1247期新教材上的复数“新定义”素材结合概率递推

该篇素材选自昨天考的浙江9+1高中联盟25届高三11月期中第19题。该题是用很少作为压轴的复数作为命题素材，而且这部分素材在新教材上也有，只不过是选修章节，复数的三角表示（位于人教A版数学必修第二册第七章， 节 ），这一篇就来总结一下以往出现的复数17分压轴题。

• 一、这道复数结合概率递推
• 二、新教材上的复数“新定义”素材
• 1、复数的三角形式
• 2、复数的乘法法则
• 3、 的 次方根
• 三、再介绍一下棣莫弗定理
• 四、更多复数新定义压轴

一、这道复数结合概率递推

【浙江9+1高中联盟25届高三11月期中T19】（关注微信公众号：Hi数学派）一般地，任何一个复数 （， ） 可以写成 ，其中 是复数的模， 是以 轴非负半轴为始边，射线 为终边的角，称为复数的辅角. 我们规定在 范围内的辅角称为辅角主值，通常记作 ，如 ， ， .
发现 ，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.
考虑如下操作：从写有实数 ，， 的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部. 设 为正整数，重复 次上述操作，可得到 个复数，将它们的乘积记为 .
（1） 写出一次操作后所有可能的复数；
（2） 当 ，记 的取值为 ，求 的分布列；
（3） 求 为实数的概率 .

解析：

（1） 一次操作后可能的复数为

（2） 一次操作后复数的模所有可能的取值为是 ，，，，，

由 ，故 的取值为 ，，，，，

所以 的分布列为

（3） 若 为实数，则 或 .

而 ，，，， ， 的辅角主值分别是 ，，，，，

设在 次操作中，得到 ， 的次数为 ，得到 的次数为 ，得到 的次数为

因此（关注微信公众号：Hi数学派）

设

因此，所有的概率 即为 是 的倍数的概率，下面研究 与 之间的关系.

① 是 3 的倍数，且第 次操作得到的复数是 ，，，（概率为 ）

② 被 除余 ，且第 次操作得到的复数是 （概率为 ）

③ 被 除余 ，且第 次操作得到的复数是 （概率为 ）

因此由全概率公式可以得到（关注微信公众号：Hi数学派）

又 ，故

注： 有关概率递推和全概率可以参考小派之前的推文《962期 概率递推 4 模型》，《传球问题的期望用递推做该会了！》，《1050期 从高考和新教材看全概率问题》，《1118期 一题搞懂全概率贝叶斯》

二、新教材上的复数“新定义”素材

1、复数的三角形式

该题考察的是复数的三角形式，这部分在新教材中是带 * 的选学内容，位于人教A版数学必修第二册第七章，7.3节（P83）如下图。

2、复数的乘法法则

另外，该题给出复数三角形式的乘法法则（棣莫佛定理）在新教材上也有，P86，如下图。

3、 的 次方根

该题第 （3） 问介绍了由棣莫弗定理导出 的 次方根，这在新教材的阅读与思考，P91，如下图。（关注微信公众号：Hi数学派）

三、再介绍一下棣莫弗定理

【棣莫佛定理】（关注微信公众号：Hi数学派）棣莫佛定理其实就是复数三角形式的乘法法则，指的是：设两个复数 ， ，则

证明： 因为 ，

所以

该定理可以推广为一般形式

【推广形式】 设 个复数 ， ，， ，则（关注微信公众号：Hi数学派）

【乘方形式】 在一般形式中如果令 ，则能导出复数乘方公式

证明：

法一：数学归纳法

① 当 时，等式显然成立

② 设当 时等式成立，则当 时

即当 时等式也成立

综上，对于任意正整数 ，都有

法二：欧拉公式

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

注： 有关欧拉公式，小派在之前的推文中已经有所介绍了，用三个函数的麦克劳林展开式即可推出，可以参考《1209期 打破信息差系列1——泰勒展开了》，这里在讲一下

（1） 指数函数 ，其任意阶导数 ，在 处泰勒展开

（2） 三角函数 和 ，在 处泰勒展开

这里便可以利用以上三式证明世界上最美丽的公式，欧拉公式： 。

首先，将 的泰勒展开式中 替换成 （ 为虚数单位）得到（关注微信公众号：Hi数学派）

观察此式，你会惊奇发现等号右侧不正是 和 泰勒展开式的线性组合吗？即

再令 ，即可得到 ，移项即为欧拉公式。

四、更多复数新定义压轴

【长沙雅礼中学25届高三上月考（一）T19】 （关注微信公众号：Hi数学派）复数 （ ）可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 . 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应 . 一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式， 即 其中 为复数 的 模 ， 叫做复数 的辐角（以 非负半轴为始边， 所在射线为终边的角），我们规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 .   叫做复数 的三角形式.
（关注微信公众号：Hi数学派）复数三角形式的乘法公式：

棣莫佛提出了公式：

其中 ，
（1） 已知 ， ，求 的三角形式；
（2） 已知 为定值， ，将复数 化为三角形式；
（3） 设复平面上单位圆内接正二十边形的 个顶点对应的复数依次为 ，，，，求复数 ，，， 所对应不同点的个数.

解析：

（1）

（2）

（3） 正二十边形每边所对的中心角为 ，

设 （ 为常数）

则

其中 ，，，

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

由周期性可知， 共有 个不同的值

故复数 ，，， 所对应不同点的个数为

【海南琼海24高一下质监三T19】 任意一个复数 的代数形式都可写成复数三角形式，即 ，其中 为虚数单位， ， .
棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗 （ ）创立 . 设两个复数用三角函数形式表示为： ， ，则

如果令 ，则能导出复数乘方公式：

请用以上知识解决以下问题（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 试将 写成三角形式；
（2） 试应用复数乘方公式推导三倍角公式： ， ；
（3） 记 ，由棣莫弗定理得

从而得 ，我们称复数

为 在复数域内的三次方根 .
若 为 在复数域内的 次方根 . 求 取值构成的集合，其中 ， .

解析：

（1）

（2） 设模为 的复数为 ，则

由复数乘方公式可得

故（关注微信公众号：Hi数学派）

（3） 记

由棣莫弗定理得

从而得

,

所以 在复数域内的 次方根为

设 ，其中 ,

代入计算可得， ，即 取值构成的集合为 .

【24届深圳中学预测卷T19】（关注微信公众号：Hi数学派）根据代数基本定理，给定正整数 ，方程 有 个复数根，分别是   ， ，这些根称为 次单位根，此时有 .  当 与 互质时， 称为 次本原单位根。 次本原单位根的另一个等价定义是，若 ，且不存在小于 的正整数 使得 ，则称复数 为 次本原单位根 .
给定正整数 ，我们定义 级分圆多项式 ，其中 ，，， 是全部 次本原单位根.
（1） 写出 ，，，并化简 .
（2） 若 是质数（或称素数），求出 并化成最简形式.
（3） 探究是否存在正整数 和 使得 对任意复数 恒成立.

解析：

（1）

当 时，与 互质且小于等于 的正整数只有 和 ，从而

（2） 当 是质数时，与 互质且小于等于 的正整数有 ，，，，只有 与自己不互质 . 根据分圆多项式的定义，有

其中 ，，，，

由题意得

从而（关注微信公众号：Hi数学派）

（3） 不存在，采用反证法

假设存在正整数 和 使得 对任意复数 恒成立.

若 为 次本原单位根，则 且 ，从而有

若 ，则 ，则存在 使得 ，即 成立

从而 为 次本原单位根， .

根据本原单位根的等价定义，此时必有 ，否则可导出矛盾.

这时我们有 ，因此 ，但这是不可能的.

同理若 ，我们也可以得出矛盾.

从而不存在正整数 和 使得 对任意复数 恒成立.