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圆锥曲线不联立系列14讲
一、不联立系列讲义 二、技巧方法很多，适合自己最好 1、传统联立解法 2、对偶构造之假平移 3、定比插参 4、斜率双用 5、万能代换 6、斜率同构 三、本题背景——调和点列中点模型 1、调和线束中点模型 2、中点模型在圆锥曲线中的应用
一、不联立系列讲义
在20年以后的高考中，圆锥曲线题目开始不同于以往高考，涉及极点极线背景，比如2020年全国I卷T20乘积为 模型，2022 年全国乙卷T20，2023 年全国乙卷T20，2024年全国甲卷（文理）T20调和线束中点模型等等，使得传统直线联立曲线的做法在计算上比较麻烦，甚至有时是行不通的，只能使用设点不联立计算。因此，小派这几天系统整理编写了不联立系列讲义，链接如下，其中包含了之前写过的不联立技巧，也包括近期新写的一些内容。
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》
《圆锥曲线不联立系列9——对偶构造之假平移》
《圆锥曲线不联立系列10——斜率双用》
《圆锥曲线不联立系列11——定比插参》
《圆锥曲线不联立系列12——曲线系》
《圆锥曲线不联立系列13——斜率同构》
《圆锥曲线不联立系列14——齐次化》
注： 如有未涉及到的思路技巧，同学们可以留言反馈，另外当有新的不联立技巧出现，也会再续更不联立系列。
二、技巧方法很多，适合自己最好
用不联立技巧解决一些圆锥曲线压轴，可用方法很多不唯一，也并不是每种方法都要熟练掌握，做到适合自己就行，即哪种方法自己看着顺眼，写着顺手就行，另外能做到程式化模板化的方法建议掌握，比如截距点差法、对偶构造、假平移、斜率同构、齐次化等等。
下面借 2023 年全国乙卷圆锥曲线压轴第20题给同学们对比一下传统联立解法和不联立不韦达几种方法难易与计算量。
【2023 年全国乙卷T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，点 在 上．
（1） 求 的方程．
（2） 过点 的直线交 于点 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点．
解析：
（1） 由题意可得
解得
所以椭圆方程为 .
（2）
1、传统联立解法
由题意可知，直线 的斜率存在，设 ，，
联立方程
消去 得
则（关注微信公众号：Hi数学派）
解得
由韦达定理可得
因为 ，则直线
令 ，解得
即 ，同理可得
则
所以线段 的中点是定点 .
2、对偶构造之假平移
设点 ，，
由 三点共线得
（关注微信公众号：Hi数学派）有
所以
又
令
同理得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 中点为定点
注： 设点便于运算，将非轴点弦问题转化为轴点弦问题，由 三点共线得到对偶式，由直线 得到 ，同理得 ，坐标相加结合对偶式可得 的定值，即为定点 .
3、定比插参
设点 ，，，，
由 三点共线得
代入椭圆得
由 三点共线得
由 三点共线得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 中点为 定点 .
注： 根据 三点共线,设出中间参数 ,结合参数表示出 点坐标,代入椭圆方程可得到对 的坐标 表示,从而带参化解得 为定值.
4、斜率双用
设点 ，，
由直线
令 得
同理
（关注微信公众号：Hi数学派）所以
设 （定值）
由圆锥曲线第三定义有
则
即
作差得（关注微信公众号：Hi数学派）
对照过定点 的直线的两点式
可知
所以 中点为定点
注1： 由于题目是极点极线背景下（调和点列中点模型）的定点问题，隐藏斜率和为定值，只需设斜率和为定值 ，利用斜率双用代换以 后对比直线两点式可知 ，进而算出 中点为定点.
注2： 有关调和点列中点模型可以参考小派之前的推文《1080期【圆锥】打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》，也可参考下文
5、万能代换
设 ，，
代入点 得
又直线
令 ，得
同理得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 中点为定点 .
注1： 根据椭圆参数方程 （ 为参数），可设 ，根据三角函数万能公式换元得 ，同理有 ，通过直线 方程得到 的坐标，由 三点共线可以整理出关于参数 的关系式，从而可以表示出 ，所以 中点为定点 .
注2： 以上其实是椭圆的万能参数方程，有关万能参数方程可以参考小派之前的推文《925期【圆锥】万能公式有多万能？解圆锥又解导数》
6、斜率同构
令 ，，，则
由 联立得
由 联立得
将 代入椭圆中 得
（关注微信公众号：Hi数学派）即
化简得
同理
所以 ， 为同构方程
的解
从而 ，所以 中点为定点 .
注： 设出直线 并表示出 坐标,进而用斜率表示 坐标,代入椭圆中得斜率的同构方程, 从而
三、本题背景——调和点列中点模型
如图 2 ，设椭圆 的上顶点为 ，
点 的关于椭圆 极线为 ，即直线
设点 的极线 与 交于点
直线 为过点 的椭圆的割线，则 ，，， 为调和点列，则直线 ，，， 为调和线束
又 轴 ，且 轴截调和线束中的 ，， 于点 、、
根据调和线束的中点模型，点 为 的中点
1、调和线束中点模型
调和线束中点模型：（关注微信公众号：Hi数学派）调和线束 交于点 ，即 ，作直线 平行于 ，与直线 分别交于点 ，则
证明： 由 ，所以
即
由正弦定理得 ，
因此
注1： 作调和线束中任意一条的平行线与另外三条分别相交于三点，中间那个点必然是中点。
注2： 有关极点极线、调和线束的知识可以参考小派之前的推文《771期【圆锥】极点极线10个性质以及在近几年全国卷中的应用》，《888期【圆锥】一文搞懂配极原则》，《极点极线焦准模型》，《924期【拓展】极点极线基础——单比与交比、调和点列、完全四点形》，《圆锥曲线极点极线的一般理论（3定义8定理）》
2、中点模型在圆锥曲线中的应用
中点模型在圆锥曲线中的应用方式是非常多样的，随着调和线束选择的不同，以及割线的不同，就可以得到中点模型的各种不同表现形式。比如下图 4（关注微信公众号：Hi数学派）
直线 为点 的极线，交椭圆于点 ，过 作椭圆割线 交 于点 ，则直线 为调和线束，过 作直线 平行于切线 ，分别交直线 、 于点 ，则
注： 更多有关调和点列中点模型和试题可以参考小派之前的推文《1080期【圆锥】打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》
