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1227期打破信息差系列18——二元函数与偏导数
一、系列背景介绍 二、什么是偏导数？ 三、偏导数在求最值问题中的应用 1、多元函数的极值与最值基础 2、拉格朗日乘数法 2、拉格朗日乘数法求多元最值模板 四、偏导数在含参恒成立问题中的应用 五、更多模考中的多元函数与偏导数考题 1、原卷版 2、解析版
一、系列背景介绍
这种新定义已经被很多老师专家以及关注高考的爱好者喷过了，因为这种套壳新定义仅仅便于某些老师出题之外再无什么优点；另外就是这种题对于了解高等数学的同学非常有利（无论是知识技巧，还是考场上的心态），这就给学生一种错误的导向——应多去了解高等数学内容！（关注微信公众号：Hi数学派）
这虽然是不对的，但是对于学生而言，又改变不了某些老师就是喜欢出这些东西，就比如最近模考中就不乏这些类型的压轴题。因此，同学们在学有余力之下，多看一眼这类高等数学背景就行，突破信息差，让自己在考试中看到这东西心态稳一点。
该篇是第18篇，也是打破信息差系列导数篇的最后一篇，后续如有新的涉及导数高等数学背景的，再续更。有关打破信息差系列导数篇前面几篇可以参看链接↓↓↓
《打破信息差系列1——泰勒展开》
《打破信息差系列2——三大中值定理》
《打破信息差系列3——极值点3大充分条件》
《打破信息差系列4——洛必达法则》
《打破信息差系列5——帕德逼近（参考图书+所有帕德题）》
《打破信息差系列6——刘维尔定理》
《打破信息差系列7——斯特林（Stirling）公式》
《打破信息差系列8——函数凸凹性》
《打破信息差系列9——拟合和插值》
《打破信息差系列10——曲率与曲率半径》
《打破信息差系列11——双曲正余弦函数》
《打破信息差系列12——Hadamard 不等式》
《打破信息差系列13——牛顿法与牛顿迭代》
《打破信息差系列14——切比雪夫最佳逼近》
《打破信息差系列15——切比雪夫函数与余弦n倍角展开》
《打破信息差系列16——不动点迭代收敛定理》
《打破信息差系列17——Hölder连续（李普希兹条件）》
二、什么是偏导数？
对于多变量函数如 ，它的偏导数就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定。
例如，求解 关于 的偏导数，我们将 、 视为常数，然后对 求导，所得的新函数（还可能是多变量函数）即为偏导数，记作 （简记为 ）（关注微信公众号：Hi数学派）
举一个具体的例子，二元函数 ，其中 ，
对 求导则有 ，对 求导则有
注： 偏导数在高等数学中非常重要，但是高中一般不怎么涉及，因此在这里不再多加介绍。
三、偏导数在求最值问题中的应用
1、多元函数的极值与最值基础
极值是一个局部概念。
定义：设在点 的某个空心邻域，若 ，则称点 为函数的极大值点， 为函数的极大值。同理可定义极小值点与极小值。
驻点：一阶导数为零的点。在这一点，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于 平面。
注意： 一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点（考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况）；反之，在某设定区域内，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点（考虑到边界条件）（关注微信公众号：Hi数学派）
二元函数极值的必要条件：设 在点 具有偏导数，且它在该点有极值的必要条件是 ， ， 由此易推广到 元函数。
二元函数极值的充分条件：设 在点 有二阶连续偏导数，又 ， ，令 ， ， ，则当 时 是极值，且 时为极大值， 时为极小值；当 时 不是极值；当 时 可能是极值。
求二元连续函数在有界闭域内的最值的一般步骤：
先后求函数在内和边界上的所有驻点； 将所有驻点的函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值。
2、拉格朗日乘数法
条件极值的一般处理方法为代入求解，过程较复杂，计算量较大！这就迎来今天的内容——拉格朗日乘数法，我们先从二元入手再进行推广
设给定二元函数 和附加条件
为寻找 在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数
其中 为参数。
令 对 ， 和 的一阶偏导数等于零，即（关注微信公众号：Hi数学派）
由上述方程组解出 ， 和 ，如此求得的 ，就是函数 在附加条件 下的可能极值点。若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。
从定义上看，在二元的情况下，只要对 求导两次，再结合条件 ，即可得到所求的极值点 。
我们进一步推广：设函数 ，约束条件 ， ，则可构造拉格朗日函数
同上分别对变量求导即可得到可能的极值点坐标。
2、拉格朗日乘数法求多元最值模板
【拉格朗日乘数法模板】 已知 ，，，， ，要求 ，，，， 的极值。
设
则（关注微信公众号：Hi数学派）
是对 偏导，即把 看作变量，其他字母看作常量进行求导
解出 ，，，， ，代入 ，，，， 就可以求得极值。
【典例】 已知正实数 满足 ，则 的最小值是________ .
解析： 设
设
则（关注微信公众号：Hi数学派）
解得
代入解得最小值为
四、偏导数在含参恒成立问题中的应用
先举一个最简单的例子，
【典例1】 设实数 ，证明：
这个问题其实并不难，直接放缩即可：注意到 ，因此 ，即证。
为了说明如何利用偏导数解决含参不等式恒成立问题，此题可以这样写（关注微信公众号：Hi数学派）
令 ，其中 ，此处将 视为常量。
， 在 单调递增。
因此
接下来只需证明 ，而这是显然的。
注： 从上面可以看出，偏导数法就是在剥离两个变量，逐次证明两个变量在各自的定义域内满足要求。下面给出更多典例加以说明。
【典例2】 已知函数 ，
（1） 若 不存在极值点，求 的取值范围。
（2） 若 ，证明： $<e^x$ $+\sin="" x$="" $-1$.<="" p="">
解析： （1） 略
（2） 由 ， 知 ，下证该不等式在 成立。
我们先固定 ，令 ，
在 单调递增。
因此
只需证明
考虑对 进行讨论：（关注微信公众号：Hi数学派）
若 ，则 ， ，
，该不等式成立；
若 ，则 ，只需证明
令
因此 ，该不等式成立。
综上，不等式 在 成立，证毕。
【典例3】 已知函数
（1） 讨论 的单调区间（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 若 ，求证：当 时，
解析： （1） 略
（2） 注意到 ，因此我们先将 视为变量。
令
因此函数 在 单调递增
只需证明
其中
到这里，变量只剩下了 ，虽然看上去有些复杂，但比原不等式简单多了（关注微信公众号：Hi数学派）
令 ，其中
，
在 单调递增，在 单调递减
因此 ，证毕。
注： 事实上，构造出来的 是关于 的一次函数，其一次项 恒正。因此可以知道单调递增，可以不用求导。
【典例4】 设函数 ，
（1） 求 的极值（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 证明：
解析： （1） 略
（2） 注意到 ，
因此只需证明
其中
注意到 ， ，其中
因此 $$ ，当且仅当 时取等，证毕。
【典例5】 已知函数
（1） 若 ，求 的单调区间；
（2） 若 ， ，求证：
解析： （1） 略
（2） 令
因此
只需证明 ，其中
这个不等式的证明还是有难度的，但是有了第(1)题，思路还算自然。
由 （1） 知：当 时，
用 代替 得
其中
因此（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 时取等，证毕。
注： 从以上例题可以看出，偏导数法解决含参不等式恒成立问题很有优势，另外偏导数法和主元法很类似。主元法多用于双变量及多变量问题中，与偏导数法有些许区别，感兴趣的同学可以参考小π之前的推文《886期【导数】主元法》
