1235期教材中没讲的焦点三角形（18结论）

• 一、焦点三角形定义
• 二、焦点三角与离心率6结论
• 三、焦点三角形面积公式
• 1、椭圆的焦点三角形面积公式
• 2、双曲线的焦点三角形面积公式
• 四、焦点三角形内切圆
• 1、椭圆焦点三角形内切圆结论
• 2、双曲线焦点三角形内切圆结论
• 五、一道焦点三角形典型例题

一、焦点三角形定义

椭圆和双曲线有对称中心，故统称为有心圆锥曲线．有心圆锥曲线上一点和两个焦点构成的三角形，称之为有心圆锥曲线的 焦点三角形．其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形．

二、焦点三角与离心率6结论

离心率是圆锥曲线中一个非常重要的定形的量，它的定义式早已被同学们所熟悉．这一节从焦点三角形作了探究，发现了圆锥曲线的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系，结论如下，

【结论1】 如图 3，在椭圆 中， 为左、右焦点， 为椭圆上任意一点， 是 角平分线与 轴的交点，则椭圆的离心率（关注微信公众号：Hi数学派）

证明： 是 平分线

【结论2】 如图 4，在椭圆 中， 为左、右焦点， 为椭圆上任意一点， 是 的内心， 是的延长线与 轴的交点，则椭圆的离心率

证明： 连接 ，因为 所在的直线是角平分线，

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论 3】 如图 5，在椭圆 中， 为左、右焦点， 为椭圆上任意一点， ， ，则椭圆的离心率

证明：

在 中，由正弦定理得

同理，双曲线的结论为，

【结论4】 如图 6，在双曲线 中， 为左、右焦点， 为双曲线上任意一点， ， ，则双曲线的离心率（关注微信公众号：Hi数学派）

证明： 如图 6，在 中，由正弦定理

【结论5】 如图 7，在椭圆 中， 为左、右焦点， 为椭圆上任意一点， 是外角平分线与 轴的交点，且 ， ，则椭圆的离心率

证明：

由外角可知， ，

再由结论 3 可得（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论6】  如图 8，在椭圆 焦点三角形 中， ，则当 为短轴端点时， 最大，且椭圆离心率  

证明： 设 ， ，则

在 中，由余弦定理得

当且仅当 时等号成立，即 为短轴端点时.

三、焦点三角形面积公式

下面利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式 ．

1、椭圆的焦点三角形面积公式

【结论7】 椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为椭圆上任意一点， ，则椭圆的焦点三角形面积为（关注微信公众号：Hi数学派）

特别地，当 时，有

证明： 如图 9，由余弦定理知

由椭圆定义知

得

所以

当 时，

2、双曲线的焦点三角形面积公式

【结论8】 双曲线 的左右焦点分别为 ，点 为双曲线上任意一点， ，则双曲线的焦点三角形面积为

特别地，当 时，有

证明： 如图 10，由余弦定理知

由双曲线定义知

得

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

当 时，

四、焦点三角形内切圆

在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．接下来归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关结论，并作进一步的引申和推广．

1、椭圆焦点三角形内切圆结论

椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一．

下面先看椭圆焦点三角形内切圆的四个结论

如图 11，椭圆 的标准方程为 ， 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点， 的内切圆圆心为 ，且圆 与 三边相切于点 ．设 ，，则有如下结论：（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论9】

证明： 由切线长定理得： ， ，

则

又根据椭圆定义得

因此

【结论10】 ， ，其中 为椭圆的离心率．

证明： 设 的内切圆半径为 ，由内切圆性质得 轴，当点 在第一象限时，则 ， ．

根据切线长定理，

根据椭圆的第二定义得到焦半径公式

因为

所以 （关注微信公众号：Hi数学派）

当时 ， ，同理有

由 得 ．

当 时，同理有

综上， 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点时 【结论10】 恒成立．

注1： 【结论9】 和 【结论10】 的证明采用的是“算两次”的方法．【结论9】 中对算式 先利用切线长定理进行化简，再根据椭圆定义进行整理，从而构造方程并求解．【结论10】 内心横坐标利用切线长定理和椭圆焦半径公式对 算两次构造方程，内心纵坐标利用焦点三角形面积的两种表述算两次求解．

注2： 由 【结论10】 可反解出 （即用 表示 ），然后将其代入椭圆方程，即可得到内心 的轨迹方程，如下（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论11】 如图 12，内心 的轨迹方程为

其中

证明： （下面再给出另一种证法）

如图 12，设 ，，连 结交直线 于点

由三角形内角平分线定性质知

又由 ，得 ，

【结论12】 如图 13，椭圆焦点三角形的旁切圆与 所在直线相切与顶点，当 点位于左侧时，旁切圆在左侧切点是左顶点，在右侧时候，切点是右顶点．

证明： 如图 13， ，

因此 为切点．

【结论13】 已知 为椭圆    左、右焦点，点 是椭圆 上不同于长轴端点的任意一点，若 为 的内心，则

证明： 如图 14，有内切圆性质和面积公式即可证

2、双曲线焦点三角形内切圆结论

圆锥曲线的定义、曲线方程、性质存在着诸多联系，很多性质并不是孤立的，所以我们可以试着将椭圆焦点三角形内切圆性质研究思路应用到双曲线中，得到类似的性质．下面研究双曲线焦点三角形内切圆的性质．

如图 15，双曲线 的标准方程为 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线上异于实轴端点的任意一点， 的内切圆圆心为 ，且圆 与 三边相切于点 ．设 ，，则（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论14】 的内切圆与 轴切于双曲线的顶点；且当 点在双曲线左支时，切点为左顶点；当 点在双曲线右支时，切点为右顶点．

证明： 设双曲线 的焦点三角形的内切圆且三边，， ，于点 ，，，双曲线的两个顶点为 ，，

在双曲线上，又 在 上

是双曲线与 轴的交点即点 （或 ）．

【结论15】 ，

证明： 如图 15，由切线长定理得： ， ， ，则

又根据双曲线定义得

因为 轴，所以

又 ，所以

注： 【结论15】 的证明逻辑上同样是利用“算两次”构造方程求解．同理可得， 为双曲线 的左支上异于实轴端点的任意一点， ， ．若点 为双曲线 的上异于实轴端点的动点， 内心的轨迹如下

【结论16】双曲线焦点三角形内心轨迹方程：
设点 为双曲线 的焦点三角形 的内心，则有：
（i） 当 在双曲线右支上时，点 的轨迹方程为 ，
（ii） 当 在双曲线左支上时，点 的轨迹方程为 ，

证明：

（i） 当 在双曲线右支上时，如图 16，设圆 与 ，， 分别相切于点 ，

则有 ， ，

  在双曲线右支上， ，即

又 ，设 ，则有 ，化简，有

从而知总圆 与 轴相切于点 ，

又 轴，故点 的轨迹方程为

设 的纵坐标为 ， ，则有

所以

所以 且 （关注微信公众号：Hi数学派）

综上所述，点 的轨迹为 ，

（ii） 仿照 （i） 的证明可证得：当 在双曲线左支上时，圆 总与 轴相切于点 ，点 的轨迹为 ，

【结论17】 已知 为双曲线    左、右焦点，点 是双曲线 上不同于实轴端点的任意一点，若 为 的内心，则 .

证明： 同结论 【结论13】

【结论18】 如图 18，已知 为双曲线    的左、右焦点，过右焦点 作倾斜角为 的直线 交双曲线于 两点，若 ， 的内切圆圆心分别为，半径分别为 ，则

（1） 在直线 上；

（2） ，

（3） ，

注： 从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查同学们对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是同学们应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点．

五、一道焦点三角形典型例题

【江淮十校25 届高三一联T11】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 . 过 的直线 交双曲线 的右支于 、 两点，其中点 在第一象限 . 的内心为 ， 与 轴的交点为 ，记 的内切圆 的半径为 ， 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有（关注微信公众号：Hi数学派）

若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为 或

若 ，且 ，则双曲线的离心率为

若 ， ，则 的取值范围是

若直线 的斜率为 ， ，则双曲线的离心率为