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1281期天津导数探究系列4——比值代换技巧
此系列推文可参看如下链接
《天津导数探究系列1——极值点偏移起源》
《天津导数探究系列2——零点差“剪刀”模型》
《天津导数探究系列3——刘维尔定理》
该篇摘自小派之前的推文，熟悉的同学可以略过！
一、系列前言 二、14年天津卷导数比值代换技巧 三、双参变单参（消元）技巧 1、差值代换法 2、比值代换法 3、差值与比值代换如何选择？ 四、更多差值与比值代换应用 五、差值与比值代换的局限性 1、存在非齐次形式无法消元的局限 2、对非齐次形式进行合理放缩 3、通过等式齐次化非齐次方程 六、两个天生齐次的均值不等式 1、对数均值不等式 2、对数均值不等式链3种形式 3、海伦均值 4、海伦均值与对数均值的大小关系
一、系列前言
不可否认，天津导数一直都是特立独行，极具创意，而且很多考题都是在当年之前不曾出现过的，比如现在同学们已经作烦了的极值点偏移问题都是2010年天津卷第一次命制的，之后此题型经11年辽宁卷、13年湖南卷模仿后，在16年被全国卷I借鉴，自此成为热点题型，风靡各地模考卷（高考历史上含极值点的偏移问题出现过四次，感兴趣的可以看看《极值点偏移系列10讲》）。再比如
2010年：极值点偏移与对称构造 2014年：比值代换技巧 2015年：零点差与切割线放缩 2016年：切比雪夫最佳逼近理论 2017年：刘维尔定理 2018年：函数与反函数 2019年：拉格朗日中值 2020年：函数凹凸性与Hardamard不等式 2022年：柯西不等式 2023年：Stirling（斯特林）公式 2024年：Hölder连续（李普希兹条件） ……
（关注微信公众号：Hi数学派）另外，最近也有传言试卷结构会再次改变，尽管已经辟谣了，但毋庸置疑的是如今新高考非常注重出新，比如新 卷的新定义题，其风格非常类似于北京卷的数列新定义，导致在高考后的众多模考卷新定义压轴都在向北京卷的新定义靠拢与模仿！可是对于作为传统压轴的“钉子户”导数来说，谁也预测不了其会不会也会出新，风格偏向于天津导数！因此研究天津导数风格还是有必要的！小派在之前的推文中也零零散散的讲过几道题，并没有成系统的讲！因此，小派开一个新系列来和同学们一起学习和研究天津卷的导数压轴。
二、14年天津卷导数比值代换技巧
这道题感觉就是在考比值代换技巧，一问一问搭梯子引导你用比值代换！
【2014年天津理科 T20】（关注微信公众号：Hi数学派）设 ， . 已知函数 有两个零点 ，且 . （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 的取值范围；
（2） 证明： 随着 的减小而增大；
（3） 证明： 随着 的减小而增大.
解析：
（1） 即
由题意得直线 与函数 的图象有 个不同的交点
由下图 1 易知
（2） 函数 的零点即直线 与函数 图象的交点的横坐标
如上图 1 ，有
由 在 上单调递增，在 上单调递减
可知当 减小时， 随之减小， 随之增大，则 增大
即 随着 的减小而增大.
（3） 由 得
则
设 ，则
则
得 ，所以（关注微信公众号：Hi数学派）
令 ，
令
则 在 上单调递增，故当 时，有
则 ， 在 上单调递增.
于是 随着 的增大而增大
由 （2） 知 随着 的减小而增大
所以 随着 的减小而增大
三、双参变单参（消元）技巧
比值代换和差值代换一样是双参变单参技巧，说白了就是初中解二元一次方程组就学过的消元思想！
1、差值代换法
【典例1】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 有两个零点 和 ，证明：
（1） .
（2） .
证明：
（1） 由 分别相加、相减得
不妨设 ，则
令 （差值代换），则
即证 ，
即证
即证
令
再令
在 上递增，
即 在 上递增
从而原式得证
（2） 由 得
不妨设 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
令 （差值代换）
则
即证
即证 ，即证
即证
令
再令
在 递减，
， 在 上递减
故原不等式成立
2、比值代换法
【典例2】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 ，设 ，求证：
证明：
令 （比值代换），即证
设 ，
得 在 上单减，有 ，得证.
注1： 上述证法通过代数变形，将所证的双变量 的不等式化为单变量 的函数不等式，从而得证 . 那能否一开始就做代换呢？
令 （比值代换），则 ，将之代入
得（关注微信公众号：Hi数学派）
同样可以代换得到 式
3、差值与比值代换如何选择？
差值代换适合用于函数含有指数 的，比值代换适合用于函数含有对数 的，比如上面的 【典例1】 和 【典例2】 。当函数中既含有指数 又含有对数 的，就很难使用差值代换和比值代换技巧了
其实函数无论含有指数 的还是含有对数 的，差值代换和比值代换都可以使用，只不过需要先利用指对变换将指数 变换成对数 或将对数 变换成指数 ，比如下面对上文中的 【典例1】 使用比值代换
【典例1】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 有两个零点 和 ，证明：
（1） .
（2） .
证明：
（1）
所以
不妨设 ，令 （比值代换），则
代入上式得
得 ，
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
构造函数求导即可证（可参考《897期【导数】直观图解36个放缩不等式》）
（2）
构造函数求导即可证（可参考《897期【导数】直观图解36个放缩不等式》）
四、更多差值与比值代换应用
【典例3】（2010天津T21）（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数
（3） 如果 且 ，证明:
证明： 可设
取自然对数得
令 （比值代换），则
代入上式得
得 ，
所以 （关注微信公众号：Hi数学派）
构造函数求导即可证（可参考《897期【导数】直观图解36个放缩不等式》）
【典例4】 已知函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， 求证：
证明：
不妨设 ，令 （比值代换），则
代入上式得
得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
构造函数求导即可证（可参考《897期【导数】直观图解36个放缩不等式》）
【典例5】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 ，若两相异正实数 ， 满足 ，求证： .
证明：
，则
不妨设 ，令 （比值代换），则
代入上式得
得 ，
所以 （关注微信公众号：Hi数学派）
构造函数求导即可证（可参考《897期【导数】直观图解36个放缩不等式》）
【典例6】 已知 ，且 . 求证：（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） ；
（3）
证明： 令 （比值代换），则
（2）
即证
构造函数求导即可证
（3）
即证
构造函数求导即可证
【典例7】 已知函数 ，若 是 的两个零点，证明：
证明：
令 （比值代换），则
则
得
因为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
构造函数求导即可证
五、差值与比值代换的局限性
到这里，相信同学们已经领略到双参变单参、差值比值代换的威力了。用差值比值代换解极值点偏移问题方便、快捷，简单得很！只需通过一个代换就可“双元”化“单元”，变为单变量的函数不等式，求导便可证。
既然差值与比值代换这么好用，那是不是只需比值代换，就可偏移无忧？就可以解决所有的双变量问题了？
1、存在非齐次形式无法消元的局限
这里必须指出差值比值代换存在其局限性，对一些双变量（极值点偏移）问题并不能解决，这类问题主要表现为在差值或比值代换后，无法用单一的新元（）表示出原来的双元（），本质是关于原来双元（）的方程非齐次！（关注微信公众号：Hi数学派）
【典例8】（2016新课标1卷 T21）（关注微信公众号：Hi数学派）已函数 有两个零点（2） 设 是 的两个零点，证明： .
分析：
所以
不妨设 ，令 （比值代换），则
代入上式……并不能用 表示出 ，比值代换尝试失败！
那如何应对这种情况呢？这里给出两种应对这种非齐次方程进行比值代换的补救措施——
正常使用比值代换，对非齐次部分进行合理放缩； 通过题设中的等式或由题设推出的等式，对非齐次方程进行齐次化
当然，这两种补救措施并不能解决所有无法使用差值比值代换的双变量问题，比如 【典例8】（2016新课标1卷 T21） 比值代换后真的很难将 用 表示出来！
2、对非齐次形式进行合理放缩
一些双变量问题，尽管关于原来双元（）的方程是非齐次的，但在比值代换后可以将非齐次部分放缩掉，比如
【典例9】（24届江淮十校高三第一次联考T22） 已知函数 ，
（1） 讨论 的单调性；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 设函数 ， ，当 时，证明：
解析： （1） 略
（2）
要证明
只需证
只需证
只需证
即
只需证（关注微信公众号：Hi数学派）
令
则只需证
由于 ，所以
故只需证 时，
令 ，则只需证
所以 在 时单调递增，故 故原式得证.
注： 上述解法利用的是比值代换，但此题是非齐次形式的，需要通过放缩来消掉非齐次部分。
3、通过等式齐次化非齐次方程
【典例10】（福建24 届高三名校联盟 T19） 已知函数
（1） 当 时，求 的极值；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若存在实数 ，满足 ，求 的取值范围.
解析：
（1） 只有极小值 ，没有极大值（详解略）
（2） 令 ， ，所以
当 时，则
另外
所以
所以题设等价于：存在实数 ，满足
当 时， 单调递增，不存在 ，故
由 得
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
用等式 将非齐次方程 齐次化得
令 代入上式得
即 使得 ，也即 使得
令
令 ，
易知 单调递减，则
故 单调递减， ，即
故 在 单调递减，
所以 ，
故
所以
所以 单调递增，故其取值范围是
注： 该题看似是含参单变量问题，但其实是双变量问题，其比值代换法中的齐次化非齐次方程的技巧值得同学们学习借鉴.另外，有关洛必达可以参考小派之前的推文《1140期 导数洛必达技巧》
六、两个天生齐次的均值不等式
1、对数均值不等式
【对数均值】 两个正数 和 的对数平均定义为（关注微信公众号：Hi数学派）
【对数均值不等式】 即为对数平均与算术平均、几何平均的大小关系
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
证明：，
证法一，对称化构造
设 ，则
，
构造函数 ，则
由 ，得
且 在 上单增，在 上单减， 为 的极大值点.
对数平均不等式即 ，等价于
注： 接下来就是证明两个常规的极值点偏移问题了！ 一般步骤的可以参考《极值点偏移起源与对称构造》，《极值点偏移对称构造函数如何选？》
证法二，设主元
不妨设 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
记 ，
则
得 在 上单减，有 ，左侧得证.
同理可证.
注： 设主元法，即是将双元（参）中的一元看成自变量，即主元，另一元看成是常数；然后根据两元的大小关系确定主元的取值范围，再然后将不等式化为关于主元的函数，求导证明即可。有关导数主元法技巧可以参考小派之前的推文《886期【导数】主元法》，《542期【导数】主元法是什么？》
3、证法三，比值代换
令 ，则
构造函数求导即可证（可参考《897期【导数】直观图解36个放缩不等式》）
4、证法四，几何面积法
如下图 2，过 上一点 作切线
由曲边梯形面积大于直角梯形面积，可得
即（关注微信公众号：Hi数学派）
如上图 3，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得
即
5、证法五，柯西不等式的积分形式
不妨设 ，则由
得（关注微信公众号：Hi数学派）
化简得
由
得
化简得
注1： 超纲的证法，同学们有兴趣可以看一下
2、对数均值不等式链3种形式
【形式1】
【形式2】
【形式3】
3、海伦均值
【海伦均值不等式】 对于正数 ，定义如下均值（关注微信公众号：Hi数学派）
并称 为海伦均值 .
4、海伦均值与对数均值的大小关系
海伦均值与对数均值的大小关系
证明： 当 时， ，上式取等号，显然成立
当 时，由对称性，不妨设
若 ， ，上式变为 ，由对数均值不等式可知依然成立。
若 ，
令
由于 ，所以 、 都大于0，
则（关注微信公众号：Hi数学派）
记 ，
则 的正负号与 相同 .
可以看出 ，又 ，由端点效应可知，当 ， 恒大于零时， . 下面就先分析 取何值时， 恒大于零 .
记
因为 ，所以 ，则 的符号与 相同，则 恒大于零，等价于 恒大于零 .
可以看成关于 的二次函数，其中 ，对称轴为
其判别式为
因此 恒大于零等价于
或（关注微信公众号：Hi数学派）
第一个解得 ，第二个无解。
因此当 时， 恒大于零，即 恒大于零，所以 在 单调递增，所以 ，所以
具体图像可以参见下面动图 4，
图 4
另外，由于 是关于 的二次函数，且开口向上，因此 不可能恒小于零，所以不存在 恒小于零，即 在 不恒单调递减，
因此 当 时， 和 的大小关系不确定，与 的取值有关，即与 的取值有关，如图 4 所示，当 时， 的图像如下， 和 的大小关系与 的取值有关。
