1289期一题掌握非对称韦达，这5种处理技巧

该篇素材选自今天刚考的湖北省部分市州2025年元月高三期末联考第18题。该题并不是很难，只是涉及非对称韦达，所以这篇借此题再给同学们讲一下关于非对称韦达的5种处理技巧。

• 一、今天这道圆锥曲线压轴题
• 1、方法一，和积转化变齐次
• 2、方法二，翻转斜率化对称式
• 3、方法三，对偶构造
• 二、无法韦达代换的问题
• 三、引入非对称结构
• 四、非对称结构 5 种处理技巧
• 1、补倒数构造对称式
• 2、翻转斜率化对称式
• 3、和积转化变齐次
• 4、对偶构造
• 5、局部消元

一、今天这道圆锥曲线压轴题

【湖北部分市州25年元月高三联考T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的左、右焦点为 ，，点 是椭圆上任意一点， 的最小值是 .
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 设 为椭圆的上、下顶点， 为椭圆上异于 的两点，记直线 的斜率分别为 ，，且
（i） 证明：直线 过定点 ；
（ii） 设直线 与直线 交于点 ，直线 的斜率为 ，试探究 ，， 满足的关系式.

解析：

（1）

椭圆 的方程为

（2）

（i） 若直线 斜率不存在，则 ，不符合题意

当直线 斜率存在时，设直线 ， ，，

（关注微信公众号：Hi数学派）联立直线 和椭圆方程

得

韦达定理可得

且

1、方法一，和积转化变齐次

所以

又 （关注微信公众号：Hi数学派）

所以 ，直线 恒过定点

2、方法二，翻转斜率化对称式

令直线 斜率为 ，则由第三定义可得

又

（关注微信公众号：Hi数学派）代入根与系数的关系可得

展开可得

或

又

所以 ，直线 恒过定点

3、方法三，对偶构造

由 得

代入 （）得到

整理后得

如图 1，构造对偶条件得

可知 ，即

整理后得（关注微信公众号：Hi数学派）

式 得

由 的任意性知

所以动直线 过定点

（ii） 由 （i） 可知，直线 ，直线

即 点在直线 上

如图 1，令 与 轴的交点为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）

显然 ，， 同号，则有

二、无法韦达代换的问题

解析几何中大多数问题的解题步骤都可以描述概括为先联立直线与曲线方程，消元后构造一元二次方程

若 ，可设直线与曲线两交点的横坐标分别为 ，然后再根据根与系数的关系处理 ，， 等结构的问题 . 比如，先对式子进行转化，得到（关注微信公众号：Hi数学派）

再将根与系数的关系式整体代入来解决问题.

但是也存在一些问题并不能通过以上步骤来解决，比如如下 【引例1】

【引例1】 如图 2，已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线 交抛物线于 两点，，求直线 的斜率 .

解析： 易知 ，设 ，，直线 的方程为 ，联立直线与抛物线的方程，消去 得

由根与系数的关系得 ，

，

，

注1： 这里可以联立 直接求出 ，再代回到   ，从而求出参数 ，进而求出直线的斜率 .

注2： 向量关系转化结果是商结构 ，如果不解方程，就很难将韦达定理 ， 直接整体代入商结构。

三、引入非对称结构

一个含有若干个变量的多项式中，如果任意交换两个变量的位置，多项式不变，则称这样的多项式是关于这两个变量的对称式，否则称为非对称式 . 如上述问题中的 就是非对称式 .

【非对称结构】 把形如 （或 ）， （或 ）， （或 ） 等结构的式子，（关注微信公众号：Hi数学派）且交换两变量的位置后多项式发生改变，无法应用根与系数的关系直接代入求解的问题称为非对称结构问题.

非对称结构问题，也就是出现了落单的 （或 ），无法应用根与系数的关系直接代入求解的问题（关注微信公众号：Hi数学派）

这里先简单讲述一下上面三种类型非对称结构的处理技巧，之后再结合例题具体操作一下

（1） 形如 （或 ）型结构，多出现在平面向量的转化过程中，可配一个倒数，构造倒数和，化为对称结构，再应用根与系数的关系求解 .

（2） 形如 （或 ）型结构，也多出现在平面向量的转化过程中，可以待定设  ，然后转化为 形式，之后利用 （1） 中构造倒数和，化为对称结构，再应用根与系数的关系求解 .

（3） 形如 （或 ）型结构，它多出现在定值、定点问题中，其背景大多是极点极线问题，处理该类问题的视角多样，比如翻转斜率、和积转化、局部消元等

四、非对称结构 5 种处理技巧

1、补倒数构造对称式

对于商结构 ，通过观察商与和、积的关系，可以发现，在商后再加一个商的倒数即可转化为对称式，即 ，通分后就转化为了两根和与积的形式，即

从而可以将根与系数的关系式整体代入，建立方程，求解相关问题 .

比如，上面的 【引例1】 可进行如下计算

将 ， 代入得

又 知（关注微信公众号：Hi数学派）

所以 ，解得

所以直线 的斜率为 .

【引例2】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 3，已知抛物线 ，经过定点 的直线 交抛物线 于 两点，且 ，求直线 的斜率 .

解析： 设 ， ，直线 的方程为

联立直线与抛物线方程，消去 得

所以 ，

由  得

所以 ，即

设 ，对比系数发现

所以

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

代入根与系数的关系得

化简得 ，解得 或 .

所以直线 的斜率为 -1 或

2、翻转斜率化对称式

运用椭圆上动点与椭圆上关于中心对称的两点的连线的斜率之积为定值这一性质，将条件中不同两点与相交弦两端点的斜率之商转化为同一点与相交弦两端点连线的斜率之积关系，将不对称的结构化为对称结构 . 该方法就是处理非对称结构问题的翻转斜率技巧，操作如下题。

【引例3】 如图 4，已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 是椭圆上的动点，且满足 . 求证：直线 过定点 .

证明： 设 ，，直线 的方程为

联立方程

消去 得

由韦达定理可得（关注微信公众号：Hi数学派）

由 得

如图 5，由椭圆第三定义可知

所以

代入根与系数的关系可得

即 ，解得 （不符合题意，舍去）

所以动直线 过定点

注： 有关圆锥曲线第三定义可以参考小派之前的推文《779期 圆锥曲线系统精讲系列2——有心圆锥第三定义16结论与6应用》

3、和积转化变齐次

分析根与系数的关系中的和、积关系，将其中积的形式向和的形式转化，得到的仍是不对称两根和的形式，然后利用恒成立思想分析，可以找到变化中不变的量，从而解决问题 . 该方法就是处理非对称结构问题的和积转化技巧，对于 【引例3】 操作如下。

证明： 由 得

代入 （）整理后得到

将上式代入 可得（关注微信公众号：Hi数学派）

上式对任意的 恒成立

所以

即

解得

所以动直线 过定点

4、对偶构造

对于 【引例3】 ，由 得

代入 （）得到

整理后得

如图 4，构造对偶条件得

可知 ，即

整理后得（关注微信公众号：Hi数学派）

式 得

由 的任意性知

所以动直线 过定点

5、局部消元

【深圳外国语25届高三第二次调研T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ）过点 ，且离心率为
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 记椭圆 的上下顶点分别为 ，过点 斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，证明：直线 与 的交点 在定直线上，并求出该定直线的方程.

证明： 由题知 ，

设 ， ，过点 的直线方程为

联立方程

消去 得（关注微信公众号：Hi数学派）

由 ，可得

由韦达定理可得

直线 的方程为

直线 的方程为

联立两直线方程得

即两直线的交点在定直线 上.