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1237期打破信息差系列20——解三角形与梅氏定理
一、往期回顾 1、导数篇18讲 2、解三角形篇 二、什么是梅氏定理？ 1、梅涅劳斯定理 2、梅涅劳斯定理证明 三、梅氏定理在解三角形中的应用 四、梅氏定理在解析几何中的应用
一、往期回顾
这种新定义已经被很多老师专家以及关注高考的爱好者喷过了，因为这种套壳新定义仅仅便于某些老师出题之外再无什么优点；另外就是这种题对于了解高等数学的同学非常有利（无论是知识技巧，还是考场上的心态），这就给学生一种错误的导向——应多去了解高等数学内容！（关注微信公众号：Hi数学派）
这虽然是不对的，但是对于学生而言，又改变不了某些老师就是喜欢出这些东西，就比如最近模考中就不乏这些类型的压轴题。因此，同学们在学有余力之下，多看一眼这类高等数学背景就行，突破信息差，让自己在考试中看到这东西心态稳一点。
1、导数篇18讲
《打破信息差系列1——泰勒展开》
《打破信息差系列2——三大中值定理》
《打破信息差系列3——极值点3大充分条件》
《打破信息差系列4——洛必达法则》
《打破信息差系列5——帕德逼近（参考图书+所有帕德题）》
《打破信息差系列6——刘维尔定理》
《打破信息差系列7——斯特林（Stirling）公式》
《打破信息差系列8——函数凸凹性》
《打破信息差系列9——拟合和插值》
《打破信息差系列10——曲率与曲率半径》
《打破信息差系列11——双曲正余弦函数》
《打破信息差系列12——Hadamard 不等式》
《打破信息差系列13——牛顿法与牛顿迭代》
《打破信息差系列14——切比雪夫最佳逼近》
《打破信息差系列15——切比雪夫函数与余弦n倍角展开》
《打破信息差系列16——不动点迭代收敛定理》
《打破信息差系列17——Hölder连续（李普希兹条件）》
《打破信息差系列18——二元函数与偏导数》
注： 以上各讲并没有内容上的递进关系或是学习的先后顺序，即每一讲内容基本上是独立的，看某一讲并不需要一定先看完排序靠前的，也就是各讲序号仅表明该讲编写出来的时间先后罢了。另外，后续如有考卷出现新的涉及导数高等数学背景的，再续更打破信息差系列——导数篇。
2、解三角形篇
该篇是第2篇，前面1篇参看链接↓↓↓
《打破信息差系列19——解三角形与射影几何》
二、什么是梅氏定理？
1、梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家 . 梅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理 .
梅氏定理： 、、 分别是 三边所在直线 、、 上的点则 、、 共线的充分必要条件是（关注微信公众号：Hi数学派）
注： 根据定理的条件可以画出如下所示的两个图形：
、、 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；
、、 三点分别都在三角形三边的延长线上.
2、梅涅劳斯定理证明
证明： 如图 1、2 所示，设 、、 到直线 的距离分别为 、、 .
（1）先证明必要性，即若 、、 三点共线，则
因为 ， ，
三式相乘得
（2）再证明充分性，即若
则 、、 三点共线 .
设直线 交 于 ，由已证必要性得
又因为
所以
因为 和 或同在 线段上，或同在 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以 和 比重合为一点，也就是 、、 三点共线 .
三、梅氏定理在解三角形中的应用
【典例1】 如图 3，在 中， 是 的中点， 在边 上， ， 与 交于点 ，若 ，则 的值是___.
解析：
，得 ，则
是 的中点，所以
由梅涅劳斯定理，得
由定比分点向量公式，得（关注微信公众号：Hi数学派）
则
故
【典例2】 如图 4，在在凸四边形 中，对边 的延长线交于点 ，对边 的延长线交于点 ，若 ， ， （， ），则（ ）（关注微信公众号：Hi数学派）
的最大值为
解析：
对于 选项，由定比分点向量公式， ， ，故 正确 .
对于 选项，由梅涅劳斯定理，
故 正确 .
对于 选项，
当且仅当 时取等号，故 不正确
对于 选项，
当且仅当 时取等号
故 正确
四、梅氏定理在解析几何中的应用
【典例3】 如图 5，已知抛物线 ，过抛物线的焦点 的直线交抛物线于 两点, 点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上， 直线 交 轴于点 ，且 在点 的右侧. 记 ， 的面积分别为 求 的最小值及此时点 的坐标 .（关注微信公众号：Hi数学派）
解析： 延长 交 于点 ，因为 为 的重心，所以 为线段 的中点；
由于
由梅涅劳斯定理知：在 中，
即得
在 中，
即得
因此（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 时，取到最小值 .
下求此时 点坐标：
设直线 的方程为
联立 ，消去 得
由韦达定理得
由重心坐标公式可知， ，
所以
则
又因为 ，所以
由
解得
此时重心坐标为
