电子版下载点击【公众号资料下载】
也可以在文末点击阅读原文下载
（建议将微信字体设置到最小后阅读）
（建议关闭深色模式后阅读）
1286期天津导数探究系列5——切比雪夫最佳逼近？
此系列推文可参看如下链接
《天津导数探究系列1——极值点偏移起源》
《天津导数探究系列2——零点差“剪刀”模型》
《天津导数探究系列3——刘维尔定理》
《天津导数探究系列4——比值代换技巧》
该篇探讨一下2016年天津高考文理科导数压轴，可以发现文理科导数基本上是相同的，只不过文科相较于理科做了简化，相当于左平移了一个单位至原点，难度降低了不少。
该篇大部分摘自之前的推文，熟悉的同学可以略过。
一、系列前言 二、16年天津导数能用切比雪夫最佳逼近吗？ 三、切比雪夫最佳逼近背景 四、切比雪夫最佳逼近常用结论 结论1. 结论2. 结论3. 结论4. 五、切比雪夫最佳逼近的简单理解 六、切比雪夫最佳逼近模考题
一、系列前言
不可否认，天津导数一直都是特立独行，极具创意，而且很多考题都是在当年之前不曾出现过的，比如现在同学们已经作烦了的极值点偏移问题都是2010年天津卷第一次命制的，之后此题型经11年辽宁卷、13年湖南卷模仿后，在16年被全国卷I借鉴，自此成为热点题型，风靡各地模考卷（高考历史上含极值点的偏移问题出现过四次，感兴趣的可以看看《极值点偏移系列10讲》）。再比如
2010年：极值点偏移与对称构造 2014年：比值代换技巧 2015年：零点差与切割线放缩 2016年：切比雪夫最佳逼近理论 2017年：刘维尔定理 2018年：函数与反函数 2019年：拉格朗日中值 2020年：函数凹凸性与Hardamard不等式 2022年：柯西不等式 2023年：Stirling（斯特林）公式 2024年：Hölder连续（李普希兹条件） ……
（关注微信公众号：Hi数学派）另外，最近也有传言试卷结构会再次改变，尽管已经辟谣了，但毋庸置疑的是如今新高考非常注重出新，比如新 卷的新定义题，其风格非常类似于北京卷的数列新定义，导致在高考后的众多模考卷新定义压轴都在向北京卷的新定义靠拢与模仿！可是对于作为传统压轴的“钉子户”导数来说，谁也预测不了其会不会也会出新，风格偏向于天津导数！因此研究天津导数风格还是有必要的！小派在之前的推文中也零零散散的讲过几道题，并没有成系统的讲！因此，小派开一个新系列来和同学们一起学习和研究天津卷的导数压轴。
二、16年天津导数能用切比雪夫最佳逼近吗？
该题是 最大值中的最小值问题，即其背景是最佳逼近直线或切比雪夫最佳逼近直线，但是该题并不能利用小派之前总结的有关结论来做，原因之一是该题是证明题而且是大题，并不能在答题卡上用超纲的知识；原因之二是该题限制了 的取值范围，其次题中所给的区间范围并不能保证 恒为凸函数或是凹函数，如图 1。
【2016年天津理科 T20】（关注微信公众号：Hi数学派）设函数 ， ，其中 .
（1） 求 的单调区间；
（2） 若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证：
（3） 设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 .
解析：
（1） 当 时，有 恒成立
所以 的单调递增区间为
当 时，令 ，解得 ，或 .
所以 的单调递减区间为 ， ,单调递增区间为 ，
（2） 因为 存在极值点，所以由 （1） 知 ，且
由题意得 ，即
进而
又
且 ，由题意及 （1） 知，存在唯一实数 满足 ，且
因此 ，所以
（3） 设 在区间 上的最大值为 ， 表示 两数的最大值. 下面分三种情况讨论：
① 当 时，
由 （1） 知 在区间 上单调递减
所以 在区间 上的取值范围为 ，因此
所以
② 当 时，
由 （1）（2） 知
所以 在区间 上的取值范围为 ，
因此
③ 当 时，
由 （1）（2） 知
所以 在区间 上的取值范围为 ，因此
综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 .
【2016年天津文科 T20】（关注微信公众号：Hi数学派）设函数 ， ，其中 .
（1） 求 的单调区间；
（2） 若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证：
（3） 设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 .
解析： 相比于上面的理科，该题相当于左平移了一个单位，做法完全相同
三、切比雪夫最佳逼近背景
【偏差与偏差点】 设 是定义在 上的连续函数，称
为 与 直线的偏差。 若存在 满足 ，则称 为直线 的偏差点。
特别地，若有 ，称 为正偏差点；若有 ，称 为负偏差点。
【最佳逼近直线】 记集合
若存在 使得对任意 ，恒有（关注微信公众号：Hi数学派）
成立，则称 为函数 在切比雪夫意义下的最佳逼近直线。显然上式可改写成等式
四、切比雪夫最佳逼近常用结论
结论1.
若 在 上连续，则 的最佳逼近直线存在且唯一。
结论2.
直线 为连续函数 在 的最佳逼近直线的充要条件为 至少具有三个偏差点，且它们依次轮流为正负偏差点。（关注微信公众号：Hi数学派）
结论3.
若 在区间 上具有二阶导数，且 在区间 上不变号，即非凹即凸 ，则 的最佳逼近直线为
其 ，且满足是方程 .
结论4.
【切比雪夫多项式】 将一系列多项式
称为切比雪夫多项式 .
对首项系数为 的多项式 ， ， 满足如下最佳逼近（关注微信公众号：Hi数学派）
正负偏差点为 ， ，，，，
注： 切比雪夫多项式还满足以下性质
， ，
．这表明 当为 奇（偶）数时是奇（偶）函数．
满足递推公式，
是 次整数系数多项式，且 次项系数为 ．
的系数和为 ．
， ．
， ， ．
函数列 的生成函数为
小注：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．（关注微信公众号：Hi数学派）
五、切比雪夫最佳逼近的简单理解
借助下图 2 来简单理解一下上述概念与结论，
在 上，连结 ，并在 图像上找一点 使得在该点的切线与直线 平行，再找到一条平行线 ，让这条线与原两条线距离相等，则直线 即所求的 的最佳逼近直线，且 的最大值的最小值即切线与直线 纵截距之差的一半（关注微信公众号：Hi数学派）
根据上述理解，借助下面例题再实操一下
六、切比雪夫最佳逼近模考题
【典例】 记 ，若 ，满足：对任意对任意 ，均有（关注微信公众号：Hi数学派）
则称 为函数 在 上 “最接近”直线.
已知函数 ，
（1） 请写出 在 上的最佳逼近直线,并说明理由；
（2） 求函数 在 上的最佳逼近直线.
解析：
（1） 在 上的最佳逼近直线为 .
易知 在 上单调递减，在 上单调递增
且 ，
进而有
由 的图象特点可知，对任意 ，均有（关注微信公众号：Hi数学派）
下面讨论 ， 的大小：
① 若 ， 至少有一个大于等于 ，则
② 若 ， 两个都小于 ，则
所以 ，进而
所以
即
由 ①② 以及 式可知
成立，且当 时等号成立.
所以 在 上的最佳逼近直线为
（2） 易知点 ， 在函数 的图象上
设 ，再令
则
由 （1） 问可知 在 上的最佳逼近直线为
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 在 上的最佳逼近直线为
注1： 该题其实就是切比雪夫最佳逼近，为什么第 （1） 问中可以直接给出最佳逼近直线 ，因为找某曲线在某区间的最佳逼近直线存在着固定的套路步骤：
1） 记 ， ，连接 ，并在 图像上找一点 ， 使得在该点的切线与直线 平行；
2） 再找到一条平行 的直线 ，使得这条线与 1） 中的两条线距离相等，则直线 即为 在 上的 “最接近” 直线。
由上面 1）、2） 两步的分析可以得到如下结论
结论： 若 在区间 上具有二阶导数，且 在区间 上不变号，即非凹即凸 ，则 的最佳逼近直线为（关注微信公众号：Hi数学派）
其中 ， 且满足是方程 .
注2： 这样利用上面的步骤找到第 （2） 问的最佳逼近直线 ，如图 4
【24届宁波一模T8】 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则满足要求的有序数对 有
个
个
个
无数个
如上图，令 ，易得 、，
则直线 ，交 轴于
由 得切点 ，则 ，交 轴于
所以 的最佳逼近直线
又 在 上恒成立，（关注微信公众号：Hi数学派）
即为 最大值的最小值，因此仅有最佳逼近直线 满足条件，即 、
所以满足要求的有序数对 只有 个.
【T8二联19】 记 ，若 ，满足：对任意对任意 ，均有（关注微信公众号：Hi数学派）
则称 为函数 在 上 “最接近”直线.
已知函数 ，
（1） 若 ，证明：对任意 ， ；
（2） 若 ， ，证明： 在 上的 “最接近” 直线为其中 且为二次方程 的根.
解析：
（1） 即证 在 上的 “最接近” 直线为
如图 6，显然 ，则
即当 时，对任意 ，
（2） 时， ，则 在区间 上是凸函数，
可由 结论 得 在 上的 “最接近” 直线为（关注微信公众号：Hi数学派）
其中 满足
即 且为二次方程 的根.
