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1274期解析几何“倒影距离”与“倒影椭圆”并不是“新定义”
该篇素材选自湖南新高考教学教研联盟 2025 届高三第一次预热考试第18题。该题定义了一种“新距离”，并定义了在此距离下的“倒影椭圆”，需要注意的是此题中的“新距离”和曼哈顿距离很像，但并不是！
联想到曼哈顿距离就想到了24届乌鲁木齐二模第19题的“曼哈顿椭圆”，找到此题一看，今天的题目其实就是改编自此题！另外结合此题再仔细一想，“倒影椭圆”并不是“新定义”，就是“曼哈顿椭圆”关于 对称图形罢了（下文有详细解释）！
一、“倒影距离”与“倒影椭圆” 二、“倒影距离”并不是“新定义” 三、改编自“曼哈顿椭圆” 四、拓展：圆曲内接三角外接圆心与三边斜率关系
一、“倒影距离”与“倒影椭圆”
【湖南新高考教学教研联盟 25 届高三预热卷T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知点 ，，定义 的“倒影距离”为 ，我们把到两定点 ， 的 “倒影距离”之和为 的点 的轨迹 叫做“倒影椭圆”.
（1） 求“倒影椭圆” 的方程；
（2） 求“倒影椭圆” 的面积；
（3） 设 为坐标原点，若“倒影椭圆” 的外接椭圆为 ， 为外接椭圆 的下顶点，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点（均异于点 ），且 的外接圆的圆心为 （异于点 ），证明：直线 与 的斜率之积为定值.
解析：
（1） 设 ，由“倒影距离”的定义可知
由题意得
所以 “倒影椭圆” 的方程为
（2） 由 得
当 时
当 时，由对称性知
因此其图象如图 1 所示，故“倒影椭圆” 的面积
（3） 由图 1 知，“倒影椭圆” 的外接椭圆 的长半轴长为 ，且经过点 ，可得椭圆 的方程为 ，由 （2） 知，
由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 ，设 ，，，
则 的方程为（关注微信公众号：Hi数学派）
联立 与直线
得
联立椭圆 与直线
得
方程 为同解方程，因此对应系数成比例，则
由后面的等式可得
注： 该题第 （3） 符合一直线与两二次曲线具有相同的交点（直线 和椭圆、 的外接圆），即相同交点，同解方程！也就是该题同T8联考圆锥曲线压轴一样，利用相同交点，同解方程是相对较快的解法！可以参考小派之前的《1263期 T8联考圆锥曲线同构与同解方程应用》
二、“倒影距离”并不是“新定义”
如果设 关于 的对称点为 ，则其坐标为 ，那么题中定义的点 的“倒影距离”其实就是点 的曼哈顿距离，即
因此“倒影椭圆”也和“曼哈顿椭圆”关于 对称！
如图 2 所示，图中是以定点 ， 分别在“倒影距离”和曼哈顿距离下画的“椭圆”，可见二者关于
注： 有关曼哈顿距离的内容可以参看小派之前的推文《1242期 曼哈顿距离下的“最短距离”、“圆”、“椭圆”》
二维平面中的定义：（关注微信公众号：Hi数学派）设 ， 为平面上两点，则定义 为 “直角距离” 、“折线距离” 或 “曼哈顿距离 ”，记作
三、改编自“曼哈顿椭圆”
【24届乌鲁木齐二模T19】 在平面直角坐标系 中，重新定义两点 ， 之间的“距离”为 ，我们把到两定点 ， 的“距离”之和为常数 的点的轨迹叫“椭圆”．
（1） 求“椭圆”的方程；
（2） 根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由（关注微信公众号：Hi数学派）；
（3） 设 ， 作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 ， 的左顶点为 ，过 作直线交 于 ， 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
解析：
（1） 设“椭圆”上任意一点为 ，则
即
即
所以“椭圆”的方程为
（2）
1）“椭圆”的范围
由方程
得
因为 ，所以
即
所以
解得 ，
由方程
得
即（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 ，所以
所以“椭圆” 范围为 ， （如图 7 所示）
2）“椭圆”的对称性
① 将点 代入得，
即 ，方程不变
所以“椭圆”关于 轴对称；
② 将点 代入得，
即 ，方程不变
所以“椭圆”关于 轴对称；
③ 将点 代入得，
即 ，方程不变
所以“椭圆”关于原点对称（关注微信公众号：Hi数学派）
所以“椭圆”关于 轴， 轴和原点对称（如图 3 所示）
（3） 由题意可设椭圆 的方程为
将点 代入得
解得
所以椭圆 的方程为
，，设 ，
由题意可设直线 的方程为
联立
得
恒成立
则 ，
因为 的中点为
则
所以直线 的中垂线的方程为
（关注微信公众号：Hi数学派）同理直线 的中垂线的方程为
设 ，则 ， 是方程 的两根
即 ， 是方程 的两根
所以 ，
又因 ，
所以 ，
两式相比得 ，
所以
所以
所以直线 与 的斜率之积为定值 ．
注： 此题第 （3） 直线 ， 是“共点引双线”等效模型，“双线”往往具有“同等地位”，这样就可以构造关于 一元二次方程，此过程就是同构方程的应用；另外，该题同样是一直线与两二次曲线具有相同的交点（直线 和椭圆、 的外接圆），同样可以用同解方程来做，同学们可以自行套同解方程模板尝试一下！
四、拓展：圆曲内接三角外接圆心与三边斜率关系
这部分在昨天的不联立系列多个交点的齐次化拓展部分涉及到，其实该结论的证法最简单的还是用中点弦点差法来做，这篇先不讲了有时间令出一篇讲一下。
【结论1】 点 在双曲线 上，设 的外接圆的圆心为点 ，证明：
证明：
设点 ， ， 半径为
设 的外接圆与双曲线 的第四个交点为 ，由四点共圆可知
因此只需证
与通常的齐次化的方法的思想类似，拆出来 ， 以便于构造斜率。先对双曲线方程做代数变形
对圆的方程做代数变形
接下来需要构造齐次式，因此将上面两式相乘，则等号两边就都变成了关于 的三次齐次式，即得（关注微信公众号：Hi数学派）
将上式右侧移项至左侧，同时除以 ，得到关于 的三次方程 ，这里 的三个解便是 ，， 。然后只需关注 的三次项系数和常数项，而 ， ，由三次方程的韦达定理
故原命题得证。
注1： 同理可证
【结论2】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在椭圆 （ ） 上，设 的外接圆的圆心为点 ，则
【结论3】（关注微信公众号：Hi数学派）点 在抛物线 上，设 的外接圆的圆心为点 ，则
注2： 高次韦达定理如下
【高次韦达定理】 设一元 次方程
的根为 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
