1227期新教材中的圆锥曲线第二定义

圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数 的点的轨迹）是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题（离心率、距离问题等）的求解过程中，具有不可低估的特殊功能．

• 一、新教材中出现的第二定义
• 1、椭圆的第二定义
• 2、双曲线的第二定义
• 二、细讲圆锥曲线第二定义
• 三、关于第二定义的重要结论
• 结论1 焦半径倾斜角公式
• 结论2 焦点弦倾斜角公式
• 结论3 焦半径倒数和
• 结论4 焦点弦倒数和
• 结论5 焦半径与离心率
• 结论6 焦点弦与离心率
• 四、模考中的第二定义

一、新教材中出现的第二定义

1、椭圆的第二定义

人教 A 版新教材选择性必修第一册中第113页例6和第116页信息技术应用中给出了椭圆的第二定义（如下图）

2、双曲线的第二定义

人教 A 版新教材选择性必修第一册中第125页例5和第116页信息技术应用中给出了双曲线的第二定义（如下图）

二、细讲圆锥曲线第二定义

【引例】 平面上任意一点 到点的距离与到直线 的距离之比为 ，其中 ，求点 的轨迹方程．

解析： 由题设可知

即

化简得

即（关注微信公众号：Hi数学派）

当 时， ，令 ，得 ，轨迹为椭圆．

当 时， ，令 ，得 ，轨迹为双曲线．

由上述引例，结合抛物线的定义可得——

圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义： 在平面内到定点的距离与到定直线（定点不在直线上）的距离之比是常数 的点的轨迹为圆锥曲线．（关注微信公众号：Hi数学派）
当  时，轨迹为椭圆；
当 时，轨迹为双曲线；
当 时，轨迹为抛物线．

其中定点是曲线的 焦点，定直线是与焦点对应的 准线， 是 离心率．

圆锥曲线上任意一点与焦点之间所连线段叫做 焦半径；过圆锥曲线焦点的直线被曲线所截得的线段叫做 焦点弦．

焦半径、焦点弦是圆锥曲线中的重要考点，因其能与直线的倾斜角、向量（定比分点）、三角形面积等知识交汇，故倍受命题人青睐，经常作为压轴题出现在考卷中，以测试考生数学知识和思想解法的掌握和运用．

约定： 下文中提到的 为离心率， 为直线的倾斜角， 为焦准距（焦点到准线的距离 ．其中，焦点在 轴的椭圆和双曲线的准线为 ，抛物线的准线为 ，焦点在 轴的椭圆和双曲线的准线为 ，抛物线的准线为 ．

下面给出圆锥曲线有关焦半径、焦点弦的几个重要结论．

三、关于第二定义的重要结论

结论1 焦半径倾斜角公式

（1） 以圆锥曲线的焦点为 （椭圆是左焦点，如图 1；双曲线是右焦点）， 为过焦点的弦，其中 在 轴上方， 在 轴下方，则（关注微信公众号：Hi数学派）

开口向右的抛物线中，如图 2，只需令 即可，

证明： （只证明椭圆的，双曲线和抛物线的公式同理可证，另外下文不同焦点的焦半径公式也同理可证）

证法1： 如图 1，根据第二定义， ，令

所以

所以

证法2：（在高考大题中，采用余弦定理加以证明后使用，一定给分）

设 ，则点 到右焦点的距离

由余弦定理可得

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

解得

注意： 如果与双曲线交于不同两支，如图 3，

这也是为什么在前面及后面的公式中加绝对值的原因．

（2） 以圆锥曲线的焦点为 （椭圆是右焦点，如图 4；双曲线是左焦点）， 为过焦点的弦，其中 在 轴上方， 在 轴下方，则

开口向左的抛物线中，如图 5，只需令 即可，

（3） 以圆锥曲线的焦点为 （椭圆是上焦点，如图 6；双曲线是下焦点）， 为过焦点的弦，其中 在 轴右方， 在 轴左方，则（关注微信公众号：Hi数学派）

开口向下的抛物线中，如图 7，只需令 即可，

（4） 以圆锥曲线的焦点为 （椭圆是下焦点，如图 8；双曲线是上焦点）， 为过焦点的弦，其中 在 轴右方， 在 轴左方，则

开口向上的抛物线中，如图 9，只需令 即可，

注意： 公式较多，如何记忆？理解其本质，记起来其实不难．首先，焦点在 轴，三角是余弦 ，焦点在 轴，三角是正弦 ；其次，分母的加减号，不妨设倾斜角是锐角，较长的焦半径分母较小，中间是“”，较短的焦半径分母较大，中间是“”，通过图像判断长短，再灵活运用即可．在高考中，焦点位于 轴较少考到．

结论2 焦点弦倾斜角公式

（1） 焦点在 轴的焦点弦的长度

特别的，抛物线的焦点弦，只需要令

证明： （只证明焦点在 轴上的，焦点在 轴上的同理可证）

（2） 焦点在 轴的焦点弦的长度

特别的，抛物线的焦点弦，只需要令

注： 此公式也解释了，为什么所有焦点弦中，通径最短！另外，即使与双曲线交于不同两支，结论依旧成立．

结论3 焦半径倒数和

焦半径的倒数之和为定值（与双曲线交于两支除外）

抛物线中，只需要令

证明：

拓展： 过过 作 夹角相等的射线交椭圆于 ，则

结论4 焦点弦倒数和

椭圆互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值

双曲线互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值

证明： （只证明椭圆互相垂直的两个焦点弦倒数之和，双曲线的同理可证）

在椭圆中（关注微信公众号：Hi数学派）

结论5 焦半径与离心率

（1） 焦点在 轴上的圆锥曲线 ，经过其焦点 的直线交曲线于 、 两点，直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，，则曲线 的离心率 满足等式

或

注： 在抛物线中，，则

若交于双曲线两支，则

（2） 焦点在 轴上的圆锥曲线 ，经过其焦点 的直线交曲线于 、 两点，若直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，，则曲线 的离心率 满足等式（关注微信公众号：Hi数学派）

或

注： 此公式一定要记住，在选填中出现频率非常高，而且非常简便．

证明： 以焦点在 轴的椭圆为例，

由焦半径公式可得

，

注： 为什么两边都加绝对值？左边加绝对值是因为如果倾斜角为钝角， ．右边加绝对值是因为有可能 ．

同学们可能会问 或者 对公式有影响吗？ 一定没影响．举例说明， 与 ， ， ，值不变．

进一步的讨论：

① 当焦点 内分弦 时，如图 10，

② 当焦点 外分弦 时（此时曲线为双曲线），如图 11，

注： 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错．

结论6 焦点弦与离心率

如图6，在椭圆 中，， 为左、右焦点， 为椭圆上任意一点， 是过右焦点的焦点弦， 为焦点弦的中垂线与 轴的交点，则（关注微信公众号：Hi数学派）

证明：

设 ，， 中点 ，由焦点弦坐标公式得，

因为 ， 都在 上，

所以

由点差法得

则直线 的中垂线的方程为

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

四、模考中的第二定义

【24年深圳高三一调T19】 已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为常数  ，其中 ， ，且 ，记点 的轨迹为曲线 （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 的方程，并说明轨迹的形状；
（2） 设点 ，若曲线 上两动点 ， 均在 轴上方，，且 与 相交于点
（i） 当 ， 时，求证： 的值及 的周长均为定值；
（ii） 当 时，记 的面积为 ，其内切圆半径为 ，试探究是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 （用 ， 表示）；若不存在，请说明理由.

解析：

（1） 设点 ，由题意可知

即

经化简，得 的方程为

当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线 是焦点在 轴上的双曲线．

（2）

（i） 延长 交椭圆于 ，由椭圆的对称性以及 可知

由焦半径的倒数之和为定值可得

由椭圆定义 ，得

同理可得

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

因为 ，所以 的周长为

（ii） 当 时，曲线 的方程为

由焦半径的倒数之和为定值可得

由双曲线的定义

得

同理可得

所以

因为 ，所以 的周长为

由内切圆性质可知（关注微信公众号：Hi数学派）

因此，存在常数 使得 恒成立

注： 该题核心就是焦半径的倒数之和为定值（与双曲线交于两支除外）

【24届浙江9+1高中联盟高三上期中T12】 人教 A 版选择性必修第一册在圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆 上动点 到左焦点 的距离和动点 到直线 的距离之比是常数 . 已知椭圆 ， 为左焦点，直线 与 相交于点 ，过 的直线与椭圆 相交于 ， 两点 （点 在 轴上方），分别过点 ， 向 作垂线，垂足为 ，，则 （  ）

直线 与椭圆相切时，

解析： 如题图所示，

① 对于 ， ，所以

故 正确；

② 对于 ，作 轴， 轴，则

又 ， ，所以

故 正确（关注微信公众号：Hi数学派）

③ 对于 ，直线 与椭圆相切时，设 ，与圆方程联立得：

则

解得 ，所以 ，解得 ，所以 为通径，即

故 错误；

④ 对于 ，

又

所以

故 正确；

综上所述。此题选 .