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1243期新教材中不讲的夹角与到角公式
夹角公式和倒角公式在教材里没有，在上课时大多数老师也不会讲！但是这两个公式在处理解析几何与角相关的问题时非常好用。对于这两个公式，同学们很有必要了解和掌握。
一、夹角公式 二、到角公式 三、典型模考题 四、到角公式也被放到了19题
一、夹角公式
夹角公式（included angleformula）是基本数学公式，分为正切公式和余弦公式，正切公式用 表示，余弦公式用 表示，主要用来求两直线的夹角大小 .
夹角的正切公式：（关注微信公众号：Hi数学派）如图 1，设直线 的斜率存在，分别为，则两直线的夹角 满足
注： 两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于 的角，当夹角为 时， 不存在；当 存在时， 始终为正 .
夹角的余弦公式： 如图 1，设直线 分别为 、 则两直线的方向向量分别为 ，则两直线夹角为（关注微信公众号：Hi数学派）
二、到角公式
到角公式，又称为倒角公式（angle formula ），解析几何术语，若称将直线 逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则
注：
“到角” 是带有方向的角，故叫有向角；
到角公式 的分子部分是逆时针方向箭头所指的直线斜率 减去初始直线的斜率 ，与夹角公式 不同之处在于没有绝对值 ；
如果从直线直线 逆时针方向旋转 到与直线 ，则 ，如图 3 所示；
如果从直线直线 逆时针方向旋转 到与直线 ，则 ，如图 4 所示（关注微信公众号：Hi数学派）；
三、典型模考题
【24年数海一模线上考试 T9】 已知正方形 在平面直角坐标系 中，且 ，则直线 的方程可能为
注： 此题和下面这道题基本上是一样的，只不过此题给出了对角线具体的方程。另外，该题 的方程其实为 或 （），即点 并不一定在 轴上 .
【21年1月适应性测试（八省联考）T14】 如图 5，正方形一条对角线所在的直线斜率为 ，则正方形两条邻边所在的直线的斜率为________ .
解析： 设正方形两条邻边所在的直线的斜率为 ，对角线的斜率为
则有夹角公式 得（关注微信公众号：Hi数学派）
即
则 或
解得 或
【浙江温州24年高三上期末（1.5模）T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比等于
（1） 求动点 的轨迹 的方程；
（2） 过直线 上的一点 作轨迹 的两条切线，切点分别为 ，且 ，
① 求点 的坐标；（关注微信公众号：Hi数学派）
② 求 的角平分线与 轴交点 的坐标.
解析： （1） （详解略）
（2）
① 设 ，切线斜率是 ，切线方程为
联立椭圆方程 可得
则其判别式
化简得
设方程 的解为 ， ，即分别为直线 ， 的斜率，如图 6.
由韦达定理得 ，
由夹角公式
平方得（关注微信公众号：Hi数学派）
代入韦达定理得
解得
所以点 的坐标为
② 由对称性可知，点 的两个坐标对应的 的坐标相同，不妨取 ，即
设角平分线斜率为 ，
将 方程 得
解得
由到角公式
解得
所以角平分线方程是
令 ，解得
所以 的角平分线与 轴交点 的坐标为
【典例1】 如图 7，已知椭圆 ， 为其左焦点，过原点 的直线 交椭圆于 两点，点 在第二象限，且 ，则直线 的斜率为________ .
解析：
，设 为
设点 ，
由到角公式 得
所以
因为点 在椭圆上，代入得
因此
四、到角公式也被放到了19题
【25浙江七彩联盟高三上返校考T19】（关注微信公众号：Hi数学派）阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题。其内容为：若将直线 绕 与 的交点逆时针方向旋转到与直线 第一次重合时所转的角为 ，则称 为 到 的角，当直线 与 不垂直且斜率都存在时， （其中 分别为直线 与 的斜率）. 结合阅读材料，回答下述问题：
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆上一点， ，四边形 的面积为 ， 为坐标原点.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 求 的角平分线所在的直线l的方程；
（3） 过点 的且斜率存在的直线 分别与椭圆交于点 （均异于点 ），若点 到直线 的距离相等，证明：直线 过定点.
解析：
（1） （详解群内分享）
（2）
设直线 的斜率为 ，则直线 到直线 的角等于直线 到直线 的角
解得 或
当 时，直线 为 的补角的角平分线所在的直线，不合题意
所以直线 的方程为
即
（3）证明： 设 ，，直线 ，， 的斜率分别为 ，，
，，
作点 关于原点的对称点 ，由圆锥曲线的第三定义可知
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
同理
因为点 到直线 的距离相等，所以 到直线 的角等于直线 到 的角
所以
化简得
两式作差得
又直线 的两点式为
整理得（关注微信公众号：Hi数学派）
对比 式可得直线 过点
所以直线 过定点.
注： 以上解析中用到的圆锥曲线第三定义可以参考小派之前的推文《1147期 圆锥曲线第三定义技巧》；有关直线方程两点式和斜率双用技巧可以参考《1104期【圆锥】斜率双用技巧》
