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1277期极值点偏移起源，天津导数探究系列1
一、系列前言 二、极值点偏移与对称构造起源 三、直观感受何谓极值点偏移 四、更多高考模考中的极值点偏移
一、系列前言
不可否认，天津导数一直都是特立独行，极具创意，而且很多考题都是在当年之前不曾出现过的，比如现在同学们已经作烦了的极值点偏移问题都是2010年天津卷第一次命制的，之后此题型经11年辽宁卷、13年湖南卷模仿后，在16年被全国卷I借鉴，自此成为热点题型，风靡各地模考卷（高考历史上含极值点的偏移问题出现过四次，感兴趣的可以看看《极值点偏移系列10讲》）。再比如
2015年：零点差与切割线放缩 2016年：切比雪夫最佳逼近理论 2017年：刘维尔定理 2018年：函数与反函数 2019年：拉格朗日中值 2020年：函数凹凸性与Hardamard不等式 2022年：柯西不等式 2023年：Stirling（斯特林）公式 2024年：Hölder连续（李普希兹条件） ……
（关注微信公众号：Hi数学派）另外，最近也有传言试卷结构会再次改变，尽管已经辟谣了，但毋庸置疑的是如今新高考非常注重出新，比如新 卷的新定义题，其风格非常类似于北京卷的数列新定义，导致在高考后的众多模考卷新定义压轴都在向北京卷的新定义靠拢与模仿！可是对于作为传统压轴的“钉子户”导数来说，谁也预测不了其会不会也会出新，风格偏向于天津导数！因此研究天津导数风格还是有必要的！小派在之前的推文中也零零散散的讲过几道题，并没有成系统的讲！因此，小派开一个新系列来和同学们一起学习和研究天津卷的导数压轴。
二、极值点偏移与对称构造起源
极值点偏移问题的一个基本处理技巧便是对称构造。说起对称构造还真要感谢2010年天津高考命题者，因为其不仅极具创造性地第一次命制了经久不衰的极值点偏移新题型，而且在题设中有意引导答题者进行对称构造解题，也就是说命题者既带来了新题型，也给出了该题型的一种解题技巧——对称构造。
【典例1】（2010天津T21） 已知函数 （ ）
（1） 求函数 的单调区间和极值；
（2） 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，（关注微信公众号：Hi数学派）证明: 当 时，
（3） 如果 且 ，证明:
解析：
（1）
所以 的单调递增区间为 上，单调递减区间为
故 有极大值 ，无极小值
（2） 由 的图像与 的图像关于直线 对称，得 的解析式为 ，构造辅助函数
，
求导得
当 时， ， ，则
（关注微信公众号：Hi数学派）所以 在 上单调递增，
所以 ，即
（3） 由 ，结合 的单调性可设
将 代入 （2） 中的不等式得
又 ，故
又 ， ， 且 在 单调递增
所以 ，即
注： 回顾该题的三问解题过程，由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观图解如下
再次回顾该题解题过程，发现以下三个关键点：
， 的范围
不等式 ，（ ）
将 代入 2. 中不等式，再结合 的单调性即可得到结论 .
把握以上三个关键点，就可以应用对称化构造解决一些极值点偏移问题啦（并不是所有极值点问题都可以应用对称构造的，更多极值点偏移技巧可以参看小派之前的推文《极值点偏移系列10讲》）
三、直观感受何谓极值点偏移
下面用三张图带你直观认识极值点偏移
如图 2，若 ，则
如图 3，若 ，则 .
如图 4，若 ，则 .
注： 极值点 向左向右偏移是参考中间值 而言的 .
四、更多高考模考中的极值点偏移
【典例2】（2016新课标1卷 T21） 已函数 有两个零点（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 的取值范围；
（2） 设 ， 是 的两个零点，证明：
解析：
（1） ，该小问涉及找点过程，详解可以参考小派之前的推文《三道高考题教你学会找点取点》
（2） 由 （1） 知 在 上递减，在 上增，
由 ，可设
构造辅助函数 ，求导得
当 时， ， ，则
所以 在 上单增 ，又
故 ，即 （ ）
将 代入上述不等式中 ，得
又 ， 且 在 上增，
所以 ，即
【典例3】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， 求证：
证明：
则 在 上递减，在 上递增；
当 时， ，
当 时，
当 时， ；当 时，
于是 的图像如下图 5，得
构造函数
求导得
当 时， ， ， 则
所以 在 上递增，有
即
将 代入得
又 ，故
又 ， ，且 在 上递增，
所以 ，即
回顾一下，典例1和典例2是应用同样的方法，但是典例3却和前两道例题不太一样，因为前两道例题是证明 ，但是典例3却是 ，因此用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：（关注微信公众号：Hi数学派）
求导，获得 的单调性，极值情况，作出 的图像，由 得 ， 的取值范围数形结合)；
构造辅助函数（对结论为 ，构造 ；对结论为 ，构造 ），求导，限定范围（ 或 的范围），判定符号，获得不等式；
代入 或 ，利用 及 的单调性证明最终结论 .
