1234期新教材中的圆锥曲线第三定义

椭圆和双曲线称为有心圆锥曲线（它们有对称中心），这一期给出了有心圆锥曲线的第三定义，并通过对第三定义的进一步研究得出相应的推广，利用第三定义及其推广简单、巧妙地解决了近年高考及模拟题中较为复杂的解析几何问题．

• 一、新教材中出现的第三定义
• 1、椭圆的第三定义
• 2、双曲线的第三定义
• 二、细讲圆锥曲线第三定义
• 1、第三定义
• 2、第三定义结论
• 三、第三定义推广1
• 四、第三定义推广2——中点弦
• 五、有心圆锥第三定义表格总结
• 六、第三定义的六大应用
• 1、求离心率（或范围）
• 2、求斜率、弦长
• 3、求轨迹方程
• 4、对称性问题
• 5、定点（定值）问题
• 6、第三定义综合应用

一、新教材中出现的第三定义

1、椭圆的第三定义

人教 A 版新教材选择性必修第一册中第108页例3中给出了椭圆的第三定义（如下图）

2、双曲线的第三定义

人教 A 版新教材选择性必修第一册中第121页探究中给出了双曲线的第三定义（如下图）

二、细讲圆锥曲线第三定义

1、第三定义

【圆锥曲线第三定义】 平面内动点到两定点 ，（或 ，）的斜率乘积等于常数 的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当 时为椭圆，当 时为双曲线．

2、第三定义结论

【结论1】 为椭圆 的长轴两端点， 是椭圆上异于 的任一点，则有

证明： 设 ，，

又

代入上式可得（关注微信公众号：Hi数学派）

同理可证如下的结论2～4

【结论2】 为椭圆 的短轴两端点， 是椭圆上异于 的任一点，则有

【结论3】 为椭圆 的长轴（或短轴）两端点， 是椭圆上异于 的任一点，则有

【结论4】 为双曲线 的实轴（或虚轴）两端点， 是双曲线上异于 的任一点，则有（关注微信公众号：Hi数学派）

三、第三定义推广1

【引例1】 已知 是圆 的直径，点 是圆上一点，当 ， 斜率存在时，思考： 是否为定值？

解析： 因为 是直径，所以 ， ，所以 为定值 .

【引例2】 已知 是椭圆 上关于原点对称的两个点，点 在椭圆上．当 ， 斜率存在时，思考： 是否为定值？

解析： 设 ，，则

点 和点 在椭圆上，则有

作差得

即（关注微信公众号：Hi数学派）

为定值 .

同理，焦点在 轴上的椭圆， 为定值 .

【引例3】 已知 是双曲线 上关于原点对称的两个点，点 在双曲线上．当 和 斜率存在时，思考： 是否为定值？

解析：设 ，，则

点 和点 在双曲线上，则有

作差得

可得

为定值 .

同理，焦点在 轴上的双曲线， 为定值 .

【结论5】 在椭圆 中， 是关于原点对称的两点， 是椭圆上异于  的一点，若 ， 存在，则有（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论6】 在椭圆 中， 是关于原点对称的两点， 是椭圆上异于  的一点，若 ， 存在，则有

【结论7】 在双曲线 ， 是关于原点对称的两点，点 在双曲线上异于 的一点，若 ， 存在，则有

【结论8】 在双曲线 ， 是关于原点对称的两点，点 在双曲线上异于 的一点，若 ， 存在，则有

四、第三定义推广2——中点弦

【引例4】 已知 是圆的一条弦，点 是 中点，当 和 斜率存在时，思考 是否为定值？

解析： 点 是 中点，由垂径定理可得 ，所以

注： 作点 关于原点 的对称点 ，由圆的对称性可知，点 在圆上；并连接 ，，则由中位线可知 ，所以  

【引例5】 已知 在椭圆 上，点 是 的中点，当 和 斜率存在时，思考 是否为定值？

解析： 设 ，，

点 和点 在椭圆上，则有

作差得

同理，焦点在 轴上的椭圆， 为定值 .

注： 作点 关于原点 的对称点 ，由椭圆的对称性可知，点 在椭圆上；并连接 ，，则由中位线可知 ，所以  

【引例6】 已知 在双曲线 上，点 是 的中点，当 和 斜率存在时，思考 是否为定值？

解析： 设 ，

点 和点 在双曲线上，则有

作差得（关注微信公众号：Hi数学派）

同理，焦点在 轴上的双曲线， 为定值 .

注： 作点 关于原点 的对称点 ，由双曲线的对称性可知，点 在双曲线上；并连接 ，，则由中位线可知 ，所以  

【引例6】 已知 在抛物线 上，点 是 的中点，当 斜率存在时，思考 是否为定值？

解析： 设 ，

点 和点 在抛物线上，则有

作差得

即

同理可证焦点在 轴负半轴和 轴正负半轴的情形．

【结论9】   为椭圆 的不平行于对称轴的弦， 为线段 的中点， 为原点，则（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论10】   为椭圆 的不平行于对称轴的弦， 为线段 的中点， 为原点，则

【结论11】   为双曲线 的不平行于对称轴的弦， 为线段 的中点， 为原点，则

【结论12】   为双曲线 的不平行于对称轴的弦， 为线段 的中点， 为原点，则

【结论13】 已知直线 与抛物线  相交于 两点， 点为线段 的中点， 为原点，则

【结论14】 已知直线 与抛物线 相交于 两点， 点为线段 的中点， 为原点，则

【结论15】 已知直线 与抛物线  相交于 两点， 点为线段 的中点， 为原点，则

【结论16】 已知直线 与抛物线 相交于 两点， 点为线段 的中点， 为原点，则

五、有心圆锥第三定义表格总结

六、第三定义的六大应用

1、求离心率（或范围）

【典例1】 过点 作斜率为 的直线与椭圆 相交于 ，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为___.

解析： 设 ，，则

两式相减可得

是线段 的中点， ，

直线 的方程是

代入 式可得（关注微信公众号：Hi数学派）

2、求斜率、弦长

【典例2】 过椭圆 上一点 作圆 的切线，且切线的斜率小于 ，切点为 ，交椭圆另一点 ，若 是线段 的中点，则直线 的斜率

为定值
为定值
为定值
随 变化而变化

解析： 设 ，， ，则

化简可得

因为 是线段 的中点，故

代入化简可得 的斜率

又直线 与 垂直，故

解得 ，代入圆 可得

故直线 的斜率为 为定值.

故选

3、求轨迹方程

【典例3】 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 两点 . 若 的中点坐标为 ，则 的方程为___.

解析： 已知 ，设 ，则

两式相减可得（关注微信公众号：Hi数学派）

已知 的中点坐标为 ，则 ，