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1275期T8联考圆锥曲线内接三角形外接圆拓展
该篇是对上篇中留下的内容做更详细的说明，也就是用中点弦点差法证明圆锥曲线内接三角形外接圆心与三边斜率关系。
在昨天的推文《1274期 解析几何“倒影距离”与“倒影椭圆”并不是“新定义”》中，在联想到24届乌鲁木齐二模第19题的“曼哈顿椭圆”，说“倒影椭圆”并不是“新定义”，就是“曼哈顿椭圆”关于 对称图形时，才发现T8联考圆锥曲线其实就是改编自此题！
另外，这三道题都是圆锥曲线内接三角形外接圆圆心坐标与三角形一边斜率的关系！其实该圆心坐标与三角形三边斜率之间有着优美的结论，尤其是在有心圆锥（椭圆、双曲线）中。这一篇就用比较简单的证法以及拓展形式下的齐次化证法。
一、三道圆曲内接三角形外接圆题 二、圆曲内接三角形外接圆心坐标与三边斜率结论 1、椭圆 2、双曲线 3、抛物线
一、三道圆曲内接三角形外接圆题
这三道题最后一问都是一样的，这里不在作答，解析可以参看小派之前的推文《1263期 T8联考圆锥曲线同构与同解方程应用》、《1274期 解析几何“倒影距离”与“倒影椭圆”并不是“新定义”》，其中用同解方程做法应该是步骤比较少，计算量比较小的！
【25届 T8 高三12月联考T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知过 ， 两点的动抛物线的准线始终与圆 相切，该抛物线焦点 的轨迹是某圆锥曲线 的一部分.
（1） 求曲线 的标准方程；
（2） 已知点 ，，过点 的动直线与曲线 交于 两点，设 的外心为 ， 为坐标原点，问：直线 与直线 的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由.
【湖南新高考教学教研联盟 25 届高三预热卷T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知点 ，，定义 的“倒影距离”为 ，我们把到两定点 ， 的 “倒影距离”之和为 的点 的轨迹 叫做“倒影椭圆”.
（1） 求“倒影椭圆” 的方程；
（2） 求“倒影椭圆” 的面积；
（3） 设 为坐标原点，若“倒影椭圆” 的外接椭圆为 ， 为外接椭圆 的下顶点，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点（均异于点 ），且 的外接圆的圆心为 （异于点 ），证明：直线 与 的斜率之积为定值.
【24届乌鲁木齐二模T19】 在平面直角坐标系 中，重新定义两点 ， 之间的“距离”为 ，我们把到两定点 ， 的“距离”之和为常数 的点的轨迹叫“椭圆”．
（1） 求“椭圆”的方程；
（2） 根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由（关注微信公众号：Hi数学派）；
（3） 设 ， 作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 ， 的左顶点为 ，过 作直线交 于 ， 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
二、圆曲内接三角形外接圆心坐标与三边斜率结论
1、椭圆
【结论1】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在椭圆 （ ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，若 三边斜率存在，则
证法1，中点弦点差法： 如图 1，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点
由点差法知
由外接圆垂径定理知
式 可得
整理得
（关注微信公众号：Hi数学派）同理有
式 得
又
所以
（关注微信公众号：Hi数学派）所以
证法2，齐次化拓展形式： 如图 2，设点 ， ， 半径为
设 的外接圆与椭圆 的第四个交点为 ，由四点共圆可知
因此只需证
采用假平移齐次化，拆出来 ， 以便于构造斜率
先对椭圆 方程做代数变形
对圆 的方程做代数变形（关注微信公众号：Hi数学派）
下面需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于 ， 的三次齐次式（注意：交叉相乘，即第一个等式左侧乘以第二个等式右侧，第一个等式右侧乘以第二个等式左侧），得
将上式右侧移项至左侧，再同时除以 ，得到关于 的三次方程
（关注微信公众号：Hi数学派）其中
此方程的三个解便是 ，，
由三次方程的韦达定理
所以
所以
注： 有关不联立齐次化技巧可以参看小派之前的推文《1273期 圆锥曲线不联立系列14——齐次化6点》
2、双曲线
【结论2】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在双曲线 （ ， ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，若 三边斜率存在，则
证法1，中点弦点差法： 如图 3，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点
由点差法知
由外接圆垂径定理知
式 可得
整理得 （关注微信公众号：Hi数学派）
同理有
式 得
又
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
证法2，齐次化拓展形式： 如图 4，设点 ， ， 半径为
设 的外接圆与双曲线 的第四个交点为 ，由四点共圆可知
因此只需证
采用假平移齐次化，拆出来 ， 以便于构造斜率
先对双曲线 方程做代数变形
对圆 的方程做代数变形（关注微信公众号：Hi数学派）
下面需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于 ， 的三次齐次式（注意：交叉相乘，即第一个等式左侧乘以第二个等式右侧，第一个等式右侧乘以第二个等式左侧），得
将上式右侧移项至左侧，再同时除以 ，得到关于 的三次方程
其中
此方程的三个解便是 ，，
由三次方程的韦达定理
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
3、抛物线
【结论3】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在抛物线 上，设 的外接圆的圆心为点 ，则
证明： （感兴趣的同学可以仿照上面的中点弦和点差法，齐次化拓展法尝试一下）
注： 高次韦达定理如下，可以参看小派之前的推文《1251期 这题可用新教材中 1的n次方根、高次韦达定理》
【高次韦达定理】 设一元 次方程
的根为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
