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1240期打破信息差系列21——阿波罗尼斯定理（中线长定理）
一、往期回顾 1、导数篇18讲 2、解三角形篇 二、这道涉及中线长定理的解三角形题 三、教材上的中线长定理 四、中线长定理（阿波罗尼斯定理） 五、两道中线长定理的应用
一、往期回顾
这种新定义已经被很多老师专家以及关注高考的爱好者喷过了，因为这种套壳新定义仅仅便于某些老师出题之外再无什么优点；另外就是这种题对于了解高等数学的同学非常有利（无论是知识技巧，还是考场上的心态），这就给学生一种错误的导向——应多去了解高等数学内容！（关注微信公众号：Hi数学派）
这虽然是不对的，但是对于学生而言，又改变不了某些老师就是喜欢出这些东西，就比如最近模考中就不乏这些类型的压轴题。因此，同学们在学有余力之下，多看一眼这类高等数学背景就行，突破信息差，让自己在考试中看到这东西心态稳一点。
1、导数篇18讲
《打破信息差系列1——泰勒展开》
《打破信息差系列2——三大中值定理》
《打破信息差系列3——极值点3大充分条件》
《打破信息差系列4——洛必达法则》
《打破信息差系列5——帕德逼近（参考图书+所有帕德题）》
《打破信息差系列6——刘维尔定理》
《打破信息差系列7——斯特林（Stirling）公式》
《打破信息差系列8——函数凸凹性》
《打破信息差系列9——拟合和插值》
《打破信息差系列10——曲率与曲率半径》
《打破信息差系列11——双曲正余弦函数》
《打破信息差系列12——Hadamard 不等式》
《打破信息差系列13——牛顿法与牛顿迭代》
《打破信息差系列14——切比雪夫最佳逼近》
《打破信息差系列15——切比雪夫函数与余弦n倍角展开》
《打破信息差系列16——不动点迭代收敛定理》
《打破信息差系列17——Hölder连续（李普希兹条件）》
《打破信息差系列18——二元函数与偏导数》
注： 以上各讲并没有内容上的递进关系或是学习的先后顺序，即每一讲内容基本上是独立的，看某一讲并不需要一定先看完排序靠前的，也就是各讲序号仅表明该讲编写出来的时间先后罢了。另外，后续如有考卷出现新的涉及导数高等数学背景的，再续更打破信息差系列——导数篇。
2、解三角形篇
该篇是第3篇，前面2篇参看链接↓↓↓
《打破信息差系列19——解三角形与射影几何》
《打破信息差系列20——解三角形与梅氏定理》
该篇素材选自安徽A10联盟25届高三11月联考第16题。该题并不难，就是三角形中的中线长定理，即阿波罗尼斯定理。
二、这道涉及中线长定理的解三角形题
【安徽A10联盟25届高三11月联考】（关注微信公众号：Hi数学派）在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，且
（1） 求证： ；
（2） 若 ，且 是边 的中点 求 的最小值.
解析：
（1）
整理得
由正弦定理得 .
（2） 由中线长定理可得
当且仅当 时等号成立
三、教材上的中线长定理
该定理在人教版新教材必修第二册第六章习题第15题（，如下图）
【人教版新教材必修第二册第六章习题第15题】
的三边分别为 ，，，边 ，， 上的中线分别记为 ，，，利用余弦定理证明（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： 如图 1，设点 为边 的中点，并设 ， ，则
分别在 ， 中利用余弦定理得
两式相加得（关注微信公众号：Hi数学派）
整理即可得
同理可得
四、中线长定理（阿波罗尼斯定理）
【中线长定理】（阿波罗尼斯定理） 设 的三边分别为 ，，，中线长分别为 ，，，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： 同人教版新教材必修第二册第六章习题第15题的证明
五、两道中线长定理的应用
【典例1】（九省联考T8）（关注微信公众号：Hi数学派）设双曲线 （ ， ） 左、右焦点分别为 ，，过坐标原点的直线与 交于 ， 两点， ， ，则 的离心率为（）
解析： 如图 2，易知四边形 为平行四边形
由极化恒等式可知（关注微信公众号：Hi数学派）
由中线长定理可得
整理得 ，所以 .
【典例2】（关注微信公众号：Hi数学派）在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若 .
（1） 求 的值；
（2） 若 ，求 面积的最大值.
解析：
（1）
由正弦定理得（关注微信公众号：Hi数学派）
由余弦定理得
所以
所以
（2） 如图 2，作 的中线 ，
于是
联立 （1） 可得 ，所以点 在以点 为圆心， 为半径的圆上（关注微信公众号：Hi数学派）
故 面积的最大值为
