1225期打破信息差系列16——不动点迭代收敛定理

• 一、系列背景介绍
• 二、这道不动点迭代收敛定理题
• 三、再介绍不动点迭代收敛定理
• 四、借一题说明应用此定理的四个步骤
• 1、说明单调数列
• 2、说明数列界限
• 3、求迭代函数的不动点
• 4、判断是否满足定理条件并应用结论
• 五、不动点收敛定理对常规方法的指导意义
• 六、最后再应用一例

一、系列背景介绍

这种新定义已经被很多老师专家以及关注高考的爱好者喷过了，因为这种套壳新定义仅仅便于某些老师出题之外再无什么优点；另外就是这种题对于了解高等数学的同学非常有利（无论是知识技巧，还是考场上的心态），这就给学生一种错误的导向——应多去了解高等数学内容！（关注微信公众号：Hi数学派）
这虽然是不对的，但是对于学生而言，又改变不了某些老师就是喜欢出这些东西，就比如最近模考中就不乏这些类型的压轴题。因此，同学们在学有余力之下，多看一眼这类高等数学背景就行，突破信息差，让自己在考试中看到这东西心态稳一点。

该篇是第15篇，前面几篇参看链接↓↓↓
《打破信息差系列1——泰勒展开》
《打破信息差系列2——三大中值定理》
《打破信息差系列3——极值点3大充分条件》
《打破信息差系列4——洛必达法则》
《打破信息差系列5——帕德逼近（参考图书+所有帕德题）》
《打破信息差系列6——刘维尔定理》
《打破信息差系列7——斯特林（Stirling）公式》
《打破信息差系列8——函数凸凹性》
《打破信息差系列9——拟合和插值》
《打破信息差系列10——曲率与曲率半径》
《打破信息差系列11——双曲正余弦函数》
《打破信息差系列12——Hadamard 不等式》
《打破信息差系列13——牛顿法与牛顿迭代》
《打破信息差系列14——切比雪夫最佳逼近》
《打破信息差系列15——切比雪夫函数与余弦n倍角展开》

该篇素材选自前天考的绵阳一诊第19题，该题又是不动点迭代收敛定理，和2024年3月的福建24届高中毕业班适应性练习第19题以及山东新高考联合质量测评2025届高三10月联考第19题一样。这一篇先讲一下此题，然后再介绍一下该定理，之后再借此题说明应用此定理的四个步骤，最后说一下不动点收敛定理对常规方法的指导意义。（关注微信公众号：Hi数学派）

注： 利用不动点迭代收敛定理的解法不建议书写到答题卡上，但利用不动点收敛定理可以很好地找到常规解析中的放缩函数。

二、这道不动点迭代收敛定理题

【四川绵阳25届高三一诊T19】 已知函数 ， 在 上的最大值为 .
（1） 求实数 的值（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 若数列 满足 ，且 .
（i） 当 ， 时，比较 与 的大小，并说明理由；
（ii） 求证： .

解析： （1）

当 ， ， 单调递增

当 ， ， 单调递减

所以在 上

解得

（2） （i） 由题得

代入 可得 ，再迭代入 可得

所以当 ， 时，

（ii） 构造函数

所以当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减

所以 ，即 恒成立，当且仅当 时取等

又由 （i） 知

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

所以当 ， 时，

所以

三、再介绍不动点迭代收敛定理

设有如下迭代

并称 为迭代函数

设点 为 的不动点，即 为 方程 的根

若该迭代收敛，迭代函数 必须满足如下不动点收敛定理

【不动点迭代收敛定理】 设迭代函数 在区间 上连续，且满足
① 当 时， ；
② 存在一正数 ，满足 ，且 ，有
则有（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 方程 在区间 上 内有唯一解
（2） 对于任意初值 ，迭代 均收敛于

（3）

（4）

证明：

设 ，则 在区间 上连续可导，根据条件 ① ，

由零点存在性定理，方程 在区间 上至少存在一个根（存在性）

根据条件 ② ，  ， 则

则函数 在区间 上单调递增

故方程 在区间 上 内有唯一解 （唯一性）

所以 （1） 得证（关注微信公众号：Hi数学派）

由拉格朗日中值定理

又   ，则

所以

所以 （3） 得证；

由拉格朗日中值定理（关注微信公众号：Hi数学派）

又   ，则

所以

所以 （4） 得证；

因为   ，则

因此对于任意初值 ，迭代 均收敛于

所以 （2） 得证；

注：  条件 ①② 也就是保证 有唯一的不动点 存在 ；另外有关拉格朗日中值定理可以参考小派之前的推文《17分的导数可以参考 • 三大中值定理》。

四、借一题说明应用此定理的四个步骤

【山东新高考联合质量测评25届高三10月联考T19】 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石. 简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 是函数 的不动点（关注微信公众号：Hi数学派）
已知函数 .
（1） 若函数 只有一个不动点，求实数 的取值范围；
（2） 当 时，数列 满足： ， .  证明：对任意的 ，

1、说明单调数列

① 下面先证明 是单调递减数列

记

所以   在 单调递减，故

所以 ，即数列   是单调递减

2、说明数列界限

② 下面用数学归纳法证 ，

所以   在 单调递增

当 时，

所以 ，即

因为 ，则

假设   成立，则 也成立

从而 ，

故（关注微信公众号：Hi数学派）

3、求迭代函数的不动点

③ 求不动点

已知迭代

令

方程 等价于

记

所以 在区间 上单调递减，

有   ，故 在区间 上仅有一个零点，

即 在区间 上仅有一解，即 在区间 上有唯一的不动点

4、判断是否满足定理条件并应用结论

④ 判断是否满足条件

则 在区间 上单调递增

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

， 在区间 上单调递增

且

所以

满足不动点收敛定理条件 ①② ，并记  ，则

又   ，则由结论 （4） 得

所以 （关注微信公众号：Hi数学派）

五、不动点收敛定理对常规方法的指导意义

在答题卡上，不建议出现不动点收敛定理，除非题目明面上介绍了该定理，也就题目是以该定理的新定义题。但是并不是整个方法都不能写，不动点收敛定理法的前三步骤也是可以写在答题卡上的，只是第四步不行，因为涉及不动点收敛定理的结论。

答题卡上不能用也并不是说该定理没有用，不动点收敛定理对常规方法的放缩函数找寻有一定的指导意义。在此题常规方法中，关键是要找到下面的放缩函数，即（关注微信公众号：Hi数学派）

也就是

对比不动点收敛定理，不难发现，该不等式就是

其中 就是迭代函数， 是不动点， 就是 的上界（或大于上界，即 可根据题设要证明最终结果确定）

六、最后再应用一例

【福建24届毕业班质检T19】 对于函数 ，若实数 满足 ，则称 为 的不动点.
已知 ，且 的不动点的集合为 . 以 和 分别表示集合 中的最小元素和最大元素.
（1） 若 ，求 的元素个数及 ；
（2） 当 恰有一个元素时， 的取值集合记为 .
（i） 求 ；（关注微信公众号：Hi数学派）
（ii） 若 ，数列 满足 ， 集合 ， 求证： ，

解析： （下面是利用不动点迭代收敛定理解决第 （ii） 小问的，第 （1） 和 （2） （i） 可以参考小派之的推文《996期 福建质检 • 不动点》）

由作差法和数学归纳法很容易证明数列 单调递减，且

（ii） 该小问即是要证明

设 ，则数列 满足迭代

由 （i） 知， ，

因为 ，记

1）求不动点 （关注微信公众号：Hi数学派）

方程 等价于

记

所以 在区间 上单调递减，

有   ，故 在区间 上仅有一个零点，

即 在区间 上仅有一解，即 在区间 上有唯一的不动点

2）判断是否满足条件

令

则 在区间 上单调递增， ，即

则 在区间 上单调递增，

所以

， 在区间 上单调递增

所以

满足不动点收敛定理条件 ①② ，并记  ，则

又  ，则由结论 （4） 得

所以 （关注微信公众号：Hi数学派）