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1236期抽象函数竟也出成了“新定义”压轴！
该篇素材选自湖北新高考联考协作体25届高三11月联考第19题。抽象函数一般是出在压轴小题的位置，比如多选压轴或填空压轴，但是该题的抽象函数被放到19题了！
该题中的定义抽象函数“类余弦型”函数其实就是双曲余弦函数，可以参看小派之前的推文《1146期 抽象函数赋值技巧》。其次，该题第 （3） 问不是很友好，题目就是要证明 是偶函数且是在 单调递增，但这里直接用定义并不好证，需要构造，类似解柯西方程逐渐扩充数域的思想，这就需要学生了解一些数论的基础知识，有理数可以写成互质分数形式等。
另外，其实有关双曲余弦和正弦函数，在新教材中也出现了。这期借此题讲一下抽象函数和双曲余弦等。
一、这道抽象函数“新定义”压轴 二、新教材中的双曲正余弦函数 1、新教材原题 2、原封不动的模考题 三、双曲正弦、余弦、正切函数 1、与正余弦函数的相似性 2、为什么仅仅存在符号上的差异？ 3、欧拉公式推导简述 四、双曲余弦函数与抽象函数24模型 1、双曲函数的抽象函数模型 2、模考中的双曲函数抽象函数模型 五、柯西方程 1、形式一（加性柯西方程） 2、形式二 四 3、柯西方法的应用实例 六、解抽象函数题型总结
一、这道抽象函数“新定义”压轴
【湖北新高考联考协作体25届高三11月联考T19】 （关注微信公众号：Hi数学派）把满足任意 总有 的函数称为“类余弦型”函数.
（1） 已知 为“类余弦型”函数 ， ，求 的值；
（2） 在 （1） 的条件下，定义数列： （ ），求 的值；
（3） 若 为 “类余弦型” 函数，且 ，对任意非零实数 ，总有 . 设有理数 ， 满足 ，判断 与 的大小关系，并给出证明.
解析：
（1） 令
又 ，故
令 ，
（2） 令 ， ，
又
所以数列 为以 为公比， 为首项的等比数列，即
则（关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 由题意得，函数 定义域为 ，定义域关于原点对称
令 ，有
又 ，故 .
令 ， 为任意实数
，故 是偶函数
又当 时，
， 为有理数，不妨设 ，
令 为 ， 分母的最小公倍数
且 ， ，， 均为自然数，且
设
令 ，
，即
令 ，
故数列 单调递增
则 ，又 是偶函数，所以有
注： 第 （3） 问不是很友好，题目就是要证明 是偶函数且是在 单调递增，但这里直接用定义并不好证，需要构造，类似解柯西方程逐渐扩充数域的思想，下面会讲到。
二、新教材中的双曲正余弦函数
1、新教材原题
人教A版新教材必修第一册P160，如下图
2、原封不动的模考题
【江苏部分省级重点中学高三7月摸底考试T16】（关注微信公众号：Hi数学派） 设 ， ，求证：
（1）
（2）
（3）
解析：
（1）
（2） （关注微信公众号：Hi数学派）
（3）
三、双曲正弦、余弦、正切函数
1、与正余弦函数的相似性
眼力劲好的同学会发现上题中的 ， 很像正余弦函数 ， ，因为（关注微信公众号：Hi数学派）
唯一的差别在 和 前的符号是相反的。造成这种相似性的原因在于 ， 其实就是双曲正余弦函数
以下是三个常见的双曲函数表达式，
双曲函数和三角函数非常相似！三角函数具有的和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式、升幂降角、求导运算等等，双曲函数同样具有，而且非常相似，仅仅存在符号上的差异，比如上面的考题，再比如双曲余弦和差化积公式和积化和差公式
因为双曲函数的各类公式和三角函数非常相似，这里不在展开，感兴趣的同学可以自行推导，也可以仿照下面在介绍为什么仅仅存在符号上的差异时给出的例子进行推导。（关注微信公众号：Hi数学派）
2、为什么仅仅存在符号上的差异？
因为在复变函数领域 双曲函数、三角函数和虚数单位 三者之间存在恒等关系
这就造成了符号上的差异，比如
注 1： 最后一步是整体把 代换成 （都是变量，习惯写成 ）
注 2： 上面双曲函数与三角函数恒等式是借助欧拉公式推导的，即将 代入双曲函数得到的。关于欧拉公式的简单推导，小派之前讲过的（《1128期 以棣莫佛定理为背景的复数新定义压轴》），另外在泰勒展开拟合函数内容也稍微介绍过，可以参考小派之前的推文《1109期 “新定义”做多了，传统导数压轴是不是都忘了》，为了便于阅读，这里再简单说一下
3、欧拉公式推导简述
（1） 指数函数 ，其任意阶导数 ，在 处泰勒展开
（2） 三角函数 和 ，在 处泰勒展开
这里便可以利用以上三式证明世界上最美丽的公式，欧拉公式： 。
首先，将 的泰勒展开式中 替换成 （ 为虚数单位）得到（关注微信公众号：Hi数学派）
观察此式，你会惊奇发现等号右侧不正是 和 泰勒展开式的线性组合吗？即
再令 ，即可得到 ，移项即为欧拉公式。
四、双曲余弦函数与抽象函数24模型
双曲函数和三角函数的相似性也导致双曲函数和三角函数的抽象函数模型一样具有相似性。有关双曲函数和三角函数的抽象函数模型具体可以参考小派之前的推文《1146期 抽象函数赋值技巧》，下面仅给出双曲函数的部分抽象函数模型，其余24模型参见原文。
1、双曲函数的抽象函数模型
（21） 对于双曲正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于双曲正弦平方差公式：
（22） （关注微信公众号：Hi数学派）对于双曲余弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于双曲余弦和差化积公式：（关注微信公众号：Hi数学派）
（23） 对于双曲余弦函数 ，其抽象函数还可以是
注： 此抽象函数对应于双曲余弦积化和差公式：
（24） 对于双曲正切函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于双曲正切函数和差角公式：
注： 双曲正切函数和正切函数的和差角公式是不同的，原因在于双曲正弦和正弦是相同的，双曲余弦和余弦的和差角公式正负号是相反的，取比值之后双曲正切函数和正切函数的和差角公式就是不同的。
2、模考中的双曲函数抽象函数模型
【24 年 2 月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习T8】 已知 是定义在 上单调递增且图像连续不断的函数，且有 ，设 ，则下列说法正确的是（关注微信公众号：Hi数学派）
分析： 此题抽象函数对应的接函数其实就是
也就是双曲正切函数，其图像如下图 2，该函数在 上是下凸函数
所以
附参考标答：
（1） 令 ，
得到
因为 单调递增，所以 不恒等于 ，故
因为 在 上单调递增，故
（2） 令 ，
，
若存在 ，，则 ，则 恒等于 ，与 单调递增矛盾，
故
若存在 ，因为 连续，，，故存在 ，，与上述第三条结论矛盾，
故
（3） 对于本题，
当且仅当 时取等，因为 ， 单调递增，故不取等.
（4）
容易证明 时， 为增函数，
所以
综上所述
五、柯西方程
柯西方程 是法国数学家柯西（1789-1857）在 1821 年前后研究过的一类基本的函数方程，因此这类函数方程现在被称为柯西方程，解决这类函数方程所用到的方法被称为柯西方法。
柯西方程大致有四类，下面逐一介绍。
1、形式一（加性柯西方程）
形式一（加性柯西方程）： 这类柯西方程是较为简单的一种。其描述如下：设函数 ，满足对任意实数 ，均有 . 求
柯西解决这道函数方程的思想是：逐渐扩充数域，也就是从特殊到一般的思想，即先解决 均为正整数的情况，再解决所有整数的情况，接着解决有理数的情况，最后解决实数的情况
（1）正整数情形： 取 ，得到 .
再取 ， ，得到
同理 ，其中 为正整数.
（2）整数情形： 数域扩充到所有整数，
取 ，可得
再取 ，所以 ，因此 为奇函数，
所以对 ， .
（3）有理数情形： 设有理数 （ ）
取 ，得到
再类似整数时的方法，可以得到 ， 即
因此有理数的情形就解决了。
（4）实数情形： 根据现有的条件，是无法在实数范围内求出 的，需要补充条件。如果 满足下列三个条件之一，那么我们就可以确定 的解析式为 ，其中
连续； 在一个区间上单调； 在一个区间上有上界或下界。
下面逐一证明（同学们可以忽略）
（i） 连续
连续的定义： 称 在 处连续，如果
设 ，取一列有理数 ，，， 逼近 ，即 （ 这里类似求无理数次幂的方法）
所以 （这里第一步用到了连续的定义）
（ii） 单调
不妨设 在区间 上单调递增 ，此时易知 . 对 ，若 ，则
情形一： .
取有理数 ，使得 .
结合 的单调性，则 ，矛盾.情形二： .
取有理数 ，使得 .
结合 的单调性，则 ，矛盾.
因此 .
对 ，取有理数 ，使得 ，则 . 所以 ，进而可知对任意实数 都有 .
（iii） 有界
不妨设 在区间 上有上界 ，即对任意 ， .
记 ，则对任意有理数 ， ，且当 时， ，即 在 上有上界. 对任意 ，取有理数 ，使得 ，则 ， 所以 在 上有上界.
若存在实数 ，使得 ，不妨设 . 因为对任意正整数 , ，所以令 可知 就没有上界，矛盾.
因此 ，即 .
2、形式二 四
柯西方程其它三种形式，均可以利用加性柯西方程解决
形式二： 设函数 ，满足对任意实数 均有 ，则当上述三个条件（ 连续、单调或有界）中的一个成立时， （ 表示恒等于）或 或存在实数 ，使得 .
取 ，则 ，因此
若 ，取 ，则可知
若 ，对任意实数 ，
又
所以 ，则 .
令 ，则 ，由加性柯西方程结论 ，所以 .
若 ，则 ；若 ，则存在 ，使得 .
形式三： 设函数 ，满足对任意正实数 ，均有 ，则当上述条件中的一个成立时， 或存在实数 ，使得
令 ，则 .
于是由加性柯西方程结论， ，因此
形式四： 设函数 ，满足对任意实数 ，均有 ，则当上述条件中的一个成立时， 或存在实数 ，使得
若存在 ，使得 ， 则取 ， ，所以
当对任意 ， 均不等于 时，
令 ，则
由加性柯西方程结论， ，即 ，
3、柯西方法的应用实例
柯西解决函数方程的思想方法是逐渐扩充数域，也就是从特殊到一般的思想，即先解决 均为正整数的情况，再解决所有整数的情况，接着解决有理数的情况，最后解决实数的情况。这种思想方法也成为解决函数方程问题的一般方法，在求解较难函数方程问题中基本都会用到，下面举个例子
【典例】 求所有的函数 ，使得对任意正有理数 ，均有 ，且
解析： 取 ，则 ， . 进而易得对任意正整数 ，
对任意有理数 （ ）
展开并整理后得到 ，
因此 经检验，成立 .
注： 通过上面的论述，柯西方法很像赋值法，只不过柯西方法在逐渐扩充数域过程中很严谨地求解函数方程的解。但对于高中抽象函数问题，其本质虽然也是函数方程，但同学们在求解过程中没必要做到非常严谨，一般通过赋值（通常是整数或有理数）求出符合整数域或有理数域下的解即可。
六、解抽象函数题型总结
通过对上面抽象函数题型的数学背景的论述，可以看出其本质是函数方程，求解函数方程的方法是柯西方法，高中生可以理解为需满足所有要求数域的赋值法（关注微信公众号：Hi数学派）。因此，这也决定了抽象函数题型一般方法就是赋值法，但是赋值操作有时候不容易想得到，所以同学们在做这类题型是应多总结，多积累，把见到的函数方程和其对应的函数解都记成一个一个模型。
