中 ， 为参数，下同 .

（2） 过直线 与 交点的直线系方程为（关注微信公众号：Hi数学派）

注： 设两个参数是避免漏掉 ，当已知所求直线不是 时就可设一个参数，即

该方程包括直线 ，但并不包括 .

（3） 与直线 平行的直线系方程为

其中，

（4） 与直线 垂直的直线系方程为

（5） 到定点 的距离为定值 的直线系方程为

注： 此方程也是以点 为圆心，以 为半径的圆的切线系方程 .

2、圆系

（6） 以点 同心的圆系

其中 为参数 .

（7） 过直线 与圆 交点的圆系方程为（关注微信公众号：Hi数学派）

（8） 过圆 与圆 两交点的圆系方程为

其中 .

注： 当 时，上面的方程代表过两圆交点的直线；另外，当两圆只有一个交点或没有交点，当 时，以上方程代表两圆圆心连线的中垂线。

3、二次曲线系

二次曲线的一般形式为 ，包括高中涉及的有圆，椭圆，双曲线，抛物线（关注微信公众号：Hi数学派）。

注：

1. 两条直线相乘可认为是退化的二次曲线，即两条直线 ， ，则方程 表示这两条直线，展开后为二次方程 .

2. 过五点有且仅有一条二次曲线，当其中有三点共线时，则经过这五点的二次曲线为退化的二次曲线

高中可能涉及到的二次曲线系有以下几种，

（9） 椭圆共焦点的曲线系方程为

（10） 双曲线共焦点的曲线系方程为

（11） 椭圆同离心率的曲线系方程为（关注微信公众号：Hi数学派）

（12） 双曲线同离心率的曲线系方程为

（13） 共渐近线双曲线系方程为

（14） 共顶点圆锥曲线系方程为

注： 时为椭圆， 时为双曲线。

4、二次曲线系拓展

以下为拓展的二次曲线系方程，共4个 .

（15） 如图 2，（关注微信公众号：Hi数学派）过两条二次曲线 与 个交点的曲线系方程为

注：

1. 其中 （ ）

2. 设两个参数是避免漏掉 ，，当已知所求直线不是 ， 时就可设一个参数，即 ，该方程包括直线 ，但并不包括 .

（16） 如图 3，过两条直线

与二次曲线 四个交点的圆锥曲线系方程为（关注微信公众号：Hi数学派）

可以简写为（下同）

（17） 如图 4，三角形三边的方程为

则过三角形三个顶点的曲线系为

（18） 如图 5，（关注微信公众号：Hi数学派）四边形四条边的方程为

则过四边形四个顶点的曲线系为

四、曲线系应用举例

1、四点共圆

【典例1】 如图 6，圆锥曲线上 四点共圆的充要条件是

证明： 设直线 的方程为 ，直线 的方程为

过 四点的曲线系方程为

展开后， 项的系数为

若要使其为圆则 项项系数必为

则

同时可使得 与   的系数相等，得证 .

注： 更多有关四点共圆的定理推论可以参考小派之前的推文《1212期 借今年高考题讲四点共圆技巧 • 4定理8推论》

【典例2】 已知 为坐标原点， 为椭圆 在 轴正半轴上的焦点，过 且斜率为 的直线与椭圆交于 两点，点 满足
（1） 证明：点 在椭圆上（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 设点   关于点 的对称点为 ，证明 ，，， 四点共圆，并求出圆的方程

解析：

（1） 设 ，，

联立直线 与椭圆得

则 ，

又

则

故点 在椭圆上；

（2） 由题意得 ，直线

过 ，，，  四点的曲线系方程为

展开得 项系数为 ， 项系数为 ， 系数为

要使其为圆，则 ， 系数应相等，解得

此时（关注微信公众号：Hi数学派）

故 ，，， 在以 为圆心， 为半径的圆上

注： 更多有关四点共圆的定理推论可以参考小派之前的推文《1212期 借今年高考题讲四点共圆技巧 • 4定理8推论》

2、定点问题

【典例3】 已知椭圆 左右顶点为 ，点 为直线 上一动点，直线 ， 交椭圆于 两点，证明直线 过一定点 .

解析： 设点 ，直线

则直线 斜率为 ，直线 的方程为 ，即

同理直线 的方程为

过 ，，， 四点的曲线系方程为

直线 与直线 也经过 ，，， 四点

令（关注微信公众号：Hi数学派）

展开后对比 系数可得 ，对比 系数得

则直线 方程为 ，即

故直线 过定点

3、定值问题

【典例4】 已知椭圆 左右顶点为 ，过焦点 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 ，当点 异于 两点时，证明: 为定值 .

解析：

设 ， ，