1225期内准圆也能放在19题！

这篇素材选自福建省优质高中25届高三上10月联考第19题（原题如下）。该题竟然在考内准圆，这不是解析几何中的纯结论吗，17分纯纯在送！

• 一、这道内准圆压轴题

• 二、圆锥曲线的内准圆

• 1、内准圆定义

• 2、内准圆性质与结论

• 三、圆锥曲线的内准圆

• 1、外准圆定义

• 2、图解椭圆外准圆12性质

一、这道内准圆压轴题

【福建省优质高中25届高三上10月联考T19】 定义：已知椭圆 （ ），把圆 称为该椭圆的协同圆 . 设椭圆 协同圆为圆 ，（ 为坐标系原点），试解决下列问题（关注微信公众号：Hi数学派）：
（1） 写出协同圆圆 的方程；
（2） 设直线 是圆 的任意一条切线，且交椭圆 于 两点，求 的值；
（3） 设 是椭圆 上的两个动点，且 ，过点 作 ，交直线 于 点，求证：点 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

解析： 无聊参考解析可略过

（1） 由椭圆 ，知 ，

根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆

（2） 设 ，，则 .

直线 为圆 的切线，分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论

① 当直线 的斜率不存在时，直线 .

若

由

解得

此时

若 ，同理得：

② 当直线 的斜率存在时，设

由

得

则

又直线 是圆 的切线，故

可得

由韦达定理得

而

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

即

综上，恒有

（3） 是椭圆 上的两个动点且 ，设 ，，则

以下按直线 ， 有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.

① 若直线 的斜率不存在，即点 在 轴上，则点 在 轴上，有 ，

， ，且

由

解得

② 若直线 ， 的斜率都存在，设 ，则

由

得

有

同理得

于是

由

可得

因此，总有

即点 在圆心为坐标原点,半径为 的圆上.

该定圆的方程为圆

二、圆锥曲线的内准圆

1、内准圆定义

定义： 为椭圆/双曲线上两点， 为中心，且 ，过点 作 的垂线，垂足为 ， 为定值，点 的轨迹为圆 ，称为内准圆。

椭圆、双曲线的内准圆方程为

其中椭圆内准圆半径 满足

其中双曲线内准圆半径 满足 ，（ ）

2、内准圆性质与结论

先以椭圆为例，先来介绍一下椭圆内准圆的性质与结论，

性质1：

证明： 如图 1，  为椭圆上两点，且   ，

过点 作 的垂线，垂足为 .

这里直接利用几何关系设参数证明比较方便，类似于参数方程，

设 ， ， 与 轴的夹角为 ，则

因为 ，则 与 轴的夹角为 ，

则 ，即

把 代入椭圆化简得

故（关注微信公众号：Hi数学派）

性质2： 垂足 的轨迹为

证明： 利用三角形 等面积代换

又

两端同乘 得

故

则点 的轨迹为

结论还可以推广，如下↓↓↓↓↓↓

当 时，

当 时，

性质3： 弦长 的取值范围为

证明： 这里可以利用上面结论与对勾函数的性质证明

可得 （关注微信公众号：Hi数学派）

又

则

由对勾函数性质可知 在 处取最小值

此时

在 或 处同时取最大值

此时

故

性质4： 三角形 的面积满足

证明： 这里可以用 性质2、3 直接相乘即可得出，下面小π用一种不用 性质2、3 的做法，

设 ，

因为

由均值不等式得（关注微信公众号：Hi数学派）

即 ，当 时取等

点 在椭圆上，则 ，

由柯西不等式得

得

故

椭圆的外准圆的性质与结论介绍完了，在双曲线上也有相似结论，

如下图 2，  为双曲线 ， 上两点， 为中心，且 ，过点  作 的垂线，垂足为

性质1：

当 时，

当 时（关注微信公众号：Hi数学派），

性质2： 垂足 的轨迹为

性质3： 弦长 的取值范围为

双曲线中

性质4： 三角形 的面积满足

三、圆锥曲线的内准圆

1、外准圆定义

定义： 椭圆/双曲线上两条相互垂直的切线的交点 P的轨迹方程为圆称为外准圆，也叫蒙日圆 .

方程： 椭圆 （ ） 的外准圆方程为

双曲线   （ ） 的外准圆方程为

下面就以椭圆为例介绍两种证明吧！双曲线的证明相似，同学们感兴趣可以尝试一下哦！

几何证明： 如下图 5：， 是椭圆的两条相互垂直的切线，

设 关于直线 的对称点为 ， 关于直线 的对称点为 ，

分别交 ， 于点

则 ， 为等腰三角形

由圆光学性质得 及  三点共线

由圆定义可知 ，

则 ， 为 的中位线

则 ，同理

为直角三角形，则

连接矩形 的对角线交于点

在 中由极化恒等式得

同理得（关注微信公众号：Hi数学派）

又

则由 得

即 的轨迹为

代数证明： 设 ，过 直线可设为 ，即

联立 并整理得

即

因为直线与圆相切

即

两边减去 整理得

约去 ，展开并整理得

由韦达定理得

因为两直线垂直， 则

整理得

所以 点的轨迹为：

椭圆与双曲线都有外准圆，那抛物线是否也有外准“圆”呢？即抛物线上两条相互垂直切线的交点的轨迹是否存在，是否有与椭圆和双曲线统一的结论呢？

由抛物线准线的性质可知，过准线上一点作抛物线的两条切线，则这两条切线相互垂直。

即，抛物线的外准圆是就是其准线，准线可看作一个半径为无穷大的圆。

2、图解椭圆外准圆12性质

下面是以椭圆为例总结的圆锥曲线外准圆12性质结论，因为椭圆是高考的宠儿，虽然抛物线也是，但抛物线的外准圆是其准线，其性质结论也就是准线的性质结论，可以参考小派之前的推文《图解抛物线45结论》，《图解阿基米德三角形16结论》

性质结论1： 如图 1，过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线 ， ，则

性质结论2： 如图 2，椭圆 的任意切线与外准圆交于 两点，有

证明： 这里用齐次化的方法，有关齐次化可以参考小派之前的推文《934期【圆锥】齐次化及推广应用》

当斜率为零或斜率不存在时，易证得

当斜率存在设切点为 ，，

则切线方程为

联立直线与圆得

同除 得

整理得 （关注微信公众号：Hi数学派）

则

又点 在椭圆上则

则（关注微信公众号：Hi数学派）

分子分母对应系数成比例则

注： 这里联立切线方程与圆时，借助了 来配凑齐次项。

性质结论3： 如图 3，设 为圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，交椭圆于点 ， 为原点，则 的斜率乘积为定值

性质结论4：（垂径定理的推广） 如图 3，设 为圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， 为原点，则 的斜率乘积为定值 ，且 的斜率乘积为定值

性质结论5： 如图 3，过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线， 为原点，则 平分椭圆的切点弦 .

证明： 设 点坐标 ，直线 斜率

由切点弦公式得到 方程 ，

由点差法可知， 平分 ，如图 是中点

性质结论6： 如图 4，设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， 为原点，延长 交蒙日圆 于两点 ，则 关于原点对称 ，且