不动点上新！一文搞定不动点

该篇素材选自前几天考的浙江省G5联盟24年高二期中第19题。该题又是不动点，但是又不一样！主要的不同是在不动点基础上加了个限制条件，定义了个“次不动点”。不过该题并不难于理解，难点在于该题题设给的函数是分段函数，接下来的问题求解就在于能否写出函数复合后的分段函数。 这篇借此题讲一下模考中出现过有关不动点的所有知识点。

• 一、这道不一样的不动点压轴
• 二、函数不动点与稳定点性质与结论
• 1、相关定义
• 2、两个性质
• 3、四个结论
• 三、不动点迭代与桥函数定义
• 四、不动点迭代收敛定理
• 五、利用不动点求数列通项
• 六、利用不动点构造桥函数求数列通项
• 七、与不动点相关的模考题
• 1、不动点稳定点的性质
• 2、不动点与桥函数
• 3、不动点迭代收敛定理

一、这道不一样的不动点压轴

【浙江G5联盟24年高二期中T19】（关注微信公众号：Hi数学派）若存在 满足 ，且 ，则称 为函数 的次不动点. 已知函数

为常数且 .
（1） 当 时，判断 是否为函数 的次不动点，并说明理由；
（2） 已知 有两个次不动点 ，
（i） 求 的取值范围；
（ii） 若对任意 ， ，且 ，，，，求 的面积的取值范围.

解析：

（1） 当 时，

，但

所以 不是函数 的次不动点.

（2） （i）

① 当 时，有

所以 只有一个解 ，又 ，故 不是次不动点.

② 当 时，有

所以 有解集

又当 时， ，故 中的所有点都不是次不动点.

③ 当 时，有

所以 有四个解 ，，，

又

故只有 ， 是 的次不动点。

综上所述，所求 的取值范围为

（ii） 由 （i）  得，当 时，有

的在 递增， 递减， 递增， 递减

的最大值点为 或

设 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）

二、函数不动点与稳定点性质与结论

1、相关定义

定义1，不动点： 若存在 ，使得 ，则称 是函数 的一阶不动点，简称不动点 .

定义2，稳定点： 若存在 ，使得 ，则称 是函数 的二阶不动点，简称稳定点 .

定义3，周期点： 若存在 ，使得 ，且 ，则称 为函数 的二阶周期点，简称周期点 .

注意：

（1） 不动点实际上是方程组 的解 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标

（2） 稳定点是方程组 的解（这里的 可能相等），显然 ， 两点都在函数 的图象上，当 时， 两点关于直线 对称。从几何角度理解的话，稳定点是 和 图象的交点横坐标以及 图象上关于直线    对称的两点的横坐标 .（关注微信公众号：Hi数学派）

（3） 周期点是方程组

的解，从图象角度来理解，周期点是 图象上关于直线 对称的两点的横坐标 .

（4） 若 为函数 的不动点，则 必为函数 的稳定点，需要注意的是,稳定点不一定就是不动点，但若函数 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的 .

（5） 若函数 存在二阶周期点，则必然成对出现，且二阶周期点必存在于不同的单调区间内 .

（6） 若函数 存在一对二阶周期点 ，则 图上必存在一对关于直线 对称的点 ， .

2、两个性质

性质1： 若函数单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的 .

证明： 若函数 有不动点   ，显然它也有稳定点   .

若函数 有稳定点 ，即 ，设 ，则 ，即 和 都在函数   的图象上 .

假设 ，因为 是增函数，则 ，即 ，与假设矛盾；

假设 ，因为 是增函数，则 ，即 ，与假设矛盾；

故 ，即 ，所以 有不动点  .

性质2： 若 有唯一不动点，（关注微信公众号：Hi数学派）则 也有唯一不动点 .

证明：

存在性： 设 是 的唯一不动点，记 ，则 ，所以 ，故 也是 的不动点。由 只有一个不动点可知 ，因此 f(x_0)=x_0，即 有不动点 .

唯一性： 假设 也是   的不动点，易知 也是 的不动点，这与已知矛盾。故 有唯一不动点.

3、四个结论

结论1： 有解等价于 有解；

证明： 若 有解，下证 有解，

若 无解，则一定有 恒成立或 恒成立，不妨设 恒成立，将 换成 ，有 ，所以 ，这与  有解矛盾 .

反之，若 有解，不妨设 ，则 ，所以  有解.

结论2： 无解等价于 无解；

证明： 同 结论1 可证

结论3： 有解等价于  有解；

证明： 设 ，则 有解等价于  有解，将这个式子中的 代入 ，得 ，所以 有解，即 有解（关注微信公众号：Hi数学派）

结论4： 无解等价于  无解；

证明： 同 结论3 可证

三、不动点迭代与桥函数定义

定义4： 已知函数 ，记 ， ，，， ，则称 为函数 的 次迭代.

定义5：（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 和 ，若存在可逆函数（存在反函数），满足 ，则函数 和 互为相似函数，其中 称为桥函数.

注： 对此定义有两方面的说明
（1） 若 ，则 且
（2） 若 的不动点为 ，则 为函数 的不动点.

四、不动点迭代收敛定理

设有如下迭代

并称 为迭代函数

设点 为 的不动点，即 为 方程 的根

若该迭代收敛，迭代函数 必须满足如下不动点收敛定理

【不动点迭代收敛定理】 设迭代函数 在区间 上连续，且满足
① 当 时， ；
② 存在一正数 ，满足 ，且 ，有
则有（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 方程 在区间 上 内有唯一解
（2） 对于任意初值 ，迭代 均收敛于

（3）

（4） .

证明：

设 ，则 在区间 上连续可导，根据条件 ① ，

由零点存在性定理，方程 在区间 上至少存在一个根（存在性）

根据条件 ② ，  ， 则

则函数 在区间 上单调递增

故方程 在区间 上 内有唯一解 （唯一性）

所以 （1） 得证；

由拉格朗日中值定理

又   ，则

所以

所以 （3） 得证；

由拉格朗日中值定理（关注微信公众号：Hi数学派）

又   ，则

所以

所以 （4） 得证；

因为   ，则

因此对于任意初值 ，迭代 均收敛于

所以 （2） 得证；

注：  条件 ①② 也就是保证 有唯一的不动点 存在 ；另外有关拉格朗日中值定理可以参考小派之前的推文《17分的导数可以参考 • 三大中值定理》。

五、利用不动点求数列通项

利用递推数列 的不动点，可以将某些由递推关系 所确定的数列转化为较易求通项的数列（如等差数列或等比数列）. 这种方法称为不动点法. 下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式.

定义6： 若数列 满足 ，则称 为数列 的特征函数.

定义7：（关注微信公众号：Hi数学派）方程 称为函数 的不动点方程（特征方程），其根 称为函数 的不动点.

若数列 的递推公式为 ，把此式中的 、 均换成 ，得方程   ，我们把方程   的实数根 称为数列 的不动点.利用数列的非零不动点，可以转化求等比、等差数列，继而可求出数列 的通项公式.

【典例1】 若 ， 是 的不动点， 满足递推关系 ，则 ，即 是以 为公比的等比数列.

证明： 因为 是 的不动点

由 得

所以 是以 为公比的等比数列.

【典例2】 设 ，且 只有两个相同的不动点 ，如果 满足递推关系 ，初值条件 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）

证明： 由 得

整理得

所以

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

【典例3】（关注微信公众号：Hi数学派）设 ， 满足递推关系 ，初值条件 ，若 有两个相异的不动点 ，则 .（这里 ）

证明： 因为 是不动点，所以

所以

令  ，则

【典例4】（关注微信公众号：Hi数学派）设 有两个不同的不动点 ，且 满足递推关系 ，那么当且仅当， 时，

证明： （同学们可以尝试一下）

六、利用不动点构造桥函数求数列通项

由 定义4 、定义5 可得如下结论