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1237期教材中不讲的焦点弦长倾斜角与坐标公式
过圆锥曲线焦点的直线与该圆锥曲线相交于两点，则称这两个交点间的线段为圆锥曲线的焦点弦．关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程（如 ， ）代入圆锥曲线方程，化为关于（或）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式
或
求出弦长．这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐．这一篇给出利用圆锥曲线定义及余弦定理等导出其它2种焦点弦长公式，应用起来较为简捷．
一、焦点弦长斜率公式 1、椭圆的斜率式焦点弦长公式 2、双曲线的斜率式焦点弦长公式 3．抛物线的的斜率式焦点弦长公式 二、焦点弦倾斜角公式 1、椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 2、双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 3、抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 三、焦点弦长坐标公式 1、椭圆的坐标式焦点弦长公式 2、双曲线的坐标式焦点弦长公式 3、抛物线的坐标式焦点弦长公式
一、焦点弦长斜率公式
1、椭圆的斜率式焦点弦长公式
【结论1】椭圆的斜率式焦点弦长公式
（1） 如图 1， 为椭圆 的左、右焦点，过 （或 ）斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，则
（2） 如图 2， 为椭圆 的下、上焦点，过 （或 ）斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，则
注： 从上式可以看出，此公式中与直线在 上的截距无关，即直线 过 或 ，弦长公式都一样！
证明： 联立直线与椭圆，由硬解定理即可得，这里不在展开；
2、双曲线的斜率式焦点弦长公式
【结论2】双曲线的斜率式焦点弦长公式
（1） ， 为双曲线 的左、右焦点，过 斜率为 的直线 与双曲线交于 ， 两点，则
① ， 在同支弦，如图 3（关注微信公众号：Hi数学派）② ， 在异支弦，如图 4
综合 ①② 可统一为
（2） ， 为双曲线 的上、下焦点，过 斜率为 的直线 与双曲线交于 ， 两点，则（关注微信公众号：Hi数学派）
① ， 在同支弦，如图 5② ， 在异支弦，如图 6
综合 ①② 可统一为
证明： 联立直线与双曲线，由硬解定理即可得，这里不在展开；
3．抛物线的的斜率式焦点弦长公式
【结论3】抛物线的的斜率式焦点弦长公式
（1） 如图 7，焦点在 轴上（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 如图 8，焦点在 轴上，
证明： 联立直线与抛物线，由硬解定理即可得，这里不在展开；
二、焦点弦倾斜角公式
1、椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
【结论4】椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
（1） 为椭圆 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，则（关注微信公众号：Hi数学派）（2） 为椭圆 的上、下焦点，过 倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，则
注1： 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为
注2： 特殊情形，对于焦点在 轴上的椭圆，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长
证明： 如图 9，连结 ，，，设 ， ，
由椭圆定义得 ，
在 中，由余弦定理得
即（关注微信公众号：Hi数学派）
同理在 中，由余弦定理可求得
则弦长
焦点在 轴上的同理可证 .
2、双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
【结论5】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式（1） ， 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线交于 ， 两点，则
（2） ， 为双曲线 的上、下焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线交于 ， 两点，则
注1： 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为
注2： 特殊情形，对于焦点在 轴上的双曲线，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
证明：
① 如图 10，当 时，直线 与双曲线的两个交点， 在同一支上，
连接 ，，设 ， ，
由双曲线定义可得 ，
由余弦定理可得
整理可得 ，同理
则可求得弦长（关注微信公众号：Hi数学派）
② 如图 11，当 或 时，直线 与双曲线的两个交点 ， 不在同一支上，
连接 ，，设 ，
由双曲线定义可得 ，
由余弦定理可得
整理可得 ，
同理
整理可得 ，
则可求得弦长（关注微信公众号：Hi数学派）
综上，焦点在 轴的焦点弦长公式
焦点在 轴的焦点弦长公式同理可证。
3、抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式
【结论6】抛物线的焦点弦长：
（1） 焦点在 轴上（关注微信公众号：Hi数学派）（2） 焦点在 轴上，
证明： 如图 12，设 ， ，则 ，
由抛物线定义知
因此（关注微信公众号：Hi数学派）
注： 焦点弦长的倾斜角公式的第二定义证法可以参考《1146期 圆锥曲线第二定义技巧》
三、焦点弦长坐标公式
1、椭圆的坐标式焦点弦长公式
【结论7】椭圆的坐标式焦点弦长公式
（1） 椭圆 的焦点弦长公式：
过左焦点， ；
过右焦点，
统一为（2） 椭圆 的焦点弦长公式：
过下焦点， ；
过上焦点，
统一为
证明： 设 ， ，由焦半径公式得： ， ， 是椭圆的离心率
两式相加得
注： 关于焦半径公式，可以参考小派之前的推文《1152期 教材上不讲的焦半径坐标公式》
2、双曲线的坐标式焦点弦长公式
【结论8】双曲线的坐标式焦点弦长公式
（1） 双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦， ；
异支弦，
统一为（2） 双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦， ；
异支弦，
统一为
证明： 设 ， ，
① ， 同在右支曲线上，如图 13
由焦半径公式得： ， ， 是双曲线的离心率
两式相加得
② ， 在左右两支曲线上，如图 14（关注微信公众号：Hi数学派）
由焦半径公式得： ， ， 是双曲线的离心率
两式相减得
3、抛物线的坐标式焦点弦长公式
【结论9】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1） 抛物线 的焦点弦长公式： ；（2） 抛物线 的焦点弦长公式： （关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 抛物线 的焦点弦长公式： ；
（4） 抛物线 的焦点弦长公式： ．
