1228期杭州一模19题，不就是许洛平一检的Card计数函数？原来都改编自……

该篇素材选自今天高考的浙江杭州市25届高三年教学质量检测（杭州一模）第19题。这张卷质量还是不错的，比如小题中的单选压轴T8是2024年新课标Ⅱ卷T8带火的共零点恒成立问题；多选压轴T11是一直很火的抽象函数问题（瑕疵是利用特殊函数 就可以得到正确答案），填空压轴T14是双曲线离心率问题，比较精致。大题质量就不如小题了，套壳新定义“信息熵”被放到了第17题；第18题是传统导数零点差问题，处理套路是切割线拟合；第19题和前几天豫西北教研联盟（许洛平）25届高三第一次质检第19题一样，都是改编自21年北京海淀的模拟题，另外就是这题中的集合中的计数函数Card(x)在人教 版新教材数学必修第一册 有。

• 一、这两道Card计数函数与数列压轴
• 二、改编自21年北京海淀的模拟
• 三、集合计数函数
• 1、新教材中的集合计数函数
• 2、计数函数典例
• 四、附杭州一模原卷及解析
• 1、原卷（文末下载）
• 2、解析（文末下载）

一、这两道Card计数函数与数列压轴

【浙江杭州25届高三年一模T19】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知正项有穷数列 ，，，，（ ），设 ，记 的元素个数为 .
（1） 若数列 ，，，，求集合 ，并写出 的值；
（2） 若 是递增数列或递减数列，求证: “ ” 的充要条件是 “ 为等比数列”；
（3） 若 ，数列 由 ，，，，， 这 个数组成，且这 个数在数列 中每个至少出现一次，求 的取值个数.

解析：

（1） 由题意得, 的取值为 ，，，

（2） 证明

充分性： 若 是递增等比数列，所以公比

则当 时，

必要性： 若 是递增数列，则

，，， ，且互不相等

，，，， ，且互不相等.

为等比数列（关注微信公众号：Hi数学派）.

若 是递减数列，同理可证.

（3） 由题意知，数列 由 ，，，，， 这 个数组成

因此任意两个数作商（可相等），结果只可能为

共 个不同的值

因为 ，，，，， 这 个数在数列 中共出现 次

所以数列 中存在 （ ），所以

所以 ，且

设数列 ，，，，，，，

此时 ，，，，，，，，，，，，，，

所以

现对数列 分别作如下变换：

① 把前面的 移动到 和后面的 之间，得到数列：，，，，，，，，

此时 ，，，，，，，，，，，，，，

所以

② 再把前面的 移动到后面的 和 之间，得到数列: ，，，，，，，，，，

此时 ，，，，，，，，，，，，，，

所以

③ 依此类推，最后把前面的 移到最后一项，得到数列 ，，，，，，，

此时 ，，，，，，

所以 （关注微信公众号：Hi数学派）

综上， 可以取到从 到 的所有 个整数值

所以 的取值个数为

【豫西北教研联盟（许洛平）25届高三一检T19】 已知有穷数列 ，，，（ ）的各项均为正整数，记集合 的元素个数为 （关注微信公众号：Hi数学派）.
（1） 若数列 为 ，，，，试写出集合 ，并求 的值；
（2） 若 是递增数列且 ，求证： 是等比数列；
（3） 判断 是否存在最大值，若存在，试说明理由.

解析：

（1） 由题意得, 的取值为 ，，

（2） 证明： 因为 是递增数列，且 ，则

，，， ，且互不相等

，，，， ，且互不相等.

为等比数列.

（3） ，，，（ ）共有 个元素，故 ， 最多有 个

存在最大值 . 理由如下：

不妨取 ，，，，其中 （ ） 均为质数.

，，，，

且 ，，，， 互不相同，有 个元素；

同理，，，，，

且 ，，，， 互不相同，共有 个元素；

，，，，

且 ，，，， 互不相同，共有 个元素；

互不相同，有 个元素.

根据质数的性质知，（ ）互不相同

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

故 有最大值

二、改编自21年北京海淀的模拟

【21年北京海淀一模】 （关注微信公众号：Hi数学派）已知数列 ，，，，（ ），设 ，记 的元素个数为 .
（1） 若数列 ，，，，求集合 ，并写出 的值；
（2） 若 是递增数列，求证：“ ” 的充要条件是 “ 为等差数列”；
（3） 若 ，数列 由 ，，，，， 这 个数组成，且这 个数在数列 中每个至少出现一次，求 的取值个数.

解析：

（1） 由题意得, 的取值为 ，，，

（2） 证明

充分性： 若 是等差数列，设公差为

因为数列 是递增数列，所以 .

则当 时，

必要性： 若

因为 是递增数列

， ，， ，且互不相等

又

， ，， ， ，且互不相等.

， ，，

所以 为等差数列.

（3） 因为数列 由 ，，，，， 这 个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为（关注微信公众号：Hi数学派）

共 个不同的值，且对任意的 ，，，，，，， ， 和 这两个数中至少有一个在集合 中.

又因为，，，，， 这 个数在数列 中共出现 次，所以数列 中存在 （ ），所以

综上， ，且

设数列 ，，，，，，，，，，，

，，，，

现对数列 分别作如下变换：

① 把一个 移动到 ， 之间，得到数列：，，，，，，，，，，，

.

② 把一个 移动到 ， 之间，得到数列：，，，，，，，，，，，

③ 把一个 移动到 ， 之间，得到数列：，，，，，，，，，，，，，

④ 把一个 移动到 ， 之间，得到数列：，，，，，，，，，，，