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1249期新教材中的数列新定义系列1——斐波那契数列与36恒等式
斐波那切数列在人教 A 版新教材选择性必修第二册中第10页的阅读与思考中有详细介绍。另外，斐波那切数列有众多恒等式，因此在模考中经常被拿来作为选择或填空的压轴。这一篇结合新教材中的内容再详细讲一下 Fibonacci 数列以及其众多恒等式。
一、新教材中的斐波那切数列 二、斐波那契数列通项与证明 1、通项 2、z 变换法证明 三、斐波那契数列36个恒等式 1、基本恒等式8个 2、拓展恒等式28个 四、斐波那契数列模考题
一、新教材中的斐波那切数列
二、斐波那契数列通项与证明
斐波那契，公元13世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？
斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：，，，，，，，，， ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列 满足：， 且 ，这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.（关注微信公众号：Hi数学派）
1、通项
事实上，斐波那契数列 的通项公式为
其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但它的每一项又都不是无理数.
2、z 变换法证明
证明： 该递推式是二阶递推，求通项公式可以利用特征方程法，可以参考小派之前的推文《1182期 以递推式与特征方程为素材的压轴，《1193期 数列特征方程+1 • 高次方和分解》，《1245期 不动点上新！一文搞定不动点》，《1187期 数列递推求通项16个处理技巧》
下面用另一种方法求通项公式
z 变换法：（关注微信公众号：Hi数学派）首先定义
对递推式 进行 变换得
其中 是 的 变换，即
则
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
对上式进行部分分式展开得，
所以
再对上式进行逆z变换即可得
注： 有关 z 变换法递推数列求通项可以参考小派之前的推文《807期【数列】z变换法由递推数列求通项》
三、斐波那契数列36个恒等式
以下规定斐波那契数列 满足 ， 且
1、基本恒等式8个
（1） 斐波那契数列的奇数项之和
即
（2） 斐波那契数列的偶数项之和
即
（3） 斐波那契数列的前 项之和
即（关注微信公众号：Hi数学派）
（4） 斐波那契数列的前 项的平方和
即
（5） 连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即
（6）（关注微信公众号：Hi数学派）连续两项斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，即
（7） 相间两项斐波那契数的平方差仍是斐波那契数，即
（8） 连续三项斐波那契数后两项的平方和与第一项的平方之差仍是斐波那契数，即
注： 斐波那契数列的基本恒等式的证明总是运用其特征式 的变形 或 进行裂项，从而达到相消求和的目的 .
2、拓展恒等式28个
（9） 下标为 的前 项斐波那契数之和满足
（10） 补充定义 ，则斐波那契数列第 项的平方与前后项满足
（11） 斐波那契数列第 项与第 项满足
（12） 斐波那契数列隔项满足
（13） 当 ， 则
（14） 当 ， 则
（15）（关注微信公众号：Hi数学派）当 ， 则
（16） 当 ， 则
（17） 当 ，则
（18） 当 ，则
（19） 当 ，则
（20） 当 ，则
（21）（关注微信公众号：Hi数学派）当 ，则
（22） 当 ，则
（23） 当 ，则
（24） 当 则
（25） 当 ， 则
（26） 当 ，则
（27） 当 ， 则
（28）（关注微信公众号：Hi数学派）当 ， 则
（29） 当 ， 则
（30） 当 ， 则
（31） 当 ，则
（32） 当 ，则
（33） 当 ，则
（34） 当 则
（35） 当 则
（36） 当 ，则
四、斐波那契数列模考题
【24 届乐山第三次调研 T16】（关注微信公众号：Hi数学派）峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名 . 其中“九十九道拐 景点约有 级台阶，某游客一次上 个或 个台阶，设爬上第 个台阶的方法数为 ，给出下列 四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中所有正确结论的序号是
解析： ①②④
由题意得，，
爬第 级台阶时，可以从第 级上 个台阶，也可以从第 级上 个台阶，故
① ，，，正确
② 由递推式可得（关注微信公众号：Hi数学派）
将 化为
代入 得
代入 得
所以 ，② 正确
③ ，错误
④ 即证明
因为 ，所以
累加得（关注微信公众号：Hi数学派）
故 ④ 正确
注： 该题是实际问题，所以 ，，与上面的斐波那切数初始值 ， 不同，故相关恒等式也不同，例如该题中的 ③ 在初始值 ， 下就是正确的。
【24届 T8 联考第8题】 一只蜜蜂从蜂房 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房 只能爬到 号或 号蜂房，从 号蜂房只能爬到 号或 号蜂房……以此类推，用 表示蜜蜂爬到 号蜂房的方法数，则
解析：（关注微信公众号：Hi数学派）由题意可得 ， ， ，
且
即数列 满足斐波那切数列，
时，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
故选
注： 该题就是以斐波那切数列性质为背景的题目，难点在于看出数列 满足斐波那切数列，接下来利用其 恒等式（10） 就可以很快得出答案
【24届福建省部分校高三上期中T12】（关注微信公众号：Hi数学派）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列：，，，，，，，，， . 这个数列的前两项均是 ，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列 . 现将数列 中的各项除以 所得余数按原顺序构成的数列记为 ，则下列说法正确的是（ ）
解析：
对于 ，因为 ，所以
两边分别累加得（关注微信公众号：Hi数学派）
又 ，所以
故 正确 ；
对于 ，因为
所以 ，所以
两边分别累加得
所以
故 错误 ；
对于 ，由题意知
所以数列 是最小正周期为 的数列，故
故 正确 ；
对于 ，
故 正确 ；
