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1241期新教材中的解析立体几何（12点）
该篇素材选自浙江A9协作体2024年高二11月期中联考第19题。该题是空间立体几何“新定义”问题，涉及空间平面的方程、平面之间位置关系、点到面距离解析公式等。另外就是在人教 版新教材中也隐藏着空间解析立体几何的知识点，即空间直线和面的方程（下文会讲到）。这一篇详细讲一下空间解析立体几何中有关直线、面的方程，点、直线、面之间的位置关系，距离、夹角等，目录如下。
一、这道涉及解析立体几何的题 二、新教材中的隐藏着解析立体几何 三、有"解析几何"，那有没有解析立体几何？ 四、空间平面方程三种形式 1、点法式方程 2、一般式方程 3、截距式方程 五、空间直线方程三种形式 1、一般式方程 2、点向式方程 3、参数方程 六、立体解析几何对建系的指导意义 1、最大化利用轴截距建系以减少计算 2、最大化利用轴截距建系高考典例 七、距离问题 结论1、平面外一点到该平面的距离 结论2、直线外一点到该直线的距离 八、两平面的相互关系 结论3、两平面的夹角 九、直线与平面的关系 结论4、直线与平面的夹角 结论5、直线与平面的交点 十、直线与直线的关系 结论6、两直线共面的条件 结论7、两直线的夹角 十一、平面束方程 结论8、平面束方程 十二、更多空间解析立体几何模考题
一、这道涉及解析立体几何的题
【浙江A9协作体2024年高二11月期中T19】（关注微信公众号：Hi数学派）在空间直角坐标系 中，任何一个平面都能用方程 表示. （其中 ，，， 且 ），且空间向量 为该平面的一个法向量.
有四个平面 ， ， ， （ ， ， ）
（1） 若平面 与平面 互相垂直，求实数 的值；
（2） 请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点 到平面 的距离为（3） 若四个平面 ，，， 围成的四面体的外接球体积为 ，求该四面体的体积.
解析：
（1） 平面 的法向量 ，平面 的法向量
（2） 证明： 不妨设 ，在平面 内取一点
取平面 的一个法向量
则所以点 到平面 的距离为（关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 由
解得交点
同理可得其它交点 ， ，
又四面体 外接球体积为 ，故外接球半径
设球心 为 ，则 ，即有
得 或
当球心坐标为 时（关注微信公众号：Hi数学派）
得 （与题设矛盾，舍去）
当球心坐标为 时
得 （与题设矛盾，舍去）或 ，故
点 到平面 即 的距离为
又 ，故
二、新教材中的隐藏着解析立体几何
在人教 版新教材中也隐藏着空间解析立体几何的知识点，即空间直线和面的方程。
人教 版数学选修第一册 的直线方向向量与参数方程 ，如下
人教 版数学选修第一册 的空间直线和面的方程，如下
三、有"解析几何"，那有没有解析立体几何？
上面这个标题中的解析几何为什么打上了引号？
因为受限于高中知识，我们高中生理解的解析几何其实是平面解析几何，研究内容是在二维平面内的点、直线、圆、圆锥曲线等等。而解析几何真正的定义里包括两大部分——平面解析几何和立体解析几何，下面是解析几何的定义（关注微信公众号：Hi数学派）
解析几何（analytic geometry），又称为坐标几何（coordinate geometry）或卡氏几何（Cartesian geometry），早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
自从笛卡尔引入坐标系后，几何和代数被坐标系联系起来，正如上图中平面上的一点可以用一个二元数表示，一条线可以用一个方程表示。从此，几何的研究不再仅仅局限于几何的方法，代数也可以完成几何学的内容，而且不用绞尽脑汁想如何作出完美的辅助线。
平面解析几何的内容，我们高中生已经非常熟悉，基础理论包括直线、圆、椭圆、双曲线等的方程表示方式，基本问题包括点到直线距离、直线与直线的夹角、直线与曲线的切接等等。高中生所不熟悉的是立体解析几何，这一期就来给高中生讲明白三维坐标下立体解析几何的基础理论——直线和平面方程如何表示以及这些理论在高考中有什么应用。
四、空间平面方程三种形式
给定平面 ，设 是 上的动点，则 可用关于坐标 的线性方程表示. 依给定的条件不同，平面方程可取不同的形式，
1、点法式方程
设 是给定平面 上的已知点，非零量 垂直于平面 ，称 为平面 的法矢量或简称法矢。平面 由点 和法矢量 唯一确定（如图 1）.
下面建立平面 的方程（关注微信公众号：Hi数学派）
设 是空间的一动点，则 在平面上的充分必要条件是 与 垂直即
由于 ，，故有
式 或 就是平面 的方程，称式 为平面 的矢量方程，而称式 为平面的点法式方程（矢量方程的分量方程）.
下面给同学们举一个例子，帮助理解平面的点法式方程
【典例1】 设平面 过点 与 ，且垂直于平面 ，求 的方程。
解析：
平面 的法矢量为 ，平面 的法矢量 应同时垂直于 与 ，
故可取（关注微信公众号：Hi数学派）
由式 ，知 的方程为
或
注： 【典例1】 使用了向量的叉乘求法矢量，这里简单介绍一下向量的叉乘。
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直，如图2.
对于向量 和向量 ：
和 的叉乘公式为（关注微信公众号：Hi数学派）
其中：，，
根据 、、 间关系，有：
2、一般式方程
将式 改写为
令，则式(2)化为
其中系数 不同时为零。这表明，平面方程为 的三元一次方程，反之也成立。这便是下面的定理，
定理 1：（关注微信公众号：Hi数学派）任何关于 的三元一次方程 都表示一张平面.
证明： 对于方程 ，因系数 不同时为零，不妨设 ，则式 化为
它表示过定点 且法矢量为 的平面即式 表示一张平面.
方程 称为平面的一般方程，这里要求系数 不同时为零.
容易看出，
① 平面 过原点 ；
② 平面 平行于 平面 ；
③ 平面 平行于 轴 ；
④ 平面 过 轴 ，
其余类推.
下面给出一个小例子，帮助同学们理解平面的一般式方程，
【典例2】（关注微信公众号：Hi数学派）求过点 且过 轴的平面 的方程。
解析：
由于平面 过 轴
所求平面方程必有形式 ，且
将点 代入得
取 ，则
于是的方程为 .
3、截距式方程
设平面 过点 、、，如图3，其中 .
由式(3)知平面 的方程
由于点 都在平面 上,所以 的坐标都满足上面方程，即有（关注微信公众号：Hi数学派）
可得，，，
以此代人平面 的方程并除以 ，即得平面 方程为
式 称为平面 的截距式方程 ，其中 ，， 是面 在三轴上的“截距”。
五、空间直线方程三种形式
给定直线 ，设 是 上的动点，则 可用关于坐标 的线性方程组表示。依给定的条件不同，直线方程取不同的形式，
1、一般式方程
空间直线 可以看作是过直线 且不平行的两个平面 和 的交线。设平面 的方程为
由于 和 不平行，即
则点 在直线 上的充分必要条件是 满足方程组（关注微信公众号：Hi数学派）
称式 为直线 的一般式方程.
2、点向式方程
给定直线 上一点 及平行于 的非零矢量 ，称 为 的方向矢量或简称为方向矢。容易看出， 在直线 上的充分必要条件是矢量 与 共线，如图 4，这相当于
称式(6)为直线 的点向式方程（或标准方程、对称式方程）
注意，若 ，则应以（关注微信公众号：Hi数学派）
代替式 ；
若 时，则应以 代式 ，其他情况类似。
若给定直线上两相异点 ，则 是 的方向矢. 于是，套用式 立即可得 的方程
3、参数方程
直线 的方程 还可用下列形式表示：如设
则有
因式 含有参数 ，故也称它为直线 的参数方程.
如果记 ，，如图 4.
由于 与 共线
故有（关注微信公众号：Hi数学派）
或
称式 为直线L的矢量方程. 直线 的参数方程 不过是直线 矢量方程 的坐标形式而已.
将方程 化为一般方是容易的下面是将一般方程化为其他形式方程的例子.
【典例3】（关注微信公众号：Hi数学派）求直线
的标准方程与参数方程。
解析
法1： 解关于 的线性方程组
得 ， ，这相当于 ，，即
它就是所给直线的标准方程。相应的参数方程为
法2： 以 代所给方程组，解出 ，，可见点 在直线上.平面 与 的法矢量分别为 与
算出（关注微信公众号：Hi数学派）
则 是直线的方向于是套用式 同样得出所要的标准方程为 ，参数方程为 ， ，
六、立体解析几何对建系的指导意义
在高考立体几何大题中，我们基本采用的都是现在高考大纲要求掌握的向量法，也就是建立空间坐标系。但是不同的建系方式往往会带来不同的计算量，如果建系方式采用不当，会明显的拖慢解题速度。
而今天介绍的立体解析几何中的平面方程对我们如何建系有指导意义。
1、最大化利用轴截距建系以减少计算
我们现在再看一看平面方程的截距式方程点法式方程和截距式方程，也就是下面的式 和式
我们上面已经介绍 是平面的法向量，那么对比截距式方程(4)可知，也是平面的法向量，即可以得出一个结论
对于在 轴、 轴与 轴轴上截距分别为 ，，的平面，其一个法向量为
这给了我们一个非常有用的启示，在解决立体几何大题时，如果建系能够使得所求平面在各轴上的截距都非常易求，我们就可以直接写出其法向量，从而省略解两个点乘方程的部分。
2、最大化利用轴截距建系高考典例
下面结合一道高考题说明，
【2022新高考全国I卷T19】（关注微信公众号：Hi数学派）如图，直三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ．（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 到平面 的距离；
（2） 设 为的 中点，，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
解析：
（1） 到平面的距离为 ，详解略；
（2） 为等腰直角，易得
要求的二面角，即两个平面和，
最大化利用轴截距建系，取中点为原点建立坐标系如图 5，则二面角四个点都在轴上了，即，，，，
令平面 和 的法向量分别是 和
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
于是
七、距离问题
结论1、平面外一点到该平面的距离
设平面 的方程为
是平面 外一点，如图 6，从 向平面 引垂线，设垂足是 ，则 即为 到平面 的距离 .
在平面 上任取一点 ，则有
记平面 的法矢量为，它与矢量 的夹角为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
又
故
所以
注： 可以看到上面的点到平面的公式和二维坐标内点到直线的距离类似。
下面结合一道简单的例题，讲一下这个公式的简单应用
【典例1】（关注微信公众号：Hi数学派）在 轴上求一点使它到平面 的距离为 .
解析：
设所求点为 ，由点到平面的距离公式得
即 ，故 或 .
结论2、直线外一点到该直线的距离
设直线 的方程为
是直线 外一点，如图 7，求点 到直线 的距离 .
直线 的方向矢量 ，则
而
故（关注微信公众号：Hi数学派）
这里 ， .
注： 这里的 是向量叉乘，关于向量叉乘的相关内容已经在小派之前的推文《1002期 济南一模 • 解析立体几何 • 建系指导》中介绍过。
下面利用一道简单的例子介绍一下这个公式，
【典例2】（关注微信公众号：Hi数学派）求点 到直线 ： 的距离d .
解析：
在直线 上取一点 ，
则
直线的方向矢量
所以
八、两平面的相互关系
结论3、两平面的夹角
两平面的法矢量之间的夹角称为两平面的夹角（通常取锐角，如图 8）
设平面 和 分别为
：
：
则它们的法矢量分别为 ，
于是 和 两平面角 满足
即（关注微信公众号：Hi数学派）
由此可得
（1） 两平面相互垂直的充要条件是 ， 即 .
（2） 两平面相互平行的充要条件是 ，即
下面给出两道简单例题，应用一下平面夹角公式
【典例3】（关注微信公众号：Hi数学派）求两平面 和 之间的夹角 .
解析：
由平面夹角公式有
所以 .
【典例4】 一平面通过 轴，且与 坐标面的夹角为 求此平面的方程 .
解析：
因为平面通过 轴，故可设所求平面的方程为 .
此平面的法矢量为 ， 坐标面的法矢量可取为 .
由平面夹角公式得
化简得（关注微信公众号：Hi数学派）
代人方程 并注意到 ，再消去 即得所求平面的方为 或 .
九、直线与平面的关系
结论4、直线与平面的夹角
当直线 与平面 不垂直时，直线 和它在平面 上的投影直线 的夹角 （ ），（如图 9）称为直线 与平面 的夹角；
当直线 与平面 垂直时，规定直线 与平面 的夹角为；当直线 与平面 平行时，规定直线 与平面 的角为
设直线 与平面 的方程分别是
则直线 与平面 的夹角 ，因此 ，故有
因此有（关注微信公众号：Hi数学派）
（1）
（2）
且
（3） 在平面 内 ，
其中 .
下面给出一道例题，应用一下直线夹角公式
【典例5】 求直线 ： 与平面 ： 的夹角 .
解析：
的方向矢量 ，平面 的法矢量 ，由直线夹角公式得
故
结论5、直线与平面的交点
求直线 ： 与平面 ： 的交点，可将直线方程写成参数式代人平面方程，求出交点处的参数值，再代人参数式方程求得交点坐标 .
下面用一道例题具体操作一下，
【典例6】（关注微信公众号：Hi数学派）求直线 ： 与平面 ： 的交点 .
解析：
先将直线方程化为参数式
代人平面方程得
解得 ，再代入直线的参数式方程得交点坐标
故交点为
十、直线与直线的关系
设两直线方程是
：
：
它们分别过两点 和 （如图 10），其方向矢量分别为 和 .
结论6、两直线共面的条件
设两直线共面即三矢量 ，， 共面，其充分必要条件是
即（关注微信公众号：Hi数学派）
从而，若直线 // 直线 //
下面给出一个判断两直线关系的例子，
【典例7】（关注微信公众号：Hi数学派）判定两直线 和 是否相交 .
解析：
在两直线上分别取点 和 ，则 ，而 ， 分别为两直线的方向矢量，由共面的条件公式得
得两直线共面，又 ，所以两直线不平行. 于是此两直线一定相交
结论7、两直线的夹角
两直线的方向矢量之间的夹角称为两直线的夹角（通常取锐角）。设两直线的方向矢量分别为 和 ，则两直线的夹角 满足
即
特别可得
下面给一个两直线夹角的简单例子，
【典例8】（关注微信公众号：Hi数学派）求直线
和直线
的夹角 .
解析：
因为平面 的法矢量 ，平面 的法矢量 ，所以直线 的方向矢量 . 同理可得直线 的方向矢量 .
在求夹角时，可取 的同方向矢量 ， 的同方向矢量 来代替 ，
于是
故
十一、平面束方程
结论8、平面束方程
在二维平面解析几何中，我们接触过直线系方程，曲线系方程，感兴趣的可以在小π公众号往期精彩中搜索相关文章。
那么，在三维立体解析几何中是否也存在直线系方程甚至是平面系方程呢？
是的，当然存在，下面详细介绍一下平面系方程。
设直线 是两个不平行平面
：
：
的交线，称通过这两平面交线 的所有平面为由平面 和平面 所确定的平面系，又叫平面束。
关于平面束我们有如下定理，
定理 2：（关注微信公众号：Hi数学派）由平面 和平面 所确定的平面束方程可表示为
证明：
将上式改写为
这是一个关于 的三元一次方程，下证 的系数 ， ， 不同时为 .
若
由于 、 不同时为零，不妨设 ，于是有
这表明平面 与平面 平行与条件矛盾，所以由定理1 可知上式表示一张平面.
因为直线 上任意点 满足 和 所以点 也满足式
故平面（关注微信公众号：Hi数学派）
属于平面 和平面 所确定的平面束 .
注： 定理1 为任何关于 的三元一次方程(3)都表示一张平面. 这在上面第四部分讲过.
另外，设 是交线 外一点，则 与 不能同时为零，故可取不同时为零的常数 、 使点 满足
这表明通过交线 的任何平面都包括在平面束方程所表示的平面内。
上式，称为双参数平面束方程. 由于 和 不同时为零，因此平面束也可用如下的单参数平面束方程:
在具体应用时，若依一定的附加条件定出参数 和 ，就能得到平面中的一个满足所给条件的平面方程
下面给一个平面束方程的应用，来帮助同学们理解
【典例9】（关注微信公众号：Hi数学派）求通过直线 且平行于直线
的平面 的方程 .
解析：
将 化为一般式
因为平面 过直线 ，故平面 的方程可设为
其法矢量 ， 是待定常数.
直线 的方向矢量为
由平面 // 直线 ，则有=0
故得
由此解得 ，于是平面 的方程为
即
十二、更多空间解析立体几何模考题
【24届济南一模T19】（关注微信公众号：Hi数学派）在空间直角坐标系 中，任一平面的方程都能表示成 ，其中 ，，且 为该平面的法向量.
已知集合
（1） 设集合 ，记 中所有点构成的图形的面积为 ， 中所有点构成的图形的面积为 ，求 和 的值；
（2） 记集合 中所有点构成的几何体的体积为 ， 中所有点构成的几何体的体积为 ，求 和 的值；
（3） 记集合 中所有点构成的几何体为
① 求 的体积 的值；
② 求 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出 的面数和棱数.
解析：
（1） 集合 表示 平面上所有的点，
表示 这八个顶点形成的正方体内所有的点，
则 可以看成正方体在 平面上的截面内所有的点，即边长为 的正方形，因此
对于
当 时， 表示经过 ，， 的平面在第一象限的部分.
由对称性可知 表示 ，， 这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
则 可以看成正八面体在 平面上的截面内所有的点，即边长为 的正方形，因此
（2）
如图 3， 表示的是 去掉 个角，则
（3） 如图 4所示， 所构成为正十二面体
由题意面 方程为 ，则其法向量
面 方程为 ，则其法向量
故 （关注微信公众号：Hi数学派）
由图 4 知两个相邻的面所成角为钝角，故 相邻两个面所成角为
由图 4 可知共有 个面， 条棱.
【重庆八中24高二1月月考T16，上海交大附中24高二期末T21】
类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面） 的方程，若曲面 和三元方程 之间满足：
① 曲面 上任意一点的坐标均为三元方程 的解；
② 以三元方程 的任意解 为坐标的点均在曲面 上，则称曲面 的方程为 ，方程 的曲面为 ．
已知曲面 的方程为 ．
（1） 写出坐标平面 的方程（无需说明理由），指出 平面截曲面 所得交线是什么曲线，说明理由（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 已知直线 过曲面 上一点 ，以 为方向量，求证：直线 在曲面 上（即 上任意一点均在曲面 上）；
（3） 已知曲面 可视为平面 中某双曲线的一支绕 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 上．设直线 在曲面 上，且过点 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．
解析：
（1） 由 平面内点的坐标特征可知，平面 的方程为
已知曲面 的方程为 ．
当 时， 平面截曲面 所得交线上的点 满足
也即 在平面 上到原点距离为定值
从而 平面截曲面 所得交线是平面 上，以原点 为圆心， 为半径的圆
（2） 设 是直线 上任意一点
， 均为直线 的方向向量
，从而存在实数 ，使得
即
则
解得 ， ，
所以点 坐标为 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
因此点 的坐标总是满足曲面 的方程，从而直线 在曲面 上.
（3） 直线 在曲面 上，且过点
设 是直线 上任意一点，直线 的方向向量为
由 ， 均为直线 的方向向量，有
从而存在实数 ，使得
即
则
解得 ， ，
所以点 的坐标为
在曲面 上
整理得
由题意，对任意的 ，有
恒成立
，且
或
不妨取 ，则 或
或
又直线 的方向向量为
则异面直线 与 所成角的余弦值均为
【2024年镇海中学高一下期末T19】（关注微信公众号：Hi数学派）在空间直角坐标系 中，已知向量 ，点 . 若直线 以 为方向向量且经过点 ，则直线 的标准式方程可表示为
若平面 以 为法向量且经过点 ，则平面 的点法式方程可表示为
一般式方程可表示为 .
（1） 若平面 ，平面 ，直线 为平面 和平面 的交线，求直线 的单位方向向量（写出一个即可）；
（2） 若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 、、，其中平面 经过点 ，，，平面 ，平面 ，求实数 的值；
（3） 若集合 ， ， ，记集合 中所有点构成的几何体为 . 求几何体 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.
解析：
（1） 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为
由题意得 ，
设直线 的方向向量为 ，则
取 ，则 ，
单位化后可得直线 的方向向量为
（2） 设平面 ，则
解得（关注微信公众号：Hi数学派）
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为
设平面 ， 的交线的方向向量为 ，则
取 ，则 ，
由于三棱柱两个侧面的交线与另一面平行可知
（3） 如图 1 所示， 所构成为正十二面体
由题意面 方程为 ，则其法向量
面 方程为 ，则其法向量
故
由图 1 知两个相邻的面所成角为钝角，故 相邻两个面所成角为
【江苏泰州25届高三7月调研T19】（关注微信公众号：Hi数学派）一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交，则称该直线是两条异面直线的公垂线，并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段，公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离．
（1） 用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义．
（2） 证明：两条异面直线的公垂线有且仅有一条．
（3） 在空间直角坐标系 中，直线 过点 ，方向向量 ；直线 过点 ，方向向量 ，试问： 与 是否共面？
I. 若共面，
（i） 求 与 交点 的坐标.
（ii） 已知 ，记 与 所确定的平面为 ，记 与 所确定的平面为 ，若 ，试问： 是否确定？若确定，求出 的单位方向向量；若不确定，请说明理由.
II. 若异面，
（i） 请给出证明.
（ii） 为 与 的公垂线， ， ，求 与 之间的距离 .
（iii） 求 .
解析：
（1） 设两条直线分别为 和 ， ，且对于任意平面 ， 或 .
若 ， ， ， ，则称 为 与 的公垂线.
线段 为 与 的公垂线段，线段 的长度为 与 之间的距离.
（2）证明：（反证法） 假设 的另外一条直线 也是两条异面直线 与 的公垂线
如图 1，不妨设 ， ， .
平移 得到 ，使得 ，则 且 .
记 与 所决定的平面为 .
由于 ，故 ，又因为 ，且 ，故 .
由于 ，故 ，又因为 ，且 ，故 .
又因为 ，所以 ，故 与 共面，与题设矛盾.
所以两条异面直线 与 的公垂线 是唯一的，有且仅有一条．
（3） 异面
（i）证明：（反证法） 假设 与 共面 ，设面 的法向量 .
如图 2，分别平移 ，，使起点分别落在点 和点 处，则 ， 均在面 内.
于是 且 ，得
取
显然 在面 内，故 ，得 ，但
与 矛盾，故 与 异面.
（ii） 平移 得到 ，使得 . 设 与 所确定的平面为 .
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，即 .
故 与 之间的距离，即线段 的长度等于点 到面 的距离.
因为 与 异面，所以 ，又因为 ， ，所以
所以点 到面 的距离等于点 到面 的距离.
而点 到面 的距离
故 与 之间的距离为
（iii） 因为 与 异面，所以 与平面 （记作面 ）相交，而非在面 内.
因此对于起点在点 处的 ，只存在唯一的 ，使得 的终点落在面 内.
又因为 ，故
为了求 ，需要判定 （含 ）的终点 落在面 内的方法.
设面 的法向量为 ，由于 ，故 的法向量
而 与 均在面 内，故 ，且 ，即
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
因为 在面 内，所以 ，得 .（判定方法）
因为
所以
故 ，解得
