1231期温州一模 几何分布具象化的例子

该篇素材选自昨天考的浙江省温州市普通高中 2025 届高三第一次适应性考试第8题。该题并不难，之所以讲此题，只是因为该题是一道有关几何分布具象化的例子，可以帮助同学们拓展学习一下几何分布。这篇借此题给同学们总结一下高中三大分布，相应的期望和方差，以及如何推导的。

• 一、这道关于几何分布具象化的例子
• 二、二项分布
• 1、定义
• 2、中心项
• 3、期望
• 4、方差
• 三、超几何分布
• 1、定义
• 2、期望
• 3、方差
• 四、几何分布
• 1、定义
• 2、期望
• 3、方差
• 4、无记忆性

一、这道关于几何分布具象化的例子

【浙江温州25届高三一模T8】 （关注微信公众号：Hi数学派）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算 “到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数 . 在一次游戏中，飞机距终点只剩 步 ，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 . 则

解析： 由题意得，无论飞机在何处，离终点的距离只可能是 ，，，，

也就是无论前面掷了多少次骰子（都没到达终点），只要最后再掷一次骰子，总有 的概率到达终点

即

即 服从几何分布

由几何分布的期望公式可得（关注微信公众号：Hi数学派）

注： 该题还可以利用期望递推来做，假设已经投掷了 次骰子都没到达终点

则再投掷 次骰子到达终点的概率为 ，没到达的概率为 ，即在第 次投掷骰子才能到达

所以

解得

这种期望递推的操作主要利用的是几何分布无记忆性的性质，下文中有讲解，存在无记忆性的概率模型都可以利用概率递推来做，比如同学们已经熟知的马尔可夫链模型，有关概率递推的技巧典例可以参考小派之前的推文《传球问题的期望用递推做该会了！》，《1197期 条件期望，全期望公式听过吗？》

二、二项分布

1、定义

二项分布： 若随机变量 的分布列为

其中 ， ，则称 服从参数为 的二项分布 . 记为 .

由二项式定理知

因此，该分布列满足应当具备的两条性质，定义是合理的 . 这也是称它为二项分布的原因 . 显然， 即为两点分布 .

在相同条件下，将同一试验重复进行，且各次试验的结果是相互独立的，这样的试验称为独立重复试验 . 将伯努利试验独立重复 次为 重伯努利试验 .

下面举一个例子，说明二项分布与 重伯努利试验的关系，

【二项分布典例】 （关注微信公众号：Hi数学派）在 重伯努利试验中设每次试验事件 发生的概率为 . 以 记 重伯努利试验中事件 发生的次数 .

解析：

令 第 次试验时事件 发生 ，，则

其中等式右边的并共有 项，而且是互不相容、等概率的 . 由试验的独立性得

其中 . 因此， ，亦即 .

注： 二项分布描述了 重伯努试验中某事件 发生次数的概率分布 . 二项分布是重要的离敬型分布之一，它以 重伯努利试验为模型，在实践中有着广泛的应用.

2、中心项

下面的定理表明二项分布的分布列先递增后递减。

二项分布中心项定理： 设随机变量 ，则

其中 为 的整数部分 . 特别地，若 本身为整数，则（关注微信公众号：Hi数学派）

证明：

对 ，计算

因此 ，当且仅当 .定理得证.

称 为二项分布 的最可能出现次数

为二项分布的中心项

递推式 可用来计算概率.

下面，举一个关于二项分布的例子，

【典例】 设每台自动机床在运行过程中需要维修的概率均为 ，且各机床需要维修相互独立 .
（1） 每名维修工人负责看管 台机床，求不能及时维修的概率；
（2） 3 名维修工人共同看管 台机床，求不能及时维修的概率；
（3） 假定有这种机床 台，为使不能及时维修的概率在 以下，问至少需要安排多少名维修工人共同看管这些机床?

解析：

设 为需要维修的机床数

（1）

（2）

（3）  因为 ，所以问题化为求满足如下不等式的最小的 ，即

而（关注微信公众号：Hi数学派）

即 .

注： 可以看出，（2） 的工作效率高 . 直观上这是容易理解的，因为在 （2） 的情形，当同时出现多台需要维修的机床时维修工人之间可以相互协助，以此提高及时维修的概率，当然，我们没有考虑维修需要的时间、管理成本等因素，因此在实际应用中还应该作更细致的分析。另外， 越大二项分布的计算量越大，直接计算是很麻烦的 .

3、期望

二项分布的期望：

证明：

4、方差

二项分布的方差：

证明： 先推导方差与期望的关系式

然后再计算 （关注微信公众号：Hi数学派）

所以

三、超几何分布

1、定义

超几何分布： 若随机变量 的分布列为

其中 ， 则称 服从超几何分布 .  记为 .

利用组合的性质 ，易知它满足分布列应当具备的性质，因此定义是合理的 . 注意到，上面的分布列中只有 满足 的项是非 的 . 约定 或 时， ，则上式总成立 .

下面举一个关于超几何分布常用模型的例子，

【超几何分布典型模型（次品模型）】 （关注微信公众号：Hi数学派） 件产品中有次品 件，从中任取 件，以 记这 件产品中的次品数，则 服从超几何分布 .

解析：

通常的抽样是无放回的，超几何分布正是无放回抽样的概率模型如果是有放回抽样，可以看作是独立重复试验，因此服从二项分布 . 但当 很小时，有放回与无放回的差别是很小的 . 而二项分布比超几何分布计算要简单些，因此常用二项分布近似超几何分布具体地，当 很大， 很小时，令 ，则

2、期望

超几何分布的期望：

证明：

注： 证明过程中应用了组合恒等式

下面方差的证明也应用到了该组合恒等式。

3、方差

超几何分布的方差：

证明：

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

四、几何分布

1、定义

几何分布： 若随机变量 的分布列为

其中 ， ，则称   服从几何分布 .

因为

所以定义是合理的 . 容易计算（关注微信公众号：Hi数学派）

下面举一个关于几何分布常用模型的例子，

注： 这里定义是合理的指的是概率的规范性 ，可以参考小派之前的推文《六大常见的离散型分布》

【几何分布典例】 在独立重复试验中，设每次试验事件 发生的概率为 ， 以 记件 首次发生时所需的试验次数，说明 服从几何分布 .

解析：

记 前 次试验 不发生，第 次 发生

由独立性知

即 服从几何分布 .

2、期望

几何分布的期望：

证明： 由于

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

记 ，则

所以

注： 以上借助的是武汉四调题目中所给的 无穷级数和定义式所求解的，其实也可以这样解，更简单，但用到了无穷级数和

所以

3、方差

几何分布的方差：

证明： 先计算

又 ，所以

所以

4、无记忆性

无记忆性： 取自然数值的随机变量 服从几何分布的充要条件是   具有无记忆性（关注微信公众号：Hi数学派）

对任意的自然数

证明：

（1）充分性：

设 服从几何分布，则对任意的 有

（2）必要性：

设 ，

由知，对任意的 ，有 ，且 .

解该方程得 .

由 知 . 记 ，，则对任意的 ，有（关注微信公众号：Hi数学派）

得证 服从几何分布 .

这表明，在做了 次试验事件 未发生的条件下，再做 次试验事件 仍未发生的概率 等于 从开始算起直接做 次试验事件 未发生的概率 . 也就是说，前面做的 次试验被忘记了 . 这主要是由于是独立重复试验，前面试验的结果对后面试验结果的概率没有影响造成的。