电子版下载点击【公众号资料下载】
也可以点击文末原文链接下载 （建议将微信字体设置到最小后阅读） （建议关闭深色模式后阅读）
1267期圆锥曲线不联立系列9——对偶构造之假平移
该篇是圆锥曲线不联立系列第9篇，之前的推文可以参看链接
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》
该篇书接上一篇《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》，回答对于非轴点弦的情况，如何构造对偶式。
一、什么是假平移？ 二、假平移下的对偶式结论 三、假平移对偶构造在模考中的应用 四、假平移对偶构造在高考中的应用
一、什么是假平移？
假平移是相对平移齐次化而言的，后者将定点平移到原点，二次曲线（椭圆、双曲线等）也要跟着平移，如图 1 所示，而假平移之所以称之为“假”，是因为在定点“平移”过程中，要保证二次曲线不“动”！
事实上，这是做不到的！为了实现上述定点“平移”而二次曲线不“动”的效果，则直接在设点上做文章。一般设直线与二次曲线的交点为 ， ，这时如果直线过定点 ，则在假平移下可设 ， 或 ， 。（关注微信公众号：Hi数学派）这样就可以等效点 在 或 轴上，进而上一篇的对偶构造的部分结论就可以使用。
二、假平移下的对偶式结论
对于过定点 的直线（非轴点弦）和圆锥曲线相交，在假平移下，互为对偶的 ， 以及 ， 存在什么结论，下面进行分析
【轴点弦对偶式结论1】 如图 2，过定点 的直线与椭圆 （ ）相交于 两点，设 ， ，则有（关注微信公众号：Hi数学派）
证明： 由 三点共线可得
通分即可得
用平方差构造对偶式
注： 当 时，即 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
此时上式可以变形为（等式两端同除以 ）
其中， 分别是直线 ， 的斜率，点 为 ，即点 在 轴上的射影点坐标。
【轴点弦对偶式结论2】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 2，过定点 的直线与椭圆 （ ）相交于 两点，设 ， ，则有
证明： 由 三点共线可得
通分即可得
用平方差构造对偶式
注： 当 时，即 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
此时上式可以变形为（等式两端同除以 ）
其中， 分别是直线 ， 的斜率，点 为 ，即点 在 轴上的射影点坐标。
注： 同样，对偶式 ， 可以通过上述结论中互为对偶的 ， 相加减得到，进而 ， 坐标也可以相互转化，但是表达式过于复杂，已经失去了实用意义。在假平移下的对偶构造，， 已经够用。
三、假平移对偶构造在模考中的应用
【2023年武汉五调T21】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 的一条渐近线为 ，椭圆 的长轴长为 ，其中 . 过点 的动直线 交 于 两点，过点 的动直线 交 于 两点.
（1） 求双曲线 和椭圆 的方程；
（2） 是否存在定点 ，使得四条直线 ，，， 的斜率之和为定值？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由.
解析：
（1） ， .
（2） 已知 ，设点 ，，，
由 三点共线得
则
所以
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
同理，由由 三点共线得
所以
因此存在 使得四条直线 ，，， 的斜率之和为定值
注： 双曲线的对偶式以及假平移下的对偶式结论同学们可以自行推导，有的只是存在符号上的差别。
【2022年武汉九调T21】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ），过点 且与 轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点 且与 轴平行的直线被椭圆 截得的线段长为 .
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 设过点 的动直线与椭圆 交于 两点， 为 轴上的一点. 设直线 和 的斜率分别为 和 ，若 为定值，求点 的坐标.
解析：
（1） .
（2） 设点 ，，
由 三点共线得
则
所以
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
因为
所以当 时，
所以点 的坐标为
四、假平移对偶构造在高考中的应用
【2023 年全国乙卷T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
（1） 求 的方程．
（2） 过点 的直线交 于点 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点．
解析：
（1） .
（2） 设点 ，，
由 三点共线得
有
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
又
令
同理得
所以
所以 中点为定点
【2022 年全国乙卷】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 、 轴，且过 ， 两点.
（1） 求 的方程；
（2） 设过点 的直线交 于 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 ，证明: 直线 过定点.
解析：
（1）
（2） 已知 ，设点 ，
由 三点共线得
则
所以
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
且
利用分式合比性质可得
由题意得
令
由 得
所以
因此 三点共线，所以直线 过定点 .
注： 有关分式合比性质可以参考之前的推文《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
【2022年北京卷 T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的一个定点为 ，焦距为
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 . 当 时，求 的值.
解析：
（1）
（2） 已知 ，设点 ，
由 三点共线得
则
所以
所以
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
又
令
同理得
所以
解得 ，
又 ，则直线 ，直线
因此分别联立椭圆即可得 ，
注： 高考这三道题都有其极点极线背景，可以参考小派之前的推文《1080期 打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》
