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1224期这5个有关正切的解三角形模型，小众但好用！
昨天总结了三倍正切模型，可以参考链接《解三角形中的三倍正切模型》. 今天这篇总结一下关于解三角形中正切的几个模型结论。
一、正切恒等式 1、什么是正切恒等式？ 2、正切恒等式典型应用 二、正切定理 1、什么是正切定理？ 2、正切定理典型应用 三、正切分式定理 1、什么是正切分式定理？ 2、正切分式定理典型应用 四、三角形面积正切式 1、什么是三角形面积正切式？ 2、三角形面积正切式典型应用 五、三倍正切模型 1、什么是三倍正切模型？ 2、三倍正切模型典型应用 六、附正余弦平方差公式（平方形式的和差化积）
一、正切恒等式
1、什么是正切恒等式？
【正切恒等式】 在 中，三个内角分别为 ，， ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： 在 中，
所以
所以
移项即可得
注： 此等式不仅在 中成立，只要满足 （ ） 都成立.
2、正切恒等式典型应用
【典例1】 在锐角 中，若 ，， 依次成等差数列，则 的值为_______ .
解析： 由题意得
由正切恒等式得（关注微信公众号：Hi数学派）
联立以上两式可得
又在锐角 中，
故
【典例2】 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若已知 ，则 的最小值为______ .
解析： 由余弦定理可得
所以
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
令 ，则
当且仅当 时取等号，即
故 的最小值为 .
【典例3】 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若已知 ，则 的最小值为______ .
答案： ，详解同 【典例2】
二、正切定理
1、什么是正切定理？
【正切定理】 在 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证法1：正弦定理+和差化积
证法2：几何法
如图 1 所示，在三角形 中，延长 到 ，使 ， 是 中点，则 垂直 。
平行 ，
因为相似三角形
因为三角形内角和
2、正切定理典型应用
【典例4】 在三角形 中，，，求
解析： 由正切定理得（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
所以
三、正切分式定理
1、什么是正切分式定理？
正切分式定理： 如图 2，在非直角的 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则
证明：
再由余弦定理得（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
其余等式同理可证
2、正切分式定理典型应用
【典例5】 在 中， ，则 ________ .
解析： 由正弦定理可得
再由正切恒等式
则（关注微信公众号：Hi数学派）
【典例6】 在锐角 中， ，则 ________ .
解析：
由正切分式定理可得（关注微信公众号：Hi数学派）
又 ，
所以
四、三角形面积正切式
1、什么是三角形面积正切式？
【三角形面积正切式】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证明：
（1） 由余弦定理得
所以
（2） 将余弦定理变形可得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 将余弦定理变形可得
所以
2、三角形面积正切式典型应用
【典例7】（2018年全国 I 卷文T16） 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ， 则 的面积为_______ .
解析： 由正弦定理可得
由三角形面积正切式可得（关注微信公众号：Hi数学派）
注： 这里的 舍去了，因为面积没有负值；另外也可以由余弦定理看出，首先 ，则 ，因此 只能取
【典例8】 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ， ，则 的面积为_______ .
解析： 由三角形面积正切式可得
五、三倍正切模型
1、什么是三倍正切模型？
【三倍正切模型】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证明
必要性： 由正弦定理得
所以
由正余弦平方差公式可得
所以
两端和差角公式展开可得
即
因为 是锐角三角形
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
即
充分性： 由 ，可得
由正弦定理得
由余弦定理得
化简得
即
2、三倍正切模型典型应用
【典例9】（吉林吉林市25届高三上一模T18） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，， （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 若 ， ，求 的面积 ；
（2） 求证： ；
（3） 当 取最小值时，求 .
解析：
（1） 由题意
又
所以 的面积
（2） 由 ，可得
由正弦定理得
由余弦定理得（关注微信公众号：Hi数学派）
化简得
即
（3） 由 可得
又
所以
当且仅当 ，即 时取等号
此时
【典例10】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，当 取最大值时，_______ .
解析： 由三倍正切模型知
所以
当且仅当 ，即 时取等号
因为 是锐角三角形（关注微信公众号：Hi数学派）
六、附正余弦平方差公式（平方形式的和差化积）
正余弦平方差也就是平方形式的和差化积。下面先介绍和差化积公式
【和差化积公式】
证明： 利用两角和差公式即可证明，比如对于前两个公式
由 得（关注微信公众号：Hi数学派）
由 得
令 ，
解得 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
【平方形式的和差化积公式】（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： 利用上面的和差公式即可证明，比如对于第一个公式，首先由于
由和差化积公式可得
由 再结合正弦二倍角展开式即可得（关注微信公众号：Hi数学派）
【2022年全国乙卷T17】 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知
（1） 证明： （关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若 ， ，求 的周长.
（1） 证明：
由正弦平方差公式可得
（2） 暂略
