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1226期教材中的焦半径坐标公式
在人教版教材中，有关圆锥曲线焦半径的定义并未出现，因此也圆锥曲线焦半径的坐标公式也是没有的（抛物线除外，教材上有道例题给出了抛物线的焦半径坐标公式，下面给出）！但是，焦半径、焦点弦问题是圆锥曲线几何性质的进一步应用，在高考模考中经常出现，这些问题的处理体现了多种数学思想方法的交汇．这一篇利用圆锥曲线的定义、方程思想及数形结合思想推导出圆锥曲线的焦半径坐标公式 ．在圆锥曲线问题中若涉及焦半径，如果想到应用焦半径公式来求解，有时会使求解过程十分简捷，下面举例说明，供同学们参考 ．
一、教材上出现的抛物线焦半径坐标公式 二、焦半径定义 三、焦半径坐标公式 1、椭圆的焦半径坐标公式 2、双曲线的焦半径公式 3、抛物线的焦半径公式 四、焦半径坐标公式应用举例
一、教材上出现的抛物线焦半径坐标公式
人教 A 版新教材选择性必修第一册中第135页例4中给出了抛物线的焦半径坐标公式（如下图）
二、焦半径定义
【焦半径定义】 圆锥曲线上任意一点 到焦点 的距离 叫做圆锥曲线关于该点的焦半径，和圆的半径一样，一般也用 表示（关注微信公众号：Hi数学派）
注1： 对于椭圆和双曲线，有两个焦点，故其上任意一点都有两个焦半径，如图 1、2 所示；
注2： 对于抛物线，仅有一个焦点，故其上任意一点有且仅有一个焦半径，如图 3 所示。
三、焦半径坐标公式
对于椭圆和双曲线上的任意一点，都对应有两条焦半径，对于抛物线上任意一点，焦半径唯一存在.（关注微信公众号：Hi数学派）
1、椭圆的焦半径坐标公式
【椭圆焦半径坐标公式】 若 为椭圆 上任意一点，， 分别为椭圆的左、右焦点，则 ，
证法1，代数方法：
设 是椭圆上任意一点（如图 1），则有 ，从而有焦半径，
而 ，所以
而 ，所以
其中 为椭圆离心率．
证法2，代数方法： 设 ， ，依题意有方程组
得（关注微信公众号：Hi数学派）
代 于 并整理得
联立 得
证法3，几何方法，利用第二定义：
如图 4，， 是椭圆的左、右焦点，直线 与 为椭圆的左、右准线， 为椭圆上任意一点，过 作左、右准线的垂线交于 ，，由椭圆的第二定义知
所以
注1： 有关圆锥曲线第二定义的内容可以参考小派之前的推文《1146期 圆锥曲线第二定义技巧》
注2： 焦点在 轴上椭圆 的焦半径公式——
若 为椭圆 上任意一点，， 分别为椭圆的下、上焦点，则 ，
2、双曲线的焦半径公式
【双曲线焦半径坐标公式】 若 为双曲线 上任意一点，， 分别为双曲线的左、右焦点，则（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 当点 在双曲线的左支上时， ， ；
（2） 当点 在双曲线的右支上时， ， .
证明： 如图 5，双曲线 上的两焦点，，相应的准线方程分别是 ， ，双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于双曲线的离心率，
若点 在右半支上，则
化简得 ， ．
同理可证若点 在左半支上，则 ， ．
注： 焦点在 轴上的双曲线 的焦半径公式——
若 为双曲线 上任意一点，， 分别为双曲线的上、下焦点，则
（1） 当点 在双曲线的上支上时， ， ；（2） 当点 在双曲线的下支上时， ， ．
3、抛物线的焦半径公式
（1） 若 为抛物线 ， 上任意一点，则
（2） 若 为抛物线 ， 上任意一点，则
（3） 若 为抛物线 ， 上任意一点，则
（4） 若 为抛物线 ， 上任意一点，则
由抛物线定义易证上述抛物线焦半径公式．
