1239期被今年新Ⅱ卷带火的圆锥与数列结合题

该篇素材选自广东九校高三9月质检第18题（原题如下）。该题并不难，是圆锥曲线与数列结合的题目，类似于今年新Ⅱ卷的压轴。另外，近期模考中也出现非常多圆锥结合数列的题目，比如青岛高三期初调研T18、四川新高考联盟25届高三9月适应考T18、重庆25届高三上9月联考T19等等。这期就借此题回顾一下今年新Ⅱ卷的压轴，顺带更新近期模考中仿新Ⅱ卷压轴的圆锥曲线与数列结合的题目。

• 一、广东九校圆锥结合数列压轴
• 二、近期仿新Ⅱ卷的圆锥结合数列
• 三、回顾新Ⅱ卷圆锥结合数列
• 1、个人解析
• 2、官方解析
• 四、更多仿新Ⅱ卷的圆锥结合数列
• 1、学生版（文末下载）
• 2、解析版（文末下载）

一、广东九校圆锥结合数列压轴

【广东九校高三9月质检T18】 已知点 在抛物线 上，按照如下方法依次构造点 （ ），过 点 作斜率为 的直线与抛物线 交于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为
（1） 求 的值；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 求证：数列 是等差数列，并求 ；
（3） 求 的面积.

解析：

（1） 因为点   在抛物线 上，可得 ，解得

（2） 证明： 由 （1） 知，，即 ,

点 ，， 在抛物线 上

两式相减得

可得

所以数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列

所以

（3） 由 （2） 知

设 与 轴交于点 ，如图 1 所示

可得梯形 的面积为

同理可得

又由梯形 的面积为

则 的面积为

二、近期仿新Ⅱ卷的圆锥结合数列

【青岛高三期初调研T18】 已知双曲线 ，点 在 上. 按如下方式构造点 ：过点 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，记点 的坐标为
（1） 求点 的坐标；
（2） 记 ，证明：数 列 为等比数列；
（3） 为坐标原点， 分别为线段 的中点，记 ， 的面积分别为 ，，求 的值.

解析：

（1） ，（2） （3） （详解群内分享）

【四川新高考联盟25届高三9月适应考T18】 如图，已知点列 与 满足 ， 且 ，其中 ，
（1） 求 ；
（2） 求 与 的关系式；
（3） 证明：

解析：

（1） 由题意 ， ，

且

化简得到

得 ，所以

（2）

又

则

将 代入 得

（3） 下面证明

当 时

因为

所以

【24届河南部分重点高中5月联考T19】 已知双曲线 的两条渐近线分别为 和 ，右焦点坐标为 ， 为坐标原点.（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求双曲线 的标准方程；
（2） 直线 与双曲线的右支交于点 ，（ 在 的上方），过点 分别作 的平行线，交于点 ，过点 且斜率为 的直线与双曲线交于点 （ 在 的上方），再过点 分别作 的平行线，交于点 ，这样一直操作下去，可以得到一列点 ，， . 证明：
（i） 共线；
（ii） 为定值， ， .

解析：

（1） （详解群内分享）

（2）证明：
（i）

设斜率为 ，与双曲线右支相交于 两点的直线方程为 ，其中 ，

联立方程

消去 可得（关注微信公众号：Hi数学派）

该方程有两个正根，解得

根据韦达定理得

直线 的方程为

而 ，即

直线 的方程为

而 ，即 ,

联立方程（关注微信公众号：Hi数学派）

两式相加得

代回方程组得

根据 ，易得

即 都在直线 上

所以 共线

（ii）

由 （i） 得: 设 坐标为 ，直线 方程为 ，即 （i） 中

根据①中的计算

又（关注微信公众号：Hi数学派）

【24届华大新高考联盟预测卷T19】 对于求解方程 的正整数解 （，，） 的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法.

例如已知 是方程 的一组正整数解，则 ，

将 代入等式右边，得 ，

变形得： ，

于是构造出方程 的另一组解 ，重复上述过程，可以得到其他正整数解.

进一步地，若取初始解时满足 最小，则依次重复上述过程可以得到方程 的所有正整数解 . （关注微信公众号：Hi数学派）

已知双曲线 的离心率为 ，实轴长为 .
（1） 求双曲线 的标准方程；
（2） 方程 的所有正整数解为 ，且数列 单调递增.
（i） 求证: 始终是 的整数倍；
（ii） 将 看作点，试问 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

解析：

（1）  
（2） （i） （ii） 定值 （详解群内分享）

【24届江苏淮阴中学等四校联考T19】 在平面直角坐标系 中，若在曲线 的方程 中，以 （ 为非零的正实数） 代替 得到曲线 的方程 ，则称曲线 、 关于原点“伸缩”，变换 称为“伸缩变换”， 称为伸缩比.
（1） 已知曲线 的方程为 ，伸缩比 ，求 关于原点“伸缩变换”后所得曲线 的方程；
（2） 射线 的方程 ，如果椭圆 经“伸缩变换”后得到椭圆 ，若射线 与椭圆 、 分别交于两点 ，且 ，求椭圆 的方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 对抛物线 ，作变换 ，得抛物线 ； 对 作变换 ，得抛物线 ；如此进行下去，对抛物线 作变换 ， 得抛物线 ，……
若 ， ，求数列 的通项公式

解析：

（1） （详解群内分享）

（2） 或 （详解群内分享）

（3） 对 作变换

得抛物线 ，即

又因为 ，所以

即

当 时，（关注微信公众号：Hi数学派）

得

适用上式，

所以数列 的通项公式为

三、回顾新Ⅱ卷圆锥结合数列

1、个人解析

更多内容可参考小派之前的推文《2024新课标Ⅱ卷 • 全卷详细解析》

【2024年新Ⅱ卷T19】 已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ，按照如下公式依次构造点 ：过点 作斜率为 的直线与 的左支点交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为
（1） 若 ，求 ；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3） 设 为 的面积，证明：对于任意正整数 ，

（1） 在 上， ，

过 且斜率为 的直线方程为 ，即