1226期打破信息差系列17——Hölder连续（李普希兹条件）

• 一、系列背景介绍
• 二、函数Hölder连续与李普希兹条件
• 1、函数Hölder连续性
• 2、李普希兹条件
• 三、回顾24年天津高考导数压轴
• 法一，构造单调性同构
• 法二，主元法：
• 四、24天津卷的推广
• 五、Hölder连续（李普希兹条件）模考题

一、系列背景介绍

这种新定义已经被很多老师专家以及关注高考的爱好者喷过了，因为这种套壳新定义仅仅便于某些老师出题之外再无什么优点；另外就是这种题对于了解高等数学的同学非常有利（无论是知识技巧，还是考场上的心态），这就给学生一种错误的导向——应多去了解高等数学内容！（关注微信公众号：Hi数学派）
这虽然是不对的，但是对于学生而言，又改变不了某些老师就是喜欢出这些东西，就比如最近模考中就不乏这些类型的压轴题。因此，同学们在学有余力之下，多看一眼这类高等数学背景就行，突破信息差，让自己在考试中看到这东西心态稳一点。

该篇是第17篇，前面几篇参看链接↓↓↓
《打破信息差系列1——泰勒展开》
《打破信息差系列2——三大中值定理》
《打破信息差系列3——极值点3大充分条件》
《打破信息差系列4——洛必达法则》
《打破信息差系列5——帕德逼近（参考图书+所有帕德题）》
《打破信息差系列6——刘维尔定理》
《打破信息差系列7——斯特林（Stirling）公式》
《打破信息差系列8——函数凸凹性》
《打破信息差系列9——拟合和插值》
《打破信息差系列10——曲率与曲率半径》
《打破信息差系列11——双曲正余弦函数》
《打破信息差系列12——Hadamard 不等式》
《打破信息差系列13——牛顿法与牛顿迭代》
《打破信息差系列14——切比雪夫最佳逼近》
《打破信息差系列15——切比雪夫函数与余弦n倍角展开》
《打破信息差系列16——不动点迭代收敛定理》

该篇素材选自24年天津高考导数压轴T20，该题涉及函数的Hölder连续与李普希兹条件背景。其次，成都七中2025届高三上学期入学考试导数压轴第19题也是对该题的推广。

二、函数Hölder连续与李普希兹条件

1、函数Hölder连续性

【函数Hölder连续性】 设 是定义在区间 上的函数，我们在这里简要介绍什么是函数的 Hölder 连续性。如果存在常数 和 ，使得对任意的 ， ，都有（关注微信公众号：Hi数学派）

则称 是 Hölder- 连续函数。

特别地，如果 ，即

则称 是 Lipschitz（李普希兹）连续函数。

2、李普希兹条件

【李普希兹条件】 对于定义在区间 上的函数 ，若存在正数 ，使得不等式

对任意 恒成立，则称函数 在区间 上满足李普希兹条件.

三、回顾24年天津高考导数压轴

【2024年天津高考T20】 设函数 .
（1） 求 图像上点 处切线方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若 在 时恒成立，求 的取值范围；
（3） 若 ，证明：

解析：

（1） （详解略）

（2）

令

，

在 上 ，在 上

① 当 时，

在 上 ， ，不符合题意

② 当 时，

在 上 ，在 上

，符合题意

③ 当 时，

在 上 ， ，不符合题意

综上所述， ， 的取值范围为

（3）

法一，构造单调性同构

可以看出原不等式是对称轮换式，也就是改变 的位置，式子等价不变，即（关注微信公众号：Hi数学派）

也就是 的地位等价，不妨设 ，则

① 对于左边不等式：

易知当 时， ，则

即

要证

只需证

即证

令

，

得证（关注微信公众号：Hi数学派）

② 对于右边不等式：

易知当 时，

要证

只需证

即证

令

，，

，，

在

得证（关注微信公众号：Hi数学派）

注： 有关单调性同构可以参考小派之前的推文1143期 导数同构套路技巧

法二，主元法：

当 时， ，成立

当 时，由于 的地位等价，不妨设

设 ，则

因此（关注微信公众号：Hi数学派）

以 为主元，设 ，

在 上

因此只需证

即

① 对于 式，只需证

设 ，

在 上 ，在 上

故   成立，即

② 对于 式，可以发现函数 与 函数 关于 对称

由函数图像可知

当 时，

（后面的 即式 ）

当 时，（关注微信公众号：Hi数学派）

故   成立，即

综上，

四、24天津卷的推广

【成都七中25届高三上开学考T19】 已知函数 .
（1） 判断 的单调性；
（2） 求函数 ， 的值域；
（3） 证明： ，

解析：

（1） 在 单调递增（求导即可证）

（2） 求导得

放缩可得（关注微信公众号：Hi数学派）

令

在 上 ，在 上

在 上

又 ，

故 的值域为

注： 放缩不等式 可以参考小派之前的推文《导数放缩变换技巧》

（3）主元法：

设 ，则

因此

以 为主元，设 ，

在 上

因此只需证（关注微信公众号：Hi数学派）

即

① 对于 式，只需证

设 ，

在 上 ，在 上

故   成立，即

② 对于 式，由 （2） 即可证

综上，

注1： 对于 式，下面给一个更简单的方法

可以发现函数 与 函数 关于 对称

由函数图像可知

当 时，

（后面的 即式 ）

当 时，（关注微信公众号：Hi数学派）

故   成立，即

五、Hölder连续（李普希兹条件）模考题

【24届广东茂名一模 T22】 若函数 在 上有定义，且对于任意不同的  ， ，都有   ，则称函数 为 上的 “ 类函数”（关注微信公众号：Hi数学派）.
（1） 若 ，判断 是否为 上的 “ 类函数”；
（2） 若 为   上的 “ 类函数”，求实数 的取值范围；
（3） 若 为 上的 “ 类函数”，且 ， 证明： ，

解析：

（1） ，设

  是 上的 “ 类函数”

（2） 不妨设 ，且

为 上的 “ 类函数”，

则 恒成立

即 在   上单调递增， 在   上单调递减

所以 ， ， 恒成立

又

所以 ， 恒成立

所以   （关注微信公众号：Hi数学派）

记 ，，

则 ，

所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递减

所以 ，

所以实数 的取值范围为

（3） 证明： 不妨设 ，且

当 时，

当 时，由 得