朗博W函数背景

该篇素材选自河南金科新未来2025届高三10月联考第18题。该题其实是隐藏的同构问题，正常做的话就涉及隐零点代换技巧的应用，但通过倒数变换就可以变换成朗博同构结构，可以极大的减少计算量。

另外就是最近模考中出现了非常多的同构题，比如深圳中学25届高三10月检测T18，四川南充25届高三高考适应性考试（一诊）T18，贵阳七校联盟25届高三上第一次联考T17，福建百校25届高三10月联考T14，豫皖天一大联考25届高三二联T11，江南十校25届高三第一次质检T8和浙南名校联盟25届高三第一次联考T8等（关注微信公众号：Hi数学派）

这一期先解析这道隐藏的同构，然后再借此题讲一下朗博W函数(Lambert W Function)背景，最后再归纳一下近期模考中的同构考题。

• 一、这题作倒数变换即同构
• 二、朗博不等式型
• 1、朗博W函数(Lambert W Function)背景
• 2、朗博不等式
• 3、拓展的一些不等式
• 三、更多同构技巧（概念、类型，高考题）
• 四、近期模考中的同构

一、这题作倒数变换即同构

【河南金科新未来25届高三10月联考T18】 已知
（1） 若 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 当 时，函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围.

解析： （1）

，

解得

当 时，代入切线方程得

解得

（2） 法一，隐零点代换法

令

单调递增（关注微信公众号：Hi数学派）

又 ，

，使得

当 时， ， 单调递减

当 时， ， 单调递增

所以 有最小值 ，所以问题转化为 恒成立.

令 （ ）

易得 在 上单调递增

由 得

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

即

所以

.

注： 有关隐零点技巧可以参考小派之前的推文《1144期 导数隐零点技巧》，另外也可以看出，该法在用隐零点代换前也涉及同构的应用，这就不如先作变换再同构。

法二，倒数变换+同构

因为

当且仅当 时取等号

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

故实数 的取值范围为

注： 该题通过倒数变换成立朗博同构型结构，而且变换后的函数在小派之前的推文中就有计算过，下文再借此说明一下其中的朗博W函数背景；上面步骤中用到了放缩不等式 ，当且仅当 时取等号；在答题时，应当证明一下，并且说明是否可以取到等号，即上面步骤中 是否可以取到零。有关放缩不等式的技巧可以参考小派之前的推文《1138期 导数放缩变换技巧》，《897期 直观图解36个放缩不等式》

二、朗博不等式型

这节摘自小派之前的推文《1143期 导数同构套路技巧》

1、朗博W函数(Lambert W Function)背景

【定义】 朗博W函数(Lambert W Function)， 又称欧米伽函数或乘积对数函数，是复变函数 的反函数（关注微信公众号：Hi数学派）．
如果把朗博函数的定义域限制在 上，取其在 上的函数值，那么就定义了一个单调递增的函数 ；同时将定义域在 时，取其在 上的函数值，那么就定义了一个单调递减的函数 ，如下图 1 所示 .

在中学阶段通常用以解形如

的方程（往往是超越方程），将其实数根记为 ．当 时，方程有两个实根 ，如图 2 .

性质： 需要注意的是将 代入 ，可以得到下面的朗博函数性质

另外，很多包含对数函数的超越方程也可以利用朗博函数求解，如

其中 .

解释：

将 代入 得

等号两边同时除以 ，即可得

另外（关注微信公众号：Hi数学派）

① 对于方程 ，

因为 ，所以

因为函数 ，在 时单调递增，所以

② 对于方程 ，

因为 ，所以 ，

所以

③ 对于方程 ，

因为 ，所以

因为函数 ，在 时单调递增，所以

【典例1】 若 ， ，求实数 的取值范围 ．

解析： 分离变量得

记函数

则问题的转化为求 的最小值．函数 的导函数为

则

令

则解得

于是 ，且极小值点为 ，因此函数   的极小值，也为最小值是（关注微信公众号：Hi数学派）

因此 的取值范围是．

注： 从 【典例1】 可以看出利用利用朗博W函数是处理隐零点问题的非常好用的工具，但是这种方法有点超纲，不适合在答题卡中出现。 朗博W函数的根 本身就是设的隐零点，而且其性质和衍生对数函数的超越方程的根都是为了利用设出的中间量 而存在的，而且在转化过程中都用到了函数同构。因此可以直接利用同构和放缩函数导出 朗博不等式，而不借助设出中间量“隐零点”.

2、朗博不等式

朗博不等式：   （ 处取等）

此不等式是结合指对恒等式与常见放缩不等式复合而来的，即上小节中的指对恒等式 （1） 与上一期中的常见放缩不等式 （关注微信公众号：Hi数学派）

注： 朗博不等式，经常出现在导数压轴中，不过现在已经烂大街了。。。感兴趣的可以参考下面的链接，557期【导数】何谓朗博不等式？，617期【导数】广东一模压轴还在用“烂大街”的朗博不等式

3、拓展的一些不等式

基于朗博不等构造过程拓展的一些不等式

（1） （由于 ，所以不等式取不到等号）

（2） （由于 ，所以不等式取不到等号）

（3） （仅当 时取等号）

（4） （仅当 时取等号）

（5） （仅当 时取等号）

（6） （由于 ，所以不等式取不到等号）

（7） （仅当 时取等号）

（8） （仅当 时取等号）

（9）  （由于 ，所以不等式取不到等号）

（10） （仅当 时取等号）

（11） （仅当 时取等号）

……

注：这种不等式还可以构造很多，基本构型都是指对恒等式+常见放缩不等式，关于55个常见放缩不等式，可以参考小派之前的推文《1138期 导数放缩变换技巧》，《897期 直观图解36个放缩不等式》

三、更多同构技巧（概念、类型，高考题）

这部分可以参考小派之前的推文《1143期 导数同构套路技巧》（关注微信公众号：Hi数学派）

• 一、何谓同构？
• 二、对称轮换式同构
• 三、指对同构型
• 1、指对同构基础恒等式
• 2、指对同构常用恒等式
• 3、指对同构找外函数三种方式
• 4、隐蔽性指对同构
• 5、指对同构常见10种外函数图像
• 四、往年高考中的同构
• 五、24年模考中的同构

四、近期模考中的同构

这部分整理了最近模考中的同构考题，包括深圳中学25届高三10月检测T18，四川南充25届高三高考适应性考试（一诊）T18，贵阳七校联盟25届高三上第一次联考T17，福建百校25届高三10月联考T14，豫皖天一大联考25届高三二联T11，江南十校25届高三第一次质检T8和浙南名校联盟25届高三第一次联考T8等

【深圳中学25届高三10月检测T18】 已知函数 ， （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 讨论函数 在区间 上的最大值；
（2） 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

解析：

（1） （详解群内分享）

（2） 当 时，不等式 恒成立，即

恒成立.

令 ，则

则

当 时， ， 单调递增

当 时， ， 单调递减

故

故 ，解得

故实数 的取值范围为

【四川南充25届高三高考适应性考试（一诊）T18】 已知函数
（1） 判断函数 的单调性，并求出 的极值；
（2） 讨论方程 （ ） 的解的个数；
（3） 求证：

解析：

（1）   在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增； 有极小值   ，无极大值（详解咱略，群内分享）

（2） 当 时， （ ） 的解为 个；
当 或 时， （ ） 的解为 个；
当 时， （ ） 的解为 个（详解咱略，群内分享）

（3） 由题意得

令 ，则只需证（关注微信公众号：Hi数学派）

由 （1） 可得  

设

因为 在 上恒成立

所以 在 上单调递增.

则

即原不等式得证

【贵阳七校联盟25届高三上第一次联考T17】 已知函数
（1） 讨论 的单调性（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若 ，且 ，求 的取值范围.

解析：

（1）  当 时， 在区间 内单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.

（2） 当 时，由 得

令

所以 在 上单调递减

则

故 的取值范围为

【福建百校25届高三10月联考T14】 已知不等式 恒成立，则实数 的取值范围为______.

解析：

依题意有

而（关注微信公众号：Hi数学派）

当且仅当 时等号成立

故 ，所以

【豫皖天一大联考25届高三二联T11】 已知对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的可能取值为（）

解析：

设 （ ）

当 时， ，当 时，

在区间 上单调递减，在区间 上单调递增

则不等式 ，即 对 恒成立

设 （ ）

（关注微信公众号：Hi数学派）

当 时， ，当 时，