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1230期宁波一模 令端点效应判据更加完善
该篇素材选自今天刚考的浙江省宁波市 2024 学年第一学期高考模拟考试第18题。该题是传统导数压轴，并不难，可以利用端点效应，但是该题特殊的地方在于取不到“等号”，即使用端点效应得到的答案通常是闭区间（半开半闭），但此题是特例，并不能取到等号！
因此，借此题的特例再将小派之前讲的端点效应判据进行完善一下！
一、宁波一模这道端点效应特例 二、借特例完善端点效应判据 三、今年高考端点效应分析 四、以往高考中的端点效应考题 五、先必要后充分思想起源 六、基于此思想衍生出的端点效应 1、何谓端点效应？ 2、端点效应步骤 七、端点效应何时会失效？ 1、端点效应应用判据 2、端点效应失效例子
一、宁波一模这道端点效应特例
【浙江宁波25届高三一模T18】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知函数
（1） 判断 的奇偶性；
（2） 若 ，求证： ；
（3） 若存在 ，使得对任意 ，均有 ，求正实数 的取值范围.
解析：
（1） 的定义域关于原点对称，且 ，所以 为偶函数.
（2） 当 时， 为偶函数.
要证 ，即证
又当 时，
所以只需证当 时
即证
只需证 ，即证
令
在 上单调递增
因此
（3） 等价于
由于 为正实数，当 时， ，从而不等式等价于
令
（关注微信公众号：Hi数学派）
① 当 时，即 时，
存在 ，使得 ， ，所以 在 递增.
又 ，所以 对任意 恒成立，从而 在 递增.
又 ，所以 对任意 恒成立，从而 在 递增（关注微信公众号：Hi数学派）
又 ，得 对任意 恒成立
符合题意.
② 当 时
存在 ，使得 ， ，所以 在 递减.
又 ，所以 对任意 恒成立，从而 在 递减
又 ，所以 对任意 恒成立，从而 在 递减
又 ，所以 对任意 恒成立，从而 在 递减（关注微信公众号：Hi数学派）
又 ，所以 对任意 恒成立，从而 在 递减
又 ，得 对任意 恒成立
不符合题意
③ 当 时，同理可得不符合题意.
综上所述
注： 此题取不到等号，可以看成端点效益的一个特例，原因在于在端点处 ，且取等号时，即 时 与 符号相反。因此，借这题的特例可以将小派之前总结的端点效应判据更加完善。
二、借特例完善端点效应判据
该小节内容来自小派之前的推文《1079期 今年两套全国卷导数 • 端点效应依旧……》，仅作了符号上的修改，节末有注解。
【判据命题1】 若 、 在 都有意义 ， ，则对于任意 都有 恒成立（当且仅当 时等号成立）.
进一步，对于任意 都有 恒成立，那么实数 的取值范围为 .
证明： 设
则 ，
故 ，所以
所以 单调递增，则 （当且仅当 时等号成立）
从而，对于任意 都有 恒成立，
于是，对于任意 都有 恒成立，那么实数 的取值范围为 .
【判据命题2】 （关注微信公众号：Hi数学派）若 、、 在 都有意义， ， ， ，则对于任意 都有 恒成立（当且仅当 时等号成立）.
进一步，对于任意 都有 恒成立，那么实数 的取值范围为 .
证明： 设
则 ，
所以 ，
所以 ，
故 单调递增，
故 单调递增，
故 单调递增， （当且仅当 时等号成立）
从而，对于任意 都有 恒成立，
于是，对于任意 都有 恒成立，那么实数 的取值范围为
进而，可以通过以上两个已经证明的命题归纳出，
【判据命题3】 若 、、、 在 都有意义， ， ，， ， ，则对于任意 都有 恒成立（当且仅当 时等号成立）.
进一步，对于任意 都有 恒成立，那么实数 的取值范围为 .
注：
当上述命题中的不等号反向时也成立，不再展开；
上述命题仅是举一种端点效应的例子，解释了当端点处的 ， 时，可以通过下一阶导数 正负来判断是否恒成立的技巧；换句话就是，利用下一阶导数 正负来判断是否可以用端点效应的技巧。
当题目中端点处的函数值 ，一次导 ，二次导 ，符合命题1 ，利用端点效应求出的结果即为最终答案；
当题目中端点处的函数值 ，一次导 ，二次导 ，三次导 ，符合命题2 ，利用端点效应求出的结果即为最终答案（关注微信公众号：Hi数学派）
以上判据命题中的下一阶导数改为严格大于零，即 。因为当下一阶导数在端点处的导数 ，且 与 符号相反时，并不能取到等号！ 这由浙江宁波25届高三一模T18可以得到验证。
三、今年高考端点效应分析
今年高考数学总共命制了四套全国卷，分别是新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷、全国甲卷文科、理科。其中四套卷各省使用情况如下
| 试卷 | 适用地区（关注微信公众号：Hi数学派） |
|---|---|
| 新课标Ⅰ卷 | 浙江、江苏、河北、山东、广东、福建、湖北、湖南、河南、安徽、江西 |
| 新课标Ⅱ卷 | 重庆、海南、辽宁、黑龙江、吉林、云南、山西、贵州、广西、甘肃、新疆 |
| 全国甲卷 | 四川、西藏、陕西、青海、宁夏、内蒙古 |
| 自主命题 | 北京，天津，上海 （关注微信公众号：Hi数学派） |
四套全国卷中， 又有两套试卷（如下）的导数依旧可以利用 端点效应判据 来判断得到答案的正确性！另外，去年就有两套全国卷的导数出了端点效应，可以参考小派之前的推文《1022期 盘点高考卷中的端点效应 • 四年三考了！》
新课标Ⅰ卷
作为九省联考之后第一次采用新结构试卷的高考，该卷并没有像九省联考一样弱化导数，而是将导数出在了压轴位置的第18题，的确杀了个回马枪（小派在之前的推文中说过《1037期 今年高考导数会杀个回马枪吗？》）全国甲卷理科
该卷大概率是老高考的最后一张高考卷（2025年全国各省市（自主命题除外）将全面进入新高考模式，预估老高考甲卷将不存在）。
该卷导数同去年一样，位于压轴第21题，也和去年甲卷的导数一样，可以利用端点效应判据。只不过今年这道利用端点效应是失效的，得到的答案并不一定正确，需要再讨论！
【2024年新课标Ⅰ卷 T18】 已知函数 .
（1） 若 ，且 ，求 的最小值；
（2） 证明：曲线 是中心对称图形；
（3） 若 ，当且仅当 ，求 的取值范围.
解析：
（1） （2） 详解可以参考小派昨天的推文《2024新课标Ⅰ卷详细解析》
（3） 由 （2） 得 的定义域为 ，且关于 中心对称.
当且仅当
当且仅当
由于 的连续性，
对 恒成立
，又（关注微信公众号：Hi数学派）
，又
，又
此时（关注微信公众号：Hi数学派）
即符合上文中的 【判据命题3】 ，则只需令 即可得到正确答案，即
注： 在答题卡上，可以在求出三次导数时，直接令 ，得到 的范围后，在直接代入一次导函数，判断其正负，做充分性证明即可（如下）
令 ，得
此时
故 在 上单调递增
所以对 ， 恒成立
综上所述， 的取值范围为
【2024年全国甲卷 T21】 已知函数
（1） 当 时，求 的极值；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 当 时， ，求 的取值范围.
解析：
（1） 当 时，
在 上 ，又
在 上 ， ；在 上 ，
存在极小值 ，无极大值
（2）
，又
，又
此时（关注微信公众号：Hi数学派）
不符合上文中的 【判据命题2】 ，即 符号不确定，即使先令 缩小参数 的范围， 也存在变号零点。所以此题利用端点效应令 得到的答案并不一定正确，需要再作讨论。
注1： 以上利用端点效应判据部分应先在演草纸上写，看题目能否利用端点效应直接得出正确答案。能的话再写在答题卡上，不能的话就最好不要再用端点效应了，因为利用端点效应得到的答案就不一定正确，比如下文的 【2020 年全国 Ⅰ 卷T21】 就不对！但该题却是例外，原因如下
注2： 但是该题答案就是 ，怎么回事？这时直接看二次导函数 ，我们会发现只要 ，二次导函数 在 时就是大于等于零的！即使 存在变号零点使得 先增后减，但也没让 跨越 轴，出现小于零的部分。
四、以往高考中的端点效应考题
【2023年全国甲卷理T21】 已知 ， .
（1） 当 时，讨论 的单调性；
（2） 若 ，求 的取值范围.
分析： （2）
令 ，则 在 上恒成立
即符合上文中的 【判据命题1】 ，答案即为
注： 求 二次导时，可以令 ，则 ；
【2023年全国甲卷文T21】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 ，
（1） 当 时，讨论 的单调性；
（2） 若 ，求 的取值范围.
分析： （2）
令 ，则 在 上恒成立
，
，
即符合上文中的 【判据命题1】 ，答案即为
所以 的取值范围为
【2022年新高考Ⅱ卷T22】 已知函数 .
（1） 当 时，讨论 的单调性；
（2） 当 时， ，求实数 的取值范围；
（3） 设 ，证明：
分析： （2）
令 ，则 在 上恒成立
，
，
（关注微信公众号：Hi数学派）
即符合上文中的 【判据命题2】 ，答案即为
注： 此题三次导函数 无法直接判断正负号，但可以先求出利用端点效应的结果 ，然后再判断 的正负 ，即此时 ；
【2020 年全国 Ⅰ 卷T21】 已知函数 .
（1） 当 时，讨论 的单调性；
（2） 当 时， ，求 的取值范围 .
分析： （2）
令 ，则 在 上恒成立
，
，
不符合上文中的 【判据命题2】 ，即 存在变号零点，无法利用端点效应令 直接得出正确答案；尽管端点效应无法利用，但是可以利用 来缩小参数 的范围，减少不必要的讨论（最终答案为 ）。
【2016 年全国 Ⅱ 卷】 已知函数
（1） 当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2） 若当 时， ，求 的取值范围.
分析： （2）
，
，
即符合上文中的 【判据命题1】 ，答案即为
【2010 年新课标卷】 （关注微信公众号：Hi数学派）设函数
（1） 当 时，求 在 单调区间；
（2） 若当 时， ，求 的取值范围.
分析： （2）
，
，
，
即符合上文中的 【判据命题2】 ，答案即为
五、先必要后充分思想起源
导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有：①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值；②直接（或移项转化）求导＋分类讨论. （关注微信公众号：Hi数学派）
但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①，可能会出现参数分离困难或是无法分离，抑或函数最值点无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则 。其次，对于方法②，直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。
基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题.
六、基于此思想衍生出的端点效应
1、何谓端点效应？
什么是端点效应？如果函数 在某一点 处的函数值 恰好为零，则当 时， 成立的一个必要条件为端点 处的导数值 ，如下图 1 所示
因为如果 ，那么函数会在 . 右侧的一个小区间内先递减，会出现如下图 2 情况，此时函数 不恒正，不满足要求。
这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应。类似的，如果函数 在某一点 处的函数值 恰好为零，当 时， 成立的一个必要条件为 处的导数值 （关注微信公众号：Hi数学派）
但是，需要注意的是，（或 ）只是 （或 ）成立的一个必要条件，如果此时二阶导不变号，那么这种方法没有问题；但如果二阶导变号，那么计算出的结果极有可能不是正确答案。
端点效应在解决求参数范围问题时能够帮助我们得出分类的依据，简化问题的处理。
综上所述，端点效应可总结如下，
【端点效应】
（1） 如果函数 在区间 上 ，恒成立，则，则 或 （关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 如果函数 在区间 上， 恒成立，且 （或 ），则 （或 ）.
（3） 如果函数 在区间 上， 恒成立，且 ，（或 ，）则 （或 ）
2、端点效应步骤
端点效应实施步骤：
设含参可导函数 对任意 ，都有 恒成立，（1） 若 是形如 的开区间，那么就有：
这种得到命题成立的必要条件的作法称为第一类端点分析；
常考形式：如果 ，则由 得到必要条件，再证明必要条件是充分条件 （寻找矛盾区间）。
（2） 若 是形如 的闭区间，那么就有：
这样我们就得到了参数的一个大致范国，也即命题成立的必要条件，这种作法称为第二类端点分析 .
常考形式： 如果 ，则由 得到必要条件，再证明必要条件是充分条件（寻找矛盾区间）；如果 ，则由 得到必要条件，再证明必要条件是充分条件（寻找矛盾区间）。
简单理解就是相当于代入恒成立区间端点值来缩小参数的范围。上面的解释可能有些抽象，通俗地讲如下
（1） 若 （含参数 ）在 （ 为常数）恒成立，则 在区间 端点处也成立。即， 且 ，应用于端点函数值 ， 含有参数
（2） 若 （含参数 ）在 （ 为常数）恒成立，且 或 ，则有
① 当 时，，应用于 含参数
② 当 时， ，应用于 含参数 .
③ 当 ， 时， 且 ，应用于 ， 含参数 .
注意，端点效应求出的范围仅是必要条件，不一定是充分条件，还应代入验证。
总结一下，对于无法直接求最值的函数恒成立问题以及无法应用参数分离的函数恒成立问题，解题步骤如下
首先由端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；
然后利用这个范围去判断导数是否恒正或恒负；
如果导数不变号，则由端点得到的范围理论上就是最终答案，如果导数变号，则去判断函数的增减性（若函数先增后减，则最小值在端点处取得，若函数先减后增，则最大值在端点处取得）。
七、端点效应何时会失效？
1、端点效应应用判据
但是，有时候同学们用端点效应得出的结果并非是最终答案，典型的例子就是2020年全国Ⅰ卷 T21 . 那么何时才能用端点效应呢？——不符合上文中的 【判据命题1、2、3】 的都会失效，即由端点效应得出的答案并不一定正确！
2、端点效应失效例子
下面是 2020 年全国Ⅰ卷T21以及南京盐城 24 届二模T19端点效应失效的例子
【2020 年全国Ⅰ卷T21】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 .
（1） 当 时，讨论 的单调性；
（2） 当 时， ，求 的取值范围 .
分析： （2）
令 ，则 在 上恒成立
，
，
不符合上文的 【判据命题2】 ，即 存在变号零点，无法利用端点效应令 直接得出正确答案；尽管端点效应无法利用，但是可以利用 来缩小参数 的范围，减少不必要的讨论（最终答案为 ）。
【南京盐城 24 届二模T19】 已知 ，函数 ，
（1） 若 ，证明：；
（2） 若 ，求 的取值范围；
（3） 设集合 ，，对于正整数 ，集合 ，记 中元素的个数为 ，求数列 的通项公式.
解析： （1） （详解群内分享）
（2）
，
，
，
，
（ 无法直接判断正负号，并不能直接利用端点效应得到答案）
这里利用分类讨论（关注微信公众号：Hi数学派）
若 ，即 时，
， 存在 ，使得
当 时， ，
，
在 上单调递减， ，不合题意
当 时，将参数 看成主元，
令 ，
若 ，则 ，则 ，
若 ，则 ，则 ，
故 在 单调递增， 在 单调递减
又 ，
由 （1） 得
所以 ，即
综上所述， 的取值范围为
（3） （详解群内分享）
注： 该题难点在第 （2） 问，主要用到端点效应和主元法技巧；其实，利用 可以直接得到答案，但是 无法直接判断正负号，并不能判断由端点效应得到答案的正确性，也就是这里利用端点效应是失效的。
