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1248期盘点圆锥曲线12个斜率模型
模型1、圆锥曲线第三定义 模型2、中点弦与点差法 1、椭圆中的点差法 2、椭圆垂径定理 模型3、等角定理模型 模型4、斜率倒数成等差模型 模型5、极点极线与斜率等差1 模型6、极点极线与斜率等差2 模型7、调和点列与中点模型 1、调和线束中点模型 2、中点模型在圆锥曲线中的应用 模型8、四点共圆充要条件 模型9、蝴蝶定理与斜率之商 模型10、手电筒模型 模型11、Fregier定理 模型12、对合视角的定点定斜率模型
模型1、圆锥曲线第三定义
此处以椭圆第三定义为例，双曲线第三定义类似推得
【圆锥第三定义】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 1，椭圆 （ ） 上任意一点 与过原点 为中心的弦 的两端点 、 连线 、 与坐标轴不平行，则直线 、 的斜率之积 为定值 ．
证明： 设 ， ，则 ，所以
由 得
为定值，即
注： 关于圆锥曲线第三定义及其推广可以参考小π之前推送的文章《779期圆锥曲线系统精讲系列2——有心圆锥第三定义16结论与6应用》
【典例1】（2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科）（关注微信公众号：Hi数学派）已知点 ，，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ．记 的轨迹为曲线 ．
（1） 求 的方程，并说明 是什么曲线；
解析：
直线 的斜率为 （ ）
直线 的斜率为 （ ）
由题意可知：
所以曲线 是以坐标原点为中心，焦点在 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为 ，（ ）
模型2、中点弦与点差法
1、椭圆中的点差法
设直线 与椭圆 （ ）相交于点 两点，其中设点 ，，由于 两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得
得
则 （其中 为 中点， 为原点）.
2、椭圆垂径定理
【椭圆垂径定理】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ），不垂直坐标轴直线交椭圆于 ， 两点， 为线段 的中点，直线 和 的斜率分别为 ，，则 .
【典例2】 已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线方程为（ ）
解析： 设以点 为中点的弦与椭圆 交于点 ，
则 ， ，
分别把点 ， 的坐标代入椭圆方程得
两式相减得
直线 的斜率
以点 为中点的弦所在直线方程为 ，即
故选
模型3、等角定理模型
【椭圆等角定理】 如图 3，过椭圆 （ ）长轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即
【双曲线等角定理】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 4-1、4-2，过双曲线 （ ， ） 实轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即
【抛物线等角定理】 如图 5，过抛物线 对称轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被对称轴平分，即
证明： （只证明椭圆等角定理，双曲线与抛物线等角定理同理可证）
如上图 3，设直线
联立椭圆 ，得
设 ，
则 恒成立，且由韦达定理得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以直线 与直线 互为相反数，
则 ，即
【典例3】（2018全国1卷）（关注微信公众号：Hi数学派）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为
（1） 当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2） 设 为坐标原点，证明：
解析：
（1） 或
（2） 当 与 轴重合时，.
当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，所以
当 与 轴不重合也不垂直时，设的方程为 ，，
则 ，
直线 、 的斜率之和为
由 ， 得
将 代入 得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
从而 ，故 、 的倾斜角互补，所以
综上，
注： 更多有关等角定理的内容以及等角定理高观点背景可以参考小派之前的推文《916期【圆锥】高考中的等角定理》
模型4、斜率倒数成等差模型
【斜率倒数成等差模型】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ），点 为直线 上任一点，过 的直线 与椭圆 交于 两点，设椭圆 的下顶点为 ，则
证明： 参考下面例题
【典例4】（2022武汉九月调考） 已知椭圆 （ ），过点 且与 轴平行的直线与椭圆 恰有一个公共点，过点 且与 轴平行的直线被椭圆 截得的线段长为 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 设过点 的动直线与椭圆 交于 两点， 为 轴上的一点，设直线 和 的斜率分别为 和 ，若 为定值，求点 的坐标 .
解析：
（1）
（2） 设点 坐标为 .
当直线 斜率存在时，设其方程为
与 联立得
设 ，（关注微信公众号：Hi数学派）
，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
为定值，即与 无关，
则 ， ，此时
经检验，当直线 斜率不存在时也满足
故点 坐标为
模型5、极点极线与斜率等差1
【斜率等差结论 1】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 6，过椭圆 （ ） 长轴上一点 （ ，） 的直线与椭圆 交于 两点， 是定直线 上的动点，则直线 ，， 的斜率成等差数列，即（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： 设 ，，直线 的方程为
联立方程得
得
由韦达定理得
由题意，可设 ，则
又（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
注1： 该结论本质上其实是极点与极线的结论，即当 在点 关于椭圆的极线 上 .
注2： 此模型在双曲线中也适用，结论与上面相同 ，不再赘述 ；另外，设定直线 ，已知 ，则 也是成立的；此外在抛物线中，此模型表述如下
抛物线情形：（关注微信公众号：Hi数学派）过抛物线 对称轴上一点 的直线与抛物线 交于 两点， 是定直线 上的动点，则直线 ，， 的斜率成等差数列，即（关注微信公众号：Hi数学派）
【典例5】（24 届广东四校一联T22） 过原点 的直线交椭圆 于 两点， ， 面积的最大值为
（1） 求椭圆 的方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 连 交椭圆于另一个交点 ，又 ，分别记 ，， 的斜率为 ，，，求 的值 .
解析：
（1） 易知
，故椭圆的方程为 .
（2） 设 的方程为 ，，
联立
整理得
设 ，则
又因为（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
注： 更多内容可以参考小派之前的推文《1088期【圆锥】考前总结的乘积为 a² 8 模型今年也考了》
模型6、极点极线与斜率等差2
若 四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点 ，所形成的的四条射线 ，，， 称为调和线束. 对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的基本关系，并进一步用此结论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.
【调和线束斜率恒等式】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 8，若调和线束 ，，， 的方程为 ，， 那么
【斜率等差结论2】 如图 9，已知椭圆 （ ），过定点 （ ） 作一直线交椭圆 于 两点，交 点的极线 于点 ， 是椭圆 上一点，且点 横坐标为 ，则直线 ，， 的斜率成等差数列 .
证明： 参考下面的典例
【典例6】（24届湖北省十一校T18）（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，， 分别为椭圆的左顶点和上顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 设椭圆 的右顶点为 ， 是椭圆 上不与顶点重合的动点．
（i） 若点 ，点 在椭圆 上且位于 轴下方，直线 交 轴于点 ，设 和 的面积分别为 ， 若 ，求点 的坐标；
（ii） 若直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，求证： 为定值，并求出此定值（其中 、 分别为直线 和直线 的斜率）．
解析：
（1）
（2） （i） （详解参考标答，群内会分享，重点是第 （ii） ）
（ii）
如图 10，连接 ，，设 ，连接 ，并设 交 轴于点
为自极三角形
则直线 为点 的极线，又点 在 轴上，则 轴
为完全四边形，
则 ，，， 为调和点列，则直线 ，，， 为调和线束
由调和线束的斜率关系可知（关注微信公众号：Hi数学派）
又
所以
所以
即
【典例7】 如图 11，椭圆 （ ）经过点 ，离心率 ，直线 的方程为 .
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 是经过右焦点 的任一弦（不经过点 ），设直线 与直线 相交于点 ，记 ，， 的斜率分别为 . 问：是否存在常数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
解析：
（1）
（2） 由于直线 是点 关于椭圆 的极线，所以 成调和点列，
分别设直线 ，，， 为 ，，，
那么四直线的交比
又由于
故
即
注： 有关极点极线的详细概念定义、定理、推论等可以参考小π之前推送的文章《771期【圆锥】极点极线10个性质以及在近几年全国卷中的应用》，《888期【圆锥】一文搞懂配极原则》，《极点极线焦准模型》，《924期【拓展】极点极线基础——单比与交比、调和点列、完全四点形》，《圆锥曲线极点极线的一般理论（3定义8定理）》，《1080期 打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》，《1131期 极点极线自极三角形 17分压轴题》
模型7、调和点列与中点模型
1、调和线束中点模型
【调和线束中点模型】（关注微信公众号：Hi数学派）调和线束 交于点 ，即 ，作直线 平行于 ，与直线 分别交于点 ，则
证明： 由 ，所以
即
由正弦定理得 ，
因此
注1： 作调和线束中任意一条的平行线与另外三条分别相交于三点，中间那个点必然是中点。
2、中点模型在圆锥曲线中的应用
中点模型在圆锥曲线中的应用方式是非常多样的，随着调和线束选择的不同，以及割线的不同，就可以得到中点模型的各种不同表现形式。比如下图 13
直线 为点 的极线，交椭圆于点 ，过 作椭圆割线 交 于点 ，则直线 为调和线束，过 作直线 平行于切线 ，分别交直线 、 于点 ，则
【典例8】（2024年全国甲卷文理T20） 已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上,且 轴.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） ，过 的直线与椭圆 交于 两点， 为 的中点，直线 与 交于 ，证明： 轴.
解析：
（1）
（2） 点 关于椭圆 的极线为 ，即
如图 14 ，设点 的极线与 交于点
直线 为过点 的椭圆的割线，则 ，，， 为调和点列，则直线 ，，， 为调和线束（关注微信公众号：Hi数学派）
又 轴截调和线束中的 ，， 于点 、、 ，且点 为 的中点
由调和线束的中点模型可知 轴必与调和线束中剩下的 平行，即 轴.
注： 更多高考与模考中的调和点列中点模型可参看小派之前的推文《1080期 打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》
模型8、四点共圆充要条件
【四点共圆定理1】 如图 15，若两条直线
与圆锥曲线（关注微信公众号：Hi数学派）
有四个交点，则四个交点共圆的充要条件是
证明： 两直线组成的曲线方程为
则过四个交点的曲线方程可设为
必要性： 若四点共圆，则方程 表示圆，
那么 式左边展开式中项的系数为零，
即有
充分性： 当 时，令 式左边展开式中 ， 项的系数相等，得
联立解得 ， ，
将其代入 式，整理得（关注微信公众号：Hi数学派）
【典例9】（2024年新Ⅱ卷T19）（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ，按照如下公式依次构造点 ： 过点 作斜率为 的直线与 的左支点交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为
（1） 若 ，求 ；
（2） 证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3） 设 为 的面积，证明：对于任意正整数 ，
解析： （1） （2） 可参考小派之前的推文《2024新课标Ⅱ卷 • 全卷详细解析》
（3） 如图 16，
由 和 关于 轴对称， 和 关于 轴对称，再结合双曲线 关于 轴对称，可得（关注微信公众号：Hi数学派）
因此可由 四点共圆定理 1 知，，，， 四点共圆（如图 1）
进而可知
由 和 关于 轴对称， 和 关于 轴对称，再结合双曲线 关于 轴对称，可得
因此 与 公共边 上的高相等
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
注1： 更多有关类似新Ⅱ卷的圆锥结合数列压轴的模考题可以参考小派之前的推文《1198期 近期仿新Ⅱ卷的圆锥结合数列》
注2： 四点共圆4大定理、8推论，以及今年模考中的四点共圆问题以及往年高考中的四点共圆问题可参考小派之前的推文《1212期 借今年高考题讲四点共圆技巧 • 4定理8推论》
模型9、蝴蝶定理与斜率之商
【斜率之商】（关注微信公众号：Hi数学派）设抛物线 的弦 过定点，过点 作非水平线 交 于 两点，若直线 与 轴交于定点 ，直线 的斜率 存在且非零，则 .
注： 更多有关蝴蝶定理的结论可以参考小派之前的推文《1188期 借此题讲下蝴蝶定理7个要点》
【典例10】（南通市如皋2025届高三期初T19） 设抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 两点， 直线 ， 与 的另一个交点分别为 ，记直线 、 的斜率分别为 ，（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 证明： 为定值；
（2） 直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标。
解析：
法一，联立法
（1） 设 ，，， 上顶点， 是椭圆上一条动弦，直线 的斜率分别为 ，，则（关注微信公众号：Hi数学派）
① 直线 过定点
② 若 ，则 直线 过定点
（2） 设 为椭圆 上的定点， 是椭圆上一条动弦，直线 的斜率分别为 ，
① 若 ，则有 ，
② 若 ，则直线 过定点
③ 若 ，则有 ，
④ 若 ，则直线 过定点
【典例11】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 ：的离心率为 ，点 是椭圆 短轴的一个四等分点.
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 设过点 且斜率为 的动直线与椭圆 交于 ， 两点，且点 ，直线 ， 分别交圆 于异于点 的点 ， ，设直线 的斜率为 ，求实数 ，使得 恒成立.
解析：
（1）
（2） 设 ，，，
直线 的方程为
则直线 的方程为
与 联立得
由 ，且点 在圆上，得
又 ，即 ，
代入上式
即点 ，
同理
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
将 ， 代入上式得
所以 时， 恒成立.
模型11、Fregier定理
注： 可看作手电筒模型的拓展延伸
【Fregier定理】
（1） 设 为椭圆 上一点，， 为椭圆上的两点，且直线 ， 的斜率之积 （ 为定值， ）的充要条件是直线 过定点 ，其中（2）（关注微信公众号：Hi数学派）设 为椭圆 上一点，， 为椭圆上的两点，且直线 ， 的斜率之积 的充要条件是直线 过定点 .
注：更一般有Fregier定理，
设 为椭圆 上一点，， 为椭圆上的两点，直线 ， 的斜率分别是，.
（1） 若 ，
① 当 （即 是 轴上的顶点）时，， 关于 轴对称；
② 当 （即 是 轴上的顶点）时，， 关于 轴对称；
③ 当 ， 时，直线 的斜率为定值 ，即 ．
（2） 若 （ 为定值， ），则直线 过定点 ，其中 ；
（3） 若 ，则 ，直线 的斜率为定值 ；
（4） 若 （ 为定值， ），则直线过定点．
【典例12】（2022年全国甲卷理T10） 椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且关于 轴对称．若直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
分析： 由 Fregier定理（1） 可知， ，所以 .
【典例13】（2020年全国新高考卷（山东卷）T22）（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1） 求 的方程；
（2） 点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
分析： 此题本质是要证明直线 过定点，因为当 过定点时，设此定点为 ，连接 ，此时 固定，长度也为定长，又 为直角三角形，且 为其斜边，所以当存在定点 为 中点，使得
由 Fregier定理（2） 可知， ，所以直线 过定点 ，其中 ；
【典例14】（2022年全国新高考I卷T21） 已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，直线 的斜率之和为 ．
（1） 求 斜率；
分析： 由 Fregier定理（3） 可知， ，所以 ，即
【典例15】（2017年全国Ⅰ卷理T20） 已知椭圆 ，四点 ，，， 中恰有三点在椭圆上．
（1） 求 的方程；
（2） 设直线 不经过点 且与 相交于 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点 ．
分析： 由 Fregier定理（4） 可知， ，直线 一定过定点 .
模型12、对合视角的定点定斜率模型
注： 可以看作是以上两种模型在高等解析几何视角下的解释
对合方程： 给定 ， 是 上的变换（函数）， 是对合当且仅当 ，使得 ， 有对合方程
且 ．
证明
充分性： 设 的不动点为 ，则 ，；， 为调和线束，由 调和线束的斜率关系 可令 ， ， （ 时可令 ， ， ），由 得 ．
必要性：（关注微信公众号：Hi数学派）（特征方程） 的两根为 时 的斜率，由 知有两个 满足 ，设为 ．由韦达定理对合方程可写为
（若 则 ， ），即 为调和线束， 调和共轭，故 恒过 的极点 ．由 有 ，故 是对合且 为其对合中心 ．
由上面的论述可以得出，若定点 与动点 在圆锥曲线上，则当且仅当 满足对合方程时， 直线 恒过定点或斜率为定值（亦即定点为无穷远点） ．
也就是通常如下的直线过定点定值模型
【定点定值模型】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 18，设椭圆 ， 为 上一点 . 过 引两条直线 ， 分别与 交于异于 的 ， 两点 . 若
则直线 过定点或斜率为定值（亦即定点为无穷远点） .
对于这种题型，利用对合的性质或者特殊点，可以寻找出对合中心和对合轴；另一方面，可以利用一对极点极线作为对合中心和对合轴来生成对合，并取一圆锥曲线上的定点构造对合方程．下面结合具体例题介绍一种处理对合方程和一些极点极线与非对称韦达的方法 ．
【典例16】 已知点 ，直线 与椭圆 交于 ， 斜率之和为 ，求直线 恒过的定点 ．
分析：
直线 恒过 ．
【典例17】（关注微信公众号：Hi数学派）已知点 ，直线 与抛物线 交于 ， ，求直线 恒过的定点 ．
分析：
直线 恒过 ．
【典例18】 已知点 是椭圆 的上下顶点，过 的直线交椭圆于 ，求直线 和 角点所在的定直线 ．
分析：
．
