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1280期用复数方程表示椭圆，见过吗？
该篇素材选自云师大附中2025届高考适应性月考卷（七）第17题。该题并不难，只是涉及一个有趣的知识点，用复数表示椭圆方程，也就是复数方程的几何意义。关于这点，同学们可能只知道如何用复数方程表示圆和直线，椭圆等二次曲线的复数方程可能很少见。这也并不奇怪，因为课上很少有老师会拓展这个知识点，最多会讲一下用复数方程表示圆和直线。这一篇就借此题给同学们拓展一下，把思维打开。
一、这道椭圆的复数方程题 二、复数的几何意义 三、复数方程的几何意义 1、两点间距离的复数表示 2、直线的复数方程 3、圆的复数方程 4、椭圆的复数方程 5、双曲线的复数方程 6、抛物线的复数方程 四、了解复数方程几何意义有什么用？
一、这道椭圆的复数方程题
【云师大附中25届高考适应性月考卷（七）T17】 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，复数 在复平面内对应的点为 .
（1） 求点 的轨迹方程；
（2） 记点 的轨迹为曲线 ，点 为曲线 上任意一点. 设直线 与曲线 交于 两点，直线 ， 的斜率分别为 ，，求 的取值范围.
解析：
（1） 设 ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2） 由第三定义可知
当且仅当 时等号成立
所以 的取值范围是 .
二、复数的几何意义
有关复数的几何意义，这里就用人教 版新教材里的内容代替吧，其中给出了复数的两种几何意义，节选自人教 版新教材必修第二册第70页
三、复数方程的几何意义
在上一节中，可以看到复数 和复平面上的点 一一对应，这也就是说一个复数就包含了平面上一点的二维坐标信息。
平面内的曲线可以用二维坐标方程 表示，而曲线是由无数个点组成的，这就可以按上面的对应关系，将点转化成复数表示，这一系列复数也会满足一个方程关系，不过该方程的变量是个复数
下面是从已知曲线的二维坐标方程推出其在复平面上的复数方程，而做复数题时往往是已知复数方程，考察同学们是否知道该复数方程在大家熟知的平面直角坐标系中代表什么，即复数方程的几何意义。
1、两点间距离的复数表示
在平面直角坐标系中的两点 ，，则其距离为
这正是复数 的模
因此，在复平面上的两点 ， 的距离可以用其对应的复数 和 表示，即
注： 下面不在区分复平面和平面直角坐标系，前者是复数中的概念，后者是解析几何中的概念。
2、直线的复数方程
已知在平面直角坐标系中的直线方程为
其复数方程如何表示出来？下面提供两种思路
思路1： 设直线上的点 对应的复数 ，其共轭复数为 ，则
代入方程 可得
即
思路2： 这个思路是找到关于直线对称的两点 ，则直线为线段 的中垂线。因为 是直线的一般式，这种思路下写出解析式比较麻烦，这里仅大致写一下，再举一个例子
设点 ， 关于直线对称
则直线为线段 的中垂线，因此直线上的点 到点 的距离相等
设直线上的点 对应的复数 ，则直线复数方程为
其中 ， 分别对应点
【举例】 直线 的复数方程如何表示？
易知点 和点 关于直线对称，则该直线的复数方程为
3、圆的复数方程
已知在平面直角坐标系中的圆的方程为
也就是到点 为定值 的曲线。
设圆上的点 对应的复数 ，则圆复数方程为
圆的复数方程也是同学们最熟悉的，见到上式的复数方程，同学们看一眼就能脱口而出“它的几何意义是到定点 半径为 圆”。
4、椭圆的复数方程
已知在平面直角坐标系中的椭圆方程为
其复数方程如何表示出来？
思路1： （用椭圆的第一定义）
设椭圆上的点 对应的复数
假设椭圆的焦点在 轴上，且 ，，则
则由两点间距离的复数表示可知椭圆的复数方程为
思路2： 设椭圆上的点 对应的复数 ，其共轭复数为 ，则
然后代入椭圆方程 即可得椭圆的复数方程为
思路3： 对上式 两边开方可得
此式左边即是复数 的模值，因此上式等价于
设椭圆上的点 对应的复数 ，其共轭复数为
设 ，代入 展开对比系数得
解得
则椭圆的复数方程为
即
即
注： 思路3 中，椭圆并不区分焦点在 轴还是在 轴，即 下面就是 ， 下面就是 ，例如椭圆 ，代入上式时 ，
5、双曲线的复数方程
已知在平面直角坐标系中的双曲线方程为
其复数方程如何表示出来？
思路1： （用双曲线的第一定义）
设双曲线上的点 对应的复数
假设双曲线的焦点在 轴上，且 ，，则
则由两点间距离的复数表示可知双曲线的复数方程为
思路2： 设双曲线上的点 对应的复数 ，其共轭复数为 ，则
然后代入双曲线方程 即可得其复数方程为
注： 在双曲线中类似椭圆的思路3就失效了！
6、抛物线的复数方程
已知在平面直角坐标系中的抛物线方程为
其复数方程如何表示出来？
思路1： （用抛物线的定义）
设抛物线上的点 对应的复数 ，其共轭复数为 ，则
假设抛物线的焦点为 ，则
则由两点间距离的复数表示可知抛物线的复数方程为
思路2： 设抛物线上的点 对应的复数 ，其共轭复数为 ，则
然后代入抛物线方程 即可得其复数方程为
四、了解复数方程几何意义有什么用？
当然是做题快！当知道题中所给的复数方程的几何意义，可以很方便的利用解析几何解决，而不是设出复数的直角坐标形式代入方程，解关于实部和虚部的两个方程！
例如下面这道题非常经典，涉及复平面上的直线、圆、距离等几何意义。
【上海黄浦区25届高三上期末T10】 为虚数单位，若复数 满足 ，复数 满足 ，则 的最小值为 _____.
解析： 复数方程
表示圆心在 半径为 的圆盘（注意是 ）
复数方程
表示是线段（两端点为 ，）的中垂线
如图 1 所示， 的最小值为
