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1242期曼哈顿距离下的“最短距离”、“圆”、“椭圆”
该篇素材选自浙南名校联盟2025届高二期中联考第19题。该题还是以曼哈顿距离为素材的“新定义”题，并不难（原题如下）。之所以讲这道题，是因为该题可以让同学们更好地理解曼哈顿距离与课上学的欧氏距离之间的区别，比如第（1）问的以原点为心，以曼哈顿距离 为半径的“圆”长什么样；第（2）问的点到直线最小曼哈顿距离与传统的最小距离有什么区别； 这一篇就借此题再详细介绍一下什么是曼哈顿距离，曼哈顿距离下的点到直线和平行直线之间的最短距离，以及曼哈顿距离下定义的“圆”，“椭圆”长什么样子？
一、这道曼哈顿距离下“圆”和“最小距离” 二、什么是曼哈顿距离？ 三、曼哈顿距离下定义的最短距离 1、点到直线最短距离 2、点到直线最短距离图解 3、平行直线之间的最短距离 四、曼哈顿距离下定义的“圆” 五、曼哈顿距离下定义的“椭圆” 六、高考中的曼哈顿距离 1、二维曼哈顿距离 2、高维曼哈顿距离 七、模考中的曼哈顿距离 1、最小曼哈顿距离 2、曼哈顿椭圆 3、高维曼哈顿距离
一、这道曼哈顿距离下“圆”和“最小距离”
【浙南名校联盟2025届高二期中联考T19】（关注微信公众号：Hi数学派）在平面直角坐标系 中，定义: 为 ， 两点之间的“折线距离”.
（1） 已知 ，动点 满足 ，求动点 所围成的图形的面积；
（2） 已知 是直线 上的动点，对于任意点 ，求证： 的最小值满足（3） 已知 是函数 上的动点， 为函数 上的动点，求 的最小值.
解析：
（1） ，则动点 轨迹为如图 1 所示的正方形，面积为
（2） 证明： 设
当 时，则有
在点 处取得最小值.
当 时，同理可得
在点 处取得最小值.
综上
（3） 设 ，
由题意得， 满足方程 （ ）
可设 （ ），由 （2） 可知，点 到直线 的最小“折线距离”为（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 的最小值为
二、什么是曼哈顿距离？
二维平面中的定义： 设 ， 为平面上两点，则定义 为 “直角距离” 、“折线距离” 或 “曼哈顿距离 ”，记作
曼哈顿距离的几何意义： 如图 2，动点 到定点 的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形（关注微信公众号：Hi数学派）
（注：对角线平行于坐标轴，点 到点 的曼哈顿距离为正方形对角线长的一半）
维空间中的定义： 设 ， 为 维空间中的两点，则定义 “曼哈顿距离 ” 为
三、曼哈顿距离下定义的最短距离
曼哈顿距离下定义的点到直线最短距离和平行直线之间的最短距离与在欧氏距离（ ）下定义的最短距离很相似，只有分母发生了变化，如下。
1、点到直线最短距离
曼哈顿距离下点到直线最短距离：（关注微信公众号：Hi数学派）设点 为直线 外一定点， 为直线 上的动点，则
证明：
当 时，则有
在点 处取得最小值.
当 时，同理可得
在点 处取得最小值.
综上，
2、点到直线最短距离图解
（1） 当 时，如图 3，直线 上任意一点 到点 的曼哈顿距离为
即 在点 处取得最小值.
（2） 当 时，如图 4，直线 上任意一点 到点 的曼哈顿距离为（关注微信公众号：Hi数学派）
即 在点 处取得最小值.
（3） 当 时，如图 5，直线 上任意一点 到点 的曼哈顿距离为
即 在点 到点 之间都取得最小值.
3、平行直线之间的最短距离
曼哈顿距离下平行直线之间的最短距离： 设点 为直线 上的一动点，点 为直线 上的动点，则
证明： 设 ，则
由 点到直线最短距离 可得
四、曼哈顿距离下定义的“圆”
曼哈顿“圆”： 如图 6，动点 到定点 的曼哈顿距离为定值 的轨迹是正方形，即曼哈顿距离下定义的“圆”
注： 对角线平行于坐标轴，正方形对角线长的一半即为半径 。
五、曼哈顿距离下定义的“椭圆”
这节用今年的一道模考题和2014年福建高考文科T12介绍，如下
【24届乌鲁木齐二模T19】（关注微信公众号：Hi数学派）在平面直角坐标系 中，重新定义两点 ， 之间的“距离”为 ， 我们把到两定点 ，的“距离”之和为常数 的点的轨迹叫“椭圆”．
（1） 求“椭圆”的方程；
（2） 根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
（3） 设 ， 作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 ， 的左顶点为 ，过 作直线交 于 ， 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
解析：
（1） 设“椭圆”上任意一点为 ，则
即
即
所以“椭圆”的方程为
（2）
1）“椭圆”的范围
由方程
得
因为 ，所以
即
所以
解得 ，
由方程
得
即（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 ，所以
所以“椭圆” 范围为 ， （如图 7 所示）
2）“椭圆”的对称性
① 将点 代入得，
即 ，方程不变
所以“椭圆”关于 轴对称；
② 将点 代入得，
即 ，方程不变
所以“椭圆”关于 轴对称；
③ 将点 代入得，
即 ，方程不变
所以“椭圆”关于原点对称（关注微信公众号：Hi数学派）
所以“椭圆”关于 轴， 轴和原点对称（如图 3 所示）
（3） 由题意可设椭圆 的方程为
将点 代入得
解得
所以椭圆 的方程为
，，设 ，
由题意可设直线 的方程为
联立
得
恒成立
则 ，
因为 的中点为
则
所以直线 的中垂线的方程为
同理直线 的中垂线的方程为
设 ，则 ， 是方程 的两根
即 ， 是方程 的两根
所以 ，
又因 ，
所以 ，
两式相比得 ，
所以
所以
所以直线 与 的斜率之积为定值 ．
【2014年福建卷文科T12】 在平面直角坐标系中，两点 ， 间的 “－ 距离” 定义为 ，则平面内与 轴上两个不同的定点 的 “－ 距离” 之和等于定值（大于 ）的点的轨迹可以是（）
解析： 和24届乌鲁木齐二模T19 （1） （2） 问解答相同，选
六、高考中的曼哈顿距离
1、二维曼哈顿距离
【2006年福建卷理科T12】 对于直角坐标平面内的任意两点 ， ，定义它们之间的一种“距离”： . 给出下面三个命题：（关注微信公众号：Hi数学派）
① 若点 在线段 上，则
② 在 中，若 ，则
③ 在 中，
其中真命题的个数为（）
解析： ① 显然正确；
② 不正确，例如在等腰直角三角形 中，设两直角边长为 ，则
显然不成立；
③ 由三角形不等式可知
则 ③ 错误
综上，真命题只有 ①，故选 .
2、高维曼哈顿距离
【2010年北京高考理科T20】 已知集合 ，，，， ， ， ，对于 ，，，， ，，， ，定义 与 的差为
与 之间的距离为（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 证明： ，有 ，且 ；
（2） 证明： ，，， 三个数中至少有一个是偶数；
（3） 设 ， 中有 个元素，记 中所有两元素间距离的平均值为 . 证明： .
解析：
（1） 设 ，，，， ，，，， ，，，
由题意知 ，，
当 时，
当 时，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 设 ，，，， ，，，， ，，， ， ， ，
记
由 （1） 可知
所以 中 的个数为 ， 的 的个数为
设 是使 成立的 的个数，则
由此可知， 三个数不可能都是奇数
即 ，， 三个数中至少有一个是偶数.
（3）
其中 表示 中所有两个元素间距离的总和
设 种所有元素的第 个位置的数字中共有 个 ， 个
则
由于
所以
从而（关注微信公众号：Hi数学派）
【2010年北京高考文科T20】 已知集合 ，，，， ， ， ，对于 ，，，， ，，， ，定义 与 的差为
与 之间的距离为（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 当 时，设 ， ，求 ，；
（2） 证明： ，有 ，且 ；
（3） 证明： ，，， 三个数中至少有一个是偶数；
解析：
（1）
（2） （3） 证明同 【2010年北京高考理科T20】
七、模考中的曼哈顿距离
1、最小曼哈顿距离
【2024河北省部分学校高三摸底考试T8】 “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两 点 ， 的曼哈顿距离为： 已知点 在圆 ，点 在直线 ，则 的最小值为（）
解析： 设 则点 到直线 的曼哈顿距离最小值可由 点到直线最短距离 得
所以
【24届甘肃兰州一模T19】（关注微信公众号：Hi数学派）定义：如果在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ，，那么称 为 ， 两点间的曼哈顿距离．
（1） 已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为 ，，求 和 的最小值；
（2） 已知点 是直线 上的动点，点 与点 的曼哈顿距离 的最小值记为 ，求 的最大值；
（3） 已知点 ，点 （，， ， 是自然对数的底），当 时， 的最大值为 ，求 的最小值．
解析：
（1） 由 点到直线最短距离 得
（2） 由 点到直线最短距离 得
又因为 （ ）
所以
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
当 时，
当 时， ， ，
所以 的最大值为 .
（3） 令 ， ，
可视为点 到点 的曼哈顿距离，其中点 在曲线段 上
如图 8，作曲线两条斜率为 的切线，再作过点 且斜率为 的直线，这四条直线恰好形成把曲线段包围住的矩形 ，再分别以边长较长的边 ， 为边，作曼哈顿正方形 ，
计算可得曼哈顿正方形半径为 ，即即 的最小值是
此时两正方形的中心分别为 ，
当 且 $<e-$ $\dfrac{1}{2}$="" 时，取最小值<="" p="">
【2021宁波模拟】（关注微信公众号：Hi数学派）设点 在椭圆 上，点 在直线 上，则 的最小值是（）
解析： 设 则点 到直线 的曼哈顿距离最小值可由 点到直线最短距离 得（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 时等号成立，此时
所以
【24届南充二诊T16】 “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：
设 ， 是坐标平面内的两点，则 ， 两点间的曼哈顿距离为 ．
在平面直角坐标系中 中，下列说法中正确说法的序号为_____ .
① 若 ，，则 ；
② 若 为坐标原点，且动点 满足： ，则 的轨迹长度为 （关注微信公众号：Hi数学派）
③ 设 是坐标平面内的定点，动点 满足： ，则 的轨迹是以点 ，，， 为顶点的正方形；
④ 设 ，， ，则动点 构成的平面区域的面积为
解析：
对于①，由定义可知 ，正确.
对于② ③，由 曼哈顿距离的几何意义 可知， ② ③正确.
对于④，因为 ，所以 ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时，
其图形如图 9 所示，
其面积为四个全等正方形的面积和，面积为 ，不正确.
故答案为：①②③
2、曼哈顿椭圆
【24届乌鲁木齐二模T19】 在平面直角坐标系 中，重新定义两点 ， 之间的“距离”为 ， 我们把到两定点 ，的“距离”之和为常数 的点的轨迹叫“椭圆”．（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求“椭圆”的方程；
（2） 根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
（3） 设 ， 作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 ， 的左顶点为 ，过 作直线交 于 ， 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
解析： 解析见第五节，曼哈顿距离下定义的“椭圆”
3、高维曼哈顿距离
【浙江绍兴24年高二下6月期末T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知集合 ，，，， ， ， ，对于 ，，，， ，，， ，定义 与 之间的距离为
（1） 若 ， ，求所有满足 的点 所围成的图形的面积；
（2） 当 时， ， ，并且 ，求 的最大值 （用 表示）；
（3） 当 时，求集合 中任意两个元素之间的距离的和.
解析：
（1）
由 ， 可得
当 ， 时，
当 ， 时，
当 ， 时，
当 ， 时，
故围成的图形为正方形 ，其中 ，，，，如图 10 所示
故面积为
（2）
设 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
当
当 时
综上所述，
（3）
设（关注微信公众号：Hi数学派）
其中 中均有 个元素，
共有 个不同的元素，从 的 个不同的元素任取 个不同的元素共有 种选法
从 中任选一个元素，对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得 个 ，可得 个 ，可得 个
其中 个
所以 中所有元素的第一位的数字之和为
对于 中所有元素的其他同等位置的数字之和为均为
故集合 中任意两个元素之间的距离的和
【2024模考新定义题2】 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 表示，其中 （ ， ）． 而在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为 维坐标 ，其中 （ ， ）．现有如下定义：在 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 与 坐标差的绝对值之和，即为 ．回答下列问题：
（1） 求出 维“立方体”的顶点数；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 在 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量 为所取两点间的曼哈顿距离
①求出 的分布列与期望；
②证明：在 足够大时，随机变量 的方差小于 ．
（已知对于正态分布 ， 随 变化关系可表示为 ）
答案： （1） （2） ① ②（详解群内分享）
