恳请图中老师不要再搬运照抄公众号的文章了！不管您出于什么目的，拿资料宣传自己也好，给自己账号引流也罢！发一篇照搬一篇，已经严重影响到供稿老师们的投稿积极性和创作热情了！创作是不易的，公众号运营也是不易的，您这样做不利于我们公众号的长期发展，请您理解！最后也请各位老师同行相互理解和尊重原创，如需转载请联系。
1246期解析几何也不要忘了几何法，少算多想！
该篇素材来自班里同学问的一道题，此题出自好一周之前的台州一模第14题。之所以讲这题是因为该题虽是解析几何题，但如果你硬算是不好处理的，只有通过将题目中的解析几何代数语言翻译成原本的几何形式，利用几何法才能少算！
解析几何题目大都是将几何形式转化为代数形式来解决的，但有时也不要忘了问题本来的几何形式，利用几何法将问题进行一些转化，可能大大减少计算量，就比如今年高考新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷的圆锥压轴利用几何法，少算多想！再比如2024 年国庆“圆梦杯”统一模拟考试（六）圆锥曲线压轴等等。
一、这道解析几何中的几何题 二、圆梦杯圆锥曲线几何法巧解 三、回顾几道经典的几何转化少算多想的圆锥压轴 1、九省联考经典的面积转化模型 2、新Ⅰ卷圆锥同底等高几何法 3、新Ⅱ卷圆锥同底等高面积转化
一、这道解析几何中的几何题
【浙江台州25届高三一模T14】（关注微信公众号：Hi数学派）已知圆 ，其中 ，若圆 上仅有一个点到直线 的距离为 ，则 的值为 _______ ；圆 的半径取值可能为 _______ （请写出一个可能的半径取值）。
解析： 先将题目中的解析几何语言翻译成几何形式
如图 1 所示，圆 过原点，又 ，则圆 交 轴正半轴于点 ，交 轴正半轴于点
到直线 的距离为 的点在直线 和 上。
又圆 上仅有一个点到直线 的距离为
则圆 上仅有一点在直线 ， 上
又圆 和 都过原点（关注微信公众号：Hi数学派）
故圆 和 相切，且与 不存在交点。
因此圆 的圆心在与 垂直的直线上，且 ，即
由图 1 可知，
又因为直线 的倾斜角为
二、圆梦杯圆锥曲线几何法巧解
该题如果设点设线硬算的话非常麻烦。但是如果注意到所给椭圆满足 ，你就会发现 ，也就是存在两对相似的三角形！因此所求的线段长可以用线段比例关系表示出来，再结合第 （2） 的焦半径之比，就可以轻松的计算出答案。
【圆梦杯（六）10月线上考试T18】 已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，点 在 上。过 且斜率为 的直线交 于 ， 两点（ 在 的上方）。
（1） 求 的标准方程；
（2） 若 ，求 ；
（3） 若 ，直线 交 轴于点 ，求 的取值范围。
解析：
（1） 由题意得
解得 ，
（2） 如图 2，设直线 的倾斜角为
，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 由题意得 ，设椭圆 的右焦点为
，
由 （2） 可知
所以
所以
由于直线 的斜率存在，故
三、回顾几道经典的几何转化少算多想的圆锥压轴
1、九省联考经典的面积转化模型
该题是一道经典的两垂直弦模型，有关两垂直弦模型可以参考小派之前的推文《1056期【圆锥】两垂直弦模型 • 24结论》
【九省联考 T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知抛物线 的焦点为，过 的直线 交 于 ， 两点，过 与 垂直的直线交 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上方，， 分别为 ， 的中点.
（1） 证明：直线 过定点；
（2） 设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值 .
解析：
（1） 利用设点法轴点差技巧，可以参考小派之前的推文《938期【圆锥】九省圆锥（1）轴点差（2）同底等高面积转化》
（2） 连接 ，设线段 的中点为 ，如图 3 所示，则 ， 分别为 ， 的中位线
所以 ，，
则 和 同底等高（图 5 橙色所示）， 和 同底等高（图 5 紫色所示）
即 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
因为 ，即四边形 对角线 ，所以
设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为
则 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 或 取等号，
所以 面积的最小值为 .
注： 有关焦点弦倾斜角公式可以参考小派之前的推文《912期【圆锥】焦点弦长公式9结论》，《904期【圆锥】抛物线结论42条》
【几何结论】 如图6，对任意四边形 ， 分别是对角线 、 的中点，点 是边 、 延长线的交点，则有（关注微信公众号：Hi数学派）
证明
几何法，同底等高面积转化： 连接 ，设线段 的中点为 ，如图 6 所示，则 ， 分别为 ， 的中位线，所以 ，，
则 和 同底等高（图6橙色所示）， 和 同底等高（图6紫色所示）
即 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
向量法：
设
则
故
2、新Ⅰ卷圆锥同底等高几何法
【2024新课标Ⅰ卷T16】（关注微信公众号：Hi数学派）已知 和 为椭圆 上两点.
（1） 求 的率心率 ；
（2） 若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程.
解析：
（1） （详解可参考《2024新课标Ⅰ卷 • 全卷详细解析》）
（2）
直线 的方程为
如图 7，设点 到直线 的距离为
解得
设过点 且与 平行的直线为
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
解得 （ 舍去）
所以
联立
消 可解得 或
所以 或
若 时，直线 为
若 时，直线 为
注： 如果你发现椭圆下顶点 与线段 构成的三角形面积刚好是 的话，过 作与 平行的直线，与椭圆的另一交点也满足面积为 ，此时该点还会与点 关于原点对称，如图 8 所示，
3、新Ⅱ卷圆锥同底等高面积转化
【2024年新Ⅱ卷T19】 已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ，按照如下公式依次构造点 ：过点 作斜率为 的直线与 的左支点交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为
（1） 若 ，求 ；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3） 设 为 的面积，证明：对于任意正整数 ，
解析：
（1） （2） （详解可参考《2024新课标Ⅱ卷 • 全卷详细解析》）
（3）
由题意得
可以看出 与 存在一个公共边
如果 ，则 与 公共边 上的高相等
因此 （如图 2 所示 ）
下面证明 （关注微信公众号：Hi数学派）
由 （2） 得 数列 是公比为 的等比数列
所以
记 ，则
所以
又（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
因此 ，得证
