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也可以点击文末原文链接下载 （建议将微信字体设置到最小后阅读） （建议关闭深色模式后阅读） 圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式（修改补充）
该篇是对圆锥曲线不联立系列第2篇做了修改补充，修改了一些题目来源出自知乎大佬择梦舟，并对柯西不等式在其他方面的应用做了补充，熟悉的同学略过。另外，不联立系列推文可以参看链接
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
该篇素材选自人教A版新教材必修第二册第六章习题第16题（，如下图）。该题其实就是利用向量证明柯西不等式，这一篇借此题详细讲一下柯西不等式，包括求多元函数最值、在圆锥曲线中的应用、以及在新定义压轴中的应用。
一、新教材上的柯西不等式 二、再详细介绍一下柯西不等式 三、柯西不等式在圆锥曲线距离问题中的应用 1、点到直线的距离 2、圆上一点到直线距离的最值 3、椭圆上一点到直线的距离的最值 4、双曲线上一点到直线的距离的最值
四、柯西不等式在圆锥曲线切线问题中的应用 1、圆的切线 2、椭圆的切线 3、双曲线的切线
五、柯西不等式在圆锥曲线面积问题中的应用 六、拓展：拉格朗日面积模型 七、补充：柯西不等式求多元函数最值应用 八、补充：以柯西不等式命制的“新定义”压轴
一、新教材上的柯西不等式
柯西不等式出现在人教A版新教材必修第二册第六章习题第16题（，如下图）
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人教版新教材必修第二册第六章习题第16题P37 【人教版新教材必修第二册第六章习题第16题P37】 用向量方法证明：对于任意的 ，，， ,恒有不等式
证明： 参考下文 维柯西不等式的证明
二、再详细介绍一下柯西不等式
记两个 维的向量 ， ，则满足如下不等式
写成坐标形式（关注微信公众号：Hi数学派）
为了看清楚，不妨展开一下
为便于记忆：平方和的积 积的和的平方。
以下给出几个简单地证明
法一： (配方法)
左式减右式等于
以上恒等式也就是 拉格朗日(Lagrange)恒等式.
故左式减右式不小于 ，等号成立当且仅当 ，这包括了 的情况， 而在这种情况以外，设某个 ，并设 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
法二： (判别式法)
若 ，原命题显然成立，且等号成立. 在这种情况以外，定义辅助函数
该函数为二次函数，首项系数严格为正，且 恒成立，从而判别式（关注微信公众号：Hi数学派）
这就是原命题 . 若等号成立，则判别式为 ， 有一个重根 ，它满足
法三： (归一化)
若 ， ，原命题显然成立，且等号成立. 若 不全为 ，且 不全为 ，则令
则原命题的式子化为（关注微信公众号：Hi数学派）
容易证明这是成立的，因为
等号成立当且仅当 ， 此时存在 使得
注： 在以下讨论柯西不等式求最值的应用中常用到二维形式，即
三、柯西不等式在圆锥曲线距离问题中的应用
二次曲线方程与柯西不等式的二次形式很像，比如标准椭圆、圆（平移到原点）方程都形如
而且，距离都是平方和的形式，如同 式左边的形式，如果左边的另一个括号配上常数，右边的括号会是 的形式，如同一个直线方程。下面我们从四个方面给出更加详尽的说明。
1、点到直线的距离
点 ，直线
点到直线的所有连线中，垂线段最短；线段长为点到直线的距离。
设 在直线 上，则
因为
则由柯西不等式（关注微信公众号：Hi数学派）
因为 在 上，所以 ，综合上式
所以
可以上式和点到直线的距离公式一样
2、圆上一点到直线距离的最值
直线 ，圆 ，记其圆心为
设 为 上一点，
对圆上的点 用柯西不等式
由此可以解出（关注微信公众号：Hi数学派）
即
3、椭圆上一点到直线的距离的最值
椭圆 ，直线 ，
设 为 上一点，
对椭圆上的点 用柯西不等式
即可求得（关注微信公众号：Hi数学派）
再结合 即可求出范围。
实际上这可以理解成圆到直线距离的推广情况，仿射变换可说明圆和椭圆的一种联系。
4、双曲线上一点到直线的距离的最值
双曲线 ，直线 ，
设 为 上一点，
相比前几者，双曲线比较特殊，因为其标准方程是差的形式，需要对其进行移项
并令
然后对双曲线上的点 用柯西不等式（关注微信公众号：Hi数学派）
这样，最左边等号与最右边等号的 可以消掉，即 ，将 换为 即可求出
再结合 即可求出范围。
四、柯西不等式在圆锥曲线切线问题中的应用
常有一些类似线性规划的题，但是要写具体过程未免显得有些奇怪，这时利用柯西不等式求切线即为严谨的方法。
这类题经常形如（关注微信公众号：Hi数学派）
已知 ，求 ，， 等的最值。
上述待求都有明显的几何意义，这里着重讨论 的几何意义。
令 ，即 ，改变 即为上下平移此直线，直至与曲线相切可取得最值。若联立考察判别式则会略显复杂，这里看柯西不等式的做法。
1、圆的切线
圆 ，求 的最值。
直接使用柯西不等式
则
2、椭圆的切线
椭圆 ，求 的最值。
直接使用柯西不等式
则（关注微信公众号：Hi数学派）
3、双曲线的切线
双曲线 ，求 的最值。
相比前几者，双曲线比较特殊，因为其标准方程是差的形式，需要对其进行移项
并令
然后再使用柯西不等式
这样，最左边等号与最右边等号的 可以消掉，即 ，将 换为 即可求出
注： 可以发现，解决切线问题的方法是距离问题的一部分，即距离问题中距离也可以看作原直线平移成为切线需要平移的距离。
五、柯西不等式在圆锥曲线面积问题中的应用
【三角形面积公式（向量形式）】 在直角坐标平面内，（ 为坐标原点）为不共线三点，向量 ，向量 ，则 的面积为 （关注微信公众号：Hi数学派）
证明：
注： 更多面积公式可以参考小派之前的推文《985期 九省联考之后的面积问题 • 常用面积公式10条》
【典例1】（知乎择梦舟供题）已知椭圆 的离心率为 ，且点 为椭圆 上一点。
（1） 求椭圆 的标准方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值，并证明此时的直线 与 的斜率之积为定值。
解析：
（1） 椭圆 的标准方程
（2） 柯西不等式法：
设 ，
当且仅当 且 时等号成立
故
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
此时
注： 这个方法显然只适合三角形顶点在原点上，在接下来例题中进一步完善
【典例2】（知乎择梦舟供题）设 是椭圆 的左焦点，直线 与 轴交于点 ，线段 为椭圆的长轴，已知 ，且
（1） 求椭圆 的标准方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若过点 的直线与椭圆相交于不同的两点 求 面积的最大值.
解析：
（1） 椭圆 的标准方程
（2） 由题意得，，设 ，
三点共线
，即
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 时等号成立
故 面积的最大值为 .
【典例3】（知乎择梦舟供题）已知椭圆 的离心率为 ，的左顶点为 ，上顶点为 ， 分别为椭圆椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 的周长为
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 设 是椭圆 上两个不同的点，，直线 与 轴、 轴轴分别交于 两点，且 ， ，求 的取值范围。
解析：
（1） 椭圆 的标准方程为 ；
（2） 由 （1） 得，又，，所以
所以可设直线 的方程为
由已知得，，
设 ，
由 ，得
所以 （关注微信公众号：Hi数学派）
因为 在椭圆 上，故代入椭圆方程得
同理由 得
故 可视作 的两根
由韦达定理得
因为 在直线 上，且 在椭圆 上，故利用柯西不等式得
当且仅当 重合时，等号成立，与题意不符，
故 且
注： 柯西不等式有时也与临界条件相关，相当于联立后的二次方程判别式，普通的韦达定理硬算方便
六、拓展：拉格朗日面积模型
【拉格朗日面积模型】 已知点 为坐标原点，点 ， 是椭圆 上非顶点的两点，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证明：（下面只证明充分性，必要性同学们可以尝试一下）
设 ，
因为点 ， 在椭圆上
两式相乘得
又因为（关注微信公众号：Hi数学派）
于是联立以上两式根据拉格朗日恒等式可得
最后根据三角形面积公式（向量形式）可得
注： 更多有关拉格朗日恒等式在圆锥面积问题中的应用，可以参考小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》。
七、补充：柯西不等式求多元函数最值应用
【典例1】 在等差数列 { 中，若 ，则数列 { 的前 项和 的最大值是
分析： 由 ，
故 2 ，则
【典例2】 非负实数 满足 ，则 （） 的最大值为
分析：
即
【典例3】 已知 ，则 的最小值
分析：
所以
等号在 处取得，即 时取得 .
【典例4】 已知 且 ，求 的最大值为
分析： 把 变形为
由柯西不等式
即
【典例5】 已知且求 ，且 ，求 的最小值。
分析： 由柯西不等式可知
因此
故知最小值为 ， 此时 ，又因为 ，则 ，满足
【典例6】 已知 ，求 的最大值
分析： 由柯西不等式可知，
因此，
【典例7】 已知 ，求证：
分析： 因为
化简得
又因为等式取等时 ，此时 无解，故等式不成立，
可得
【典例8】 函数 的最大值是
分析： 根据柯西不等式, 知
【典例9】 实数 满足 ，则 的最大值是
分析： 由柯西不等式得
故 ， ， 的最大值是
【典例10】 已知实数 满足 ，则 的最小值
分析： 因为实数 满足 ，由柯西不等式可得
即 ，求得 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值是
【典例11】 函数 的最大值为 ，此时
分析： 由柯西不等式
，
当且仅当 时，取等号，即
【典例12】 若 ， 且 ，用柯西不等式求 的最大值
分析： 由柯西不等式可得
，，
的最大值为 .
【典例13】 (2019 全国卷 Ⅲ) 设 ，且
（1） 求 的最小值；
（2） 若 成立，证明： 或
分析：
（1） ，且
由柯西不等式可得
可得 ，
即有 的最小值为
（2） 证明：由 x+y+z=1 , 柯西不等式可得
可得
即有 的最小值为
由题意可得 ， 解得 或
【典例14】 已知 ，，求
分析： 由柯西不等式得
于是
【典例15】 已知 ，， ，求证：
分析： 根据柯西不等式，有
代入，得
说明 式恰好取等，即有
解得
于是便有
【典例16】 已知 ，
（1） 求 的最大值
（2） 求 的最大值
分析：
（1） 直接利用柯西不等式，有：
于是
（2） 根据柯西不等式，有
于是
八、补充：以柯西不等式命制的“新定义”压轴
【辽宁24年高二下7月期末T19】（关注微信公众号：Hi数学派）柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的 “流数” 问题时得到的，其形式为： ，等号成立条件为 或 ，，，，，， 至少有一方全为 . 柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题。
已知数列 满足 ， .
（1） 证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2） 证明：
解析：
（1）
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
又 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列
（2） 要证
只需证
左右同时乘 ，即证
，由柯西不等式得
令 ，所以
，得到（关注微信公众号：Hi数学派）
故原命题只需证
即证
构造函数 ，则
当 时，， 单调递增
当 时，， 单调递减
则 ，即
用 替换 可得 ，即
令 ，则
不等式两边分别求前 项和，即得（关注微信公众号：Hi数学派）
得证
【重庆万州二中24年高二下3月质检T19】（关注微信公众号：Hi数学派）柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的 “流数” 问题时得到的，其形式为： ，等号成立条件为 或 ，，，，，， 至少有一方全为 . 柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的.
已知数列 满足 ， .
（1） 证明：数列 为等差数列；
（2） 证明： ；
（3） 证明：
解析：
（1）
所以
又 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列
（2）
构造函数 ，则
当 时，， 单调递增
当 时，， 单调递减
则 ，即
用 替换 可得 ，仅当 时取等号
令 得 ，即
所以 （关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 要证
只需证
左右同时乘 ，即证
，由柯西不等式得
令 ，所以
，得到（关注微信公众号：Hi数学派）
故原命题只需证
即证
构造函数 ，则
当 时，， 单调递增
当 时，， 单调递减
则 ，即
用 替换 可得 ，即
令 ，则
不等式两边分别求前 项和，即得
得证
圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式（修改补充）
该篇是对圆锥曲线不联立系列第2篇做了修改补充，修改了一些题目来源出自知乎大佬择梦舟，并对柯西不等式在其他方面的应用做了补充，熟悉的同学略过。另外，不联立系列推文可以参看链接
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
该篇素材选自人教A版新教材必修第二册第六章习题第16题（，如下图）。该题其实就是利用向量证明柯西不等式，这一篇借此题详细讲一下柯西不等式，包括求多元函数最值、在圆锥曲线中的应用、以及在新定义压轴中的应用。
一、新教材上的柯西不等式 二、再详细介绍一下柯西不等式 三、柯西不等式在圆锥曲线距离问题中的应用 1、点到直线的距离 2、圆上一点到直线距离的最值 3、椭圆上一点到直线的距离的最值 4、双曲线上一点到直线的距离的最值 四、柯西不等式在圆锥曲线切线问题中的应用 1、圆的切线 2、椭圆的切线 3、双曲线的切线 五、柯西不等式在圆锥曲线面积问题中的应用 六、拓展：拉格朗日面积模型 七、补充：柯西不等式求多元函数最值应用 八、补充：以柯西不等式命制的“新定义”压轴
一、新教材上的柯西不等式
柯西不等式出现在人教A版新教材必修第二册第六章习题第16题（，如下图）
【人教版新教材必修第二册第六章习题第16题P37】 用向量方法证明：对于任意的 ，，， ,恒有不等式
证明： 参考下文 维柯西不等式的证明
二、再详细介绍一下柯西不等式
记两个 维的向量 ， ，则满足如下不等式
写成坐标形式（关注微信公众号：Hi数学派）
为了看清楚，不妨展开一下
为便于记忆：平方和的积 积的和的平方。
以下给出几个简单地证明
法一： (配方法)
左式减右式等于
以上恒等式也就是 拉格朗日(Lagrange)恒等式.
故左式减右式不小于 ，等号成立当且仅当 ，这包括了 的情况， 而在这种情况以外，设某个 ，并设 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
法二： (判别式法)
若 ，原命题显然成立，且等号成立. 在这种情况以外，定义辅助函数
该函数为二次函数，首项系数严格为正，且 恒成立，从而判别式（关注微信公众号：Hi数学派）
这就是原命题 . 若等号成立，则判别式为 ， 有一个重根 ，它满足
法三： (归一化)
若 ， ，原命题显然成立，且等号成立. 若 不全为 ，且 不全为 ，则令
则原命题的式子化为（关注微信公众号：Hi数学派）
容易证明这是成立的，因为
等号成立当且仅当 ， 此时存在 使得
注： 在以下讨论柯西不等式求最值的应用中常用到二维形式，即
三、柯西不等式在圆锥曲线距离问题中的应用
二次曲线方程与柯西不等式的二次形式很像，比如标准椭圆、圆（平移到原点）方程都形如
而且，距离都是平方和的形式，如同 式左边的形式，如果左边的另一个括号配上常数，右边的括号会是 的形式，如同一个直线方程。下面我们从四个方面给出更加详尽的说明。
1、点到直线的距离
点 ，直线
点到直线的所有连线中，垂线段最短；线段长为点到直线的距离。
设 在直线 上，则
因为
则由柯西不等式（关注微信公众号：Hi数学派）
因为 在 上，所以 ，综合上式
所以
可以上式和点到直线的距离公式一样
2、圆上一点到直线距离的最值
直线 ，圆 ，记其圆心为
设 为 上一点，
对圆上的点 用柯西不等式
由此可以解出（关注微信公众号：Hi数学派）
即
3、椭圆上一点到直线的距离的最值
椭圆 ，直线 ，
设 为 上一点，
对椭圆上的点 用柯西不等式
即可求得（关注微信公众号：Hi数学派）
再结合 即可求出范围。
实际上这可以理解成圆到直线距离的推广情况，仿射变换可说明圆和椭圆的一种联系。
4、双曲线上一点到直线的距离的最值
双曲线 ，直线 ，
设 为 上一点，
相比前几者，双曲线比较特殊，因为其标准方程是差的形式，需要对其进行移项
并令
然后对双曲线上的点 用柯西不等式（关注微信公众号：Hi数学派）
这样，最左边等号与最右边等号的 可以消掉，即 ，将 换为 即可求出
再结合 即可求出范围。
四、柯西不等式在圆锥曲线切线问题中的应用
常有一些类似线性规划的题，但是要写具体过程未免显得有些奇怪，这时利用柯西不等式求切线即为严谨的方法。
这类题经常形如（关注微信公众号：Hi数学派）
已知 ，求 ，， 等的最值。
上述待求都有明显的几何意义，这里着重讨论 的几何意义。
令 ，即 ，改变 即为上下平移此直线，直至与曲线相切可取得最值。若联立考察判别式则会略显复杂，这里看柯西不等式的做法。
1、圆的切线
圆 ，求 的最值。
直接使用柯西不等式
则
2、椭圆的切线
椭圆 ，求 的最值。
直接使用柯西不等式
则（关注微信公众号：Hi数学派）
3、双曲线的切线
双曲线 ，求 的最值。
相比前几者，双曲线比较特殊，因为其标准方程是差的形式，需要对其进行移项
并令
然后再使用柯西不等式
这样，最左边等号与最右边等号的 可以消掉，即 ，将 换为 即可求出
注： 可以发现，解决切线问题的方法是距离问题的一部分，即距离问题中距离也可以看作原直线平移成为切线需要平移的距离。
五、柯西不等式在圆锥曲线面积问题中的应用
【三角形面积公式（向量形式）】 在直角坐标平面内，（ 为坐标原点）为不共线三点，向量 ，向量 ，则 的面积为 （关注微信公众号：Hi数学派）
证明：
注： 更多面积公式可以参考小派之前的推文《985期 九省联考之后的面积问题 • 常用面积公式10条》
【典例1】（知乎择梦舟供题）已知椭圆 的离心率为 ，且点 为椭圆 上一点。
（1） 求椭圆 的标准方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值，并证明此时的直线 与 的斜率之积为定值。
解析：
（1） 椭圆 的标准方程
（2） 柯西不等式法：
设 ，
当且仅当 且 时等号成立
故
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
此时
注： 这个方法显然只适合三角形顶点在原点上，在接下来例题中进一步完善
【典例2】（知乎择梦舟供题）设 是椭圆 的左焦点，直线 与 轴交于点 ，线段 为椭圆的长轴，已知 ，且
（1） 求椭圆 的标准方程；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若过点 的直线与椭圆相交于不同的两点 求 面积的最大值.
解析：
（1） 椭圆 的标准方程
（2） 由题意得，，设 ，
三点共线
，即
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
当且仅当 时等号成立
故 面积的最大值为 .
【典例3】（知乎择梦舟供题）已知椭圆 的离心率为 ，的左顶点为 ，上顶点为 ， 分别为椭圆椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 的周长为
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 设 是椭圆 上两个不同的点，，直线 与 轴、 轴轴分别交于 两点，且 ， ，求 的取值范围。
解析：
（1） 椭圆 的标准方程为 ；
（2） 由 （1） 得，又，，所以
所以可设直线 的方程为
由已知得，，
设 ，
由 ，得
所以 （关注微信公众号：Hi数学派）
因为 在椭圆 上，故代入椭圆方程得
同理由 得
故 可视作 的两根
由韦达定理得
因为 在直线 上，且 在椭圆 上，故利用柯西不等式得
当且仅当 重合时，等号成立，与题意不符，
故 且
注： 柯西不等式有时也与临界条件相关，相当于联立后的二次方程判别式，普通的韦达定理硬算方便
六、拓展：拉格朗日面积模型
【拉格朗日面积模型】 已知点 为坐标原点，点 ， 是椭圆 上非顶点的两点，则（关注微信公众号：Hi数学派）
证明：（下面只证明充分性，必要性同学们可以尝试一下）
设 ，
因为点 ， 在椭圆上
两式相乘得
又因为（关注微信公众号：Hi数学派）
于是联立以上两式根据拉格朗日恒等式可得
最后根据三角形面积公式（向量形式）可得
注： 更多有关拉格朗日恒等式在圆锥面积问题中的应用，可以参考小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》。
七、补充：柯西不等式求多元函数最值应用
【典例1】 在等差数列 { 中，若 ，则数列 { 的前 项和 的最大值是
分析： 由 ，
故 2 ，则
【典例2】 非负实数 满足 ，则 （） 的最大值为
分析：
即
【典例3】 已知 ，则 的最小值
分析：
所以
等号在 处取得，即 时取得 .
【典例4】 已知 且 ，求 的最大值为
分析： 把 变形为
由柯西不等式
即
【典例5】 已知且求 ，且 ，求 的最小值。
分析： 由柯西不等式可知
因此
故知最小值为 ， 此时 ，又因为 ，则 ，满足
【典例6】 已知 ，求 的最大值
分析： 由柯西不等式可知，
因此，
【典例7】 已知 ，求证：
分析： 因为
化简得
又因为等式取等时 ，此时 无解，故等式不成立，
可得
【典例8】 函数 的最大值是
分析： 根据柯西不等式, 知
【典例9】 实数 满足 ，则 的最大值是
分析： 由柯西不等式得
故 ， ， 的最大值是
【典例10】 已知实数 满足 ，则 的最小值
分析： 因为实数 满足 ，由柯西不等式可得
即 ，求得 ，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值是
【典例11】 函数 的最大值为 ，此时
分析： 由柯西不等式
，
当且仅当 时，取等号，即
【典例12】 若 ， 且 ，用柯西不等式求 的最大值
分析： 由柯西不等式可得
，，
的最大值为 .
【典例13】 (2019 全国卷 Ⅲ) 设 ，且
（1） 求 的最小值；
（2） 若 成立，证明： 或
分析：
（1） ，且
由柯西不等式可得
可得 ，
即有 的最小值为
（2） 证明：由 x+y+z=1 , 柯西不等式可得
可得
即有 的最小值为
由题意可得 ， 解得 或
【典例14】 已知 ，，求
分析： 由柯西不等式得
于是
【典例15】 已知 ，， ，求证：
分析： 根据柯西不等式，有
代入，得
说明 式恰好取等，即有
解得
于是便有
【典例16】 已知 ，
（1） 求 的最大值
（2） 求 的最大值
分析：
（1） 直接利用柯西不等式，有：
于是
（2） 根据柯西不等式，有
于是
八、补充：以柯西不等式命制的“新定义”压轴
【辽宁24年高二下7月期末T19】（关注微信公众号：Hi数学派）柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的 “流数” 问题时得到的，其形式为： ，等号成立条件为 或 ，，，，，， 至少有一方全为 . 柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题。
已知数列 满足 ， .（1） 证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2） 证明：
解析：
（1）
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
又 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列
（2） 要证
只需证
左右同时乘 ，即证
，由柯西不等式得
令 ，所以
，得到（关注微信公众号：Hi数学派）
故原命题只需证
即证
构造函数 ，则
当 时，， 单调递增
当 时，， 单调递减
则 ，即
用 替换 可得 ，即
令 ，则
不等式两边分别求前 项和，即得（关注微信公众号：Hi数学派）
得证
【重庆万州二中24年高二下3月质检T19】（关注微信公众号：Hi数学派）柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的 “流数” 问题时得到的，其形式为： ，等号成立条件为 或 ，，，，，， 至少有一方全为 . 柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的.
已知数列 满足 ， .（1） 证明：数列 为等差数列；
（2） 证明： ；
（3） 证明：
解析：
（1）
所以
又 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列
（2）
构造函数 ，则
当 时，， 单调递增
当 时，， 单调递减
则 ，即
用 替换 可得 ，仅当 时取等号
令 得 ，即
所以 （关注微信公众号：Hi数学派）
（3） 要证
只需证
左右同时乘 ，即证
，由柯西不等式得
令 ，所以
，得到（关注微信公众号：Hi数学派）
故原命题只需证
即证
构造函数 ，则
当 时，， 单调递增
当 时，， 单调递减
则 ，即
用 替换 可得 ，即
令 ，则
不等式两边分别求前 项和，即得
得证
