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1266期圆锥曲线不联立系列8——对偶构造
该篇是圆锥曲线不联立系列第8篇，之前的推文可以参看链接
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
一、何谓对偶，对偶构造的由来 二、对偶构造1——对偶点差（截距点差） 1、对偶点差法 2、对偶点差在高考中的应用 三、对偶构造2——轴点弦对偶式 1、轴点弦对偶式结论 2、轴点弦对偶式在模考中的应用 3、轴点弦对偶式在高考中的应用 四、对偶构造3——非轴点弦如何构造对偶式？
一、何谓对偶，对偶构造的由来
首先要帮同学们回忆一下直线两点式下的截距表达式，具体可以参看小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
【两点直线截距表达式】 如图 1，过 ， （，）两点的直线在 轴上的截距（、）表达式分别为（关注微信公众号：Hi数学派）
其中直线两点式下的截距表达式的分子 和 互为对偶，而且 和 也是互为对偶的式子。
然后，同学们可以回顾一下，平常的联立韦达法的核心思想是不是都是将条件和目标（弦长，面积等）转化为 ， （或 ， ）的式子来解决的？
同样，不联立不韦达的一种思考则是能否将条件和最终目标转化成互为对偶的 和 来解决。这便是对偶构造的思想由来。
二、对偶构造1——对偶点差（截距点差）
对偶点差法其实就是截距点差法，本小节熟悉的同学略过。叫对偶点差法是从代数式本身来说的，互为对偶式；而叫截距点差法是从其几何意义来说的，可以参看小派之前的推文《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
1、对偶点差法
【截距点差法】（关注微信公众号：Hi数学派）直线 （斜率存在，不为零且不过原点）与椭圆 相交于 ， ，则
证明：
， 在椭圆上，则
（1） 由 ， 得
则 得（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 由 ， 得
则 得
2、对偶点差在高考中的应用
【2024年高考北京卷T19】 已知椭圆方程 ，焦点和短轴端点构成边长为 的正方形，过 的直线 与椭圆交于 ，，连接 交椭圆于 .
（1） 求椭圆方程和离心率；（关注微信公众号：Hi数学派）
（2） 若直线 的斜率为 ，求 .
解析：
（1） 由题意
所以椭圆方程为 ，离心率为
（2）截距点差法： 设 ， ，由于直线 的斜率为 ，则由椭圆对称性可得
直线 经过点
直线 经过点
， 在椭圆上，
所以 得（关注微信公众号：Hi数学派）
三、对偶构造2——轴点弦对偶式
对于过轴上定点 或 的直线（轴点弦）和圆锥曲线相交，互为对偶的 和 有其特殊的表达式。下面以定点在 轴上为例详细说明，而定点在 轴上的，只给出结论，同学们可以自行仿照证明。
1、轴点弦对偶式结论
【轴点弦对偶式结论1】 如图 3，过定点 的直线与椭圆 （ ）相交于 两点，设 ， ，则有（关注微信公众号：Hi数学派）
证明
证法1（截距几何意义）： 其实就是利用上面的直线两点式下的截距表达式和截距点差法
所以
证法2（对偶构造+点代入）：
首先由直线两点式下的截距表达式知
即（关注微信公众号：Hi数学派）
则
注： 法1的证明全过程应当加上截距表达式和截距点差法的步骤，存在几何意义；而法2除了第一步的截距表达式之后，全是构造对偶式，点代入的代数运算，虽无几何意义但计算量少。
【轴点弦对偶式结论2】
证明： 由轴点弦对偶式结论1的两式相加（相减），再除以 ，即可得到结论。
注： 由对偶式结论2还可以进一步推出 ，（或 ，）如下；这个结论的意义则是用坐标 可以推出坐标 ，或用坐标 可以推出坐标 ，这个结论在蝴蝶定理模型中经常用到。
【轴点弦对偶式结论3】（坐标互化）
或（关注微信公众号：Hi数学派）
当定点在 轴上时，同样可以得到类似的结论（如下），同学们可以自行仿照证明。
【轴点弦对偶式结论4】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 4，过定点 的直线与椭圆 （ ）相交于 两点，设 ， ，则有
且
2、轴点弦对偶式在模考中的应用
【典例3】 已知椭圆 （ ）的离心率为 过 右焦点 的直线 与 交于 ， 两点，当直线 与 轴垂直时
（1） 求椭圆 的标准方程（关注微信公众号：Hi数学派）；
（2） 当直线 与 轴不垂直时，在 轴上是否存在一点 （异于点 ），使 轴上任意点到直线 ， 的距离均相等？ 若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由.
解析：
（1）
（2） 设 ，
由角平分线逆定理可知 轴是 的角平分线
即是否存在一点 满足
因为 三点共线，则
即
从而（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
即存在一点 满足
注： 此题即是等角定理，可以参考小派之前的推文《916期【圆锥】高考中的等角定理》
【椭圆等角定理】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 6，过椭圆 （ ）长轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即
3、轴点弦对偶式在高考中的应用
【2024年全国甲卷（文理）T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，点 在椭圆 上,且 轴.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） ，过 的直线与椭圆 交于 两点， 为 的中点，直线 与 交于 ，证明： 轴.
解析：
（1）
（2） 由题意得 ， 则 ，设 ，
因为 三点共线，则
即
从而
所以（关注微信公众号：Hi数学派）
所以
直线 ，并带入 得
所以
所以 轴.
注1： 这题可以直接利用对偶式结论3（坐标互化）来求 ；关于该题的极点极线背景可以参考小派之前的推文《1080期 打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》
注2： 上述例题中都是利用对偶式结论1中的证法2来书写过程的，该步骤可以作为此法的一个答题模版。
四、对偶构造3——非轴点弦如何构造对偶式？
非轴点弦，就是直线过的定点不在坐标轴上，同学们可以思考一下上述对偶式构造是否还成立？不成立的话又能采用什么方法构造对偶式呢？这部分留作不联立系列下一篇讲。
