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1244期新教材中隐藏的最小角定理
该篇素材选自T8 联盟25届高三联考样卷第19题（原题如下）。该题以立体几何中的三余弦定理为素材，第（1）问证明三余弦定理较为简单；第（2）问则是直接利用三余弦定理求空间的线面角，较为简单；第（3）问则更抽象，是三余弦定理的几何意义的应用，即线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值的应用，难点在于应用三余弦定理将体积公式中含有的线面角放缩成斜线角。
另外，三余弦定理，又叫最小角定理，其实在人教 版新教材中有，只不过是被编者隐藏起来的，并没有直接给出，是用思考设问的形式引导同学们的，如下图。这一篇借此题讲一下立体几何中四大空间角定理。
一、新教材中隐藏的最小角定理 二、以最小角定理为素材的新定义 三、四大空间角定理 1、三余弦定理（最小角定理） 2、三正弦定理（最大角定理） 3、三夹角定理 4、三射线定理 四、空间角定理在高考中的应用
一、新教材中隐藏的最小角定理
在人教 版新教材必修二第 页旁栏思考部分的设问，引导同学们思考斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角的大小关系，这正是最小角定理（三余弦定理）的内容：斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的。
二、以最小角定理为素材的新定义
【T8 联盟25届高三联考样卷T19】（关注微信公众号：Hi数学派）三余弦定理：设 为平面 内一点，过点 的斜线 在平面 上的正投影为直线 . 为平面 内的一条直线，记斜线 与直线 的夹角（即直线 与平面 所成角）为 ，直线 与直线 的夹角为 ，直线 与直线 的夹角为 ，则 . 三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理.
（1） 证明三余弦定理；
（2） 如题图 2，已知三棱柱 , 为正三角形， ，求直线 与底面 所成角的正弦值；
（3） 如题图 3，已知平行六面体 ，记 为平行六面体体积， 为平行六面体表面积， 为平行六面体棱长总和，求证： .
解析：
（1）证明： 过点 作 直线 于点 ，过点 作 直线 于点
则 即为斜线 与平面 所成角 ； 即为斜线 在平面 的射影直线 与平面 内的直线 所成角所成角 ； 即为斜线 与平面 内的直线 所成角
， ，
又 ， ， 平面
平面
平面 ，
（2） 取 中点为 ，连接 ，，，
，
, .
又 ， ， 平面 ， 平面
平面 ， 平面 平面
直线 在平面 上的射影必在交线 上
直线 与底面 所成角为
由三余弦定理得（关注微信公众号：Hi数学派）
即直线 与底面 所成角的正弦值为
（3）证明： 设 ， ， ， ， ， .
由平行六面体的对称性，不妨令 ，
设直线 与底面 所成角为
由三余弦定理可得 ， ，即 ，
由题意得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 ，旦 时等号成立
三、四大空间角定理
1、三余弦定理（最小角定理）
【三余弦定理】（最小角定理） 如图 4，直线 平面 ，直线 平面 ，则 为直线 与平面 所成线面角， 为直线 与棱 （二面角 的棱）所成线棱角， 为直线 在平面 的射影 与棱 所成射影角，则 （关注微信公众号：Hi数学派）
证明：
，，
则
注： 由 ，且 知，，即 ，在这三个角中， 是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值的乘积。斜线与平面所成角 是斜线与平面内所有直线所成角中最小的。
2、三正弦定理（最大角定理）
【三正弦定理】（最大角定理） 如图 5，直线 平面 ，直线 平面 ，则 为直线 与平面 所成线面角， 为直线 与棱 （二面角 的棱）所成线棱角， 为二面角 的平面角，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： ，，
则
注： 由 ，且 知，，即 ，所以二面角 的半平面 内的任意一条直线与另一个半平面 所成的线面角 不大于二面角 ，即二面角是线面角中最大的。
3、三夹角定理
【三夹角定理】 如图 6，直线 、 的夹角为 ，直线 、 的夹角为 ，直线 、 的夹角为 ，则直线 与平面角 所成线面角 满足（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： 设 ， ，则
由三余弦定理得
由 和 得 （关注微信公众号：Hi数学派）
将 代入上式得
所以
将 代入 得（关注微信公众号：Hi数学派）
4、三射线定理
【三射线定理】 如图 7，以点 为顶点的三条射线分别是 、、，其中 、 的夹角是 ，、 的夹角是 ，、 的夹角是 ，则二面角 的大小 满足
证明： 在 和 中分别用余弦定理得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
则
注： 当二面角 的大小 时，三射线定理 退化为 三余弦定理 ，即 .
四、空间角定理在高考中的应用
注： 空间角定理并不能直接在高考解题中使用，在真不知道如何建系或用建系做计算量过大情况下，可以用但需要先证明。
【2024年新Ⅰ卷T17】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 8，四棱锥 中， 底面 ， ，， . （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 若 ，证明: 平面 ；
（2） 若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 .
解析：
（1） （详解略，可以参考小派之前的推文《2024新课标Ⅰ卷 • 全卷详细解析》）
（2） 建系法： 可以参考小派之前的推文《2024新课标Ⅰ卷 • 全卷详细解析》
三射线定理法：
底面 ， 平面 ，，
，， 平面
平面 ，
，
设 ，，，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
设二面角 的平面角大小为
所以
解得
【2022新高考全国I卷T19】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 10，直三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ．
（1） 求 到平面 的距离；
（2） 设 为的 中点，，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
解析：
（1） （详解略）
（2） 建系法 以及建系指导（最大化利用轴截距建系）可以参考小派之前的推文《1241期 新教材中的解析立体几何（12点）》
三射线定理法：
由题意可得 ，，
在 中，
则
在 中，
则
设二面角 的平面角为
所以由三射线定理可得（关注微信公众号：Hi数学派）
从而
