1278期每张卷都有三次函数吗？内接四边形问题

近期模考中是不是每张卷都会有三次函数的压轴小题啊！？（那就考虑近期安排一下出篇全的啦！

今天这篇先关注一下三次函数内接四边形（正方形）个数问题！该篇素材选自河南省天一小高考2025届高三第二次考试第14题。该题考的是三次函数图像问题，涉及三次函数对称性和内接四边形个数。事实上，有关三次函数内接正方形个数问题有固定的结论，另外此问题在去年模考中也曾出现过，比如合肥二模！

其次，这篇再从三次函数内接四边形问题拓展到二次曲线（圆锥曲线）内接四边形问题。

• 一、这道三次函数内接正方形个数问题
• 二、三次函数曲线内接正方形结论
• 1、对称中心在原点的三次函数
• 2、对于一般三次函数
• 三、另一道模考中的三次函数内接正方形问题
• 四、二次函数（抛物线）内接矩形问题
• 五、椭圆内接平行四边形问题
• 六、模考中的椭圆内接平行四边形问题

一、这道三次函数内接正方形个数问题

【河南天一小高考25届高三二联T11】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 ，则下列说法正确的是（）
的图象为中心对称图形
的图象上一定存在关于直线 对称的两点
若 ，则一定存在四个顶点都在 的图象上的菱形
若 ，则四个顶点都在 的图象上的正方形有两个

解析：

（1） 对于 ，

将 的图象向左平移 个单位长度得 的图象

易知 为奇函数， 的图象关于点 中心对称

所以 的图象关于点 中心对称

故 正确.

（2） 对于 ，

当 时， ， 单调递增， 的图象上不存在关于直线 对称的两点

故 错误.

（3） 对于 ，易知平移并不改变函数图像的形状，为容易分析，将 的图象向左平移 个单位长度得 的图象，因此该选项等价于若 ，则一定存在四个顶点都在 的图象上的菱形（关注微信公众号：Hi数学派）

过原点作两条相互垂直的直线 （ ）和

联立

可得 ，解得 或

联立

可得

当 ,即 时

可解得 或

此时直线 和 与 的图象均有三个交点，除了坐标原点以外，根据对称性，可知另外四个交点能作为菱形的顶点

故 正确.

（4） 对于 ，根据 选项，要使菱形是正方形，需构成菱形的四个顶点到坐标原点的距离相等，则 和 要满足

平方整理得

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

当 时，可得 或

又函数 在 上单调递增，且值域为 ，所以满足条件的 有两个

故 正确.

二、三次函数曲线内接正方形结论

下面先给出一种特殊的三次函数，即对称中心在原点的三次函数，先讨论其内接四边形个数问题，对于对称中心不在原点的三次函数，可以通过平移转化成对称中心在原点的三次函数。

1、对称中心在原点的三次函数

【结论1】（关注微信公众号：Hi数学派）已知三次函数曲线 （ ）, 则
（1） 当 时，曲线 有两个内接正方形；
（2） 当 时，曲线 有一个内接正方形；
（3） 当 时，曲线 无内接正方形.
进一步，当 时，则内接正方形面积为

其中，

证明： 设正方形 内接于曲线 ，此时必有 ，因为若 ，则函数 在 上为增函数，所以曲线上不存在内接正方形。

设 ，，， 横坐标依次为 ，，，.

所以

同理可以表示出 ，，，

由正方形对边平行，则 ， ，所以

两式相加得

移项因式分解得

又有 且正方形对角线互相平分，则

因此正方形对称中心在坐标原点.

设 （ ），

联立 与 解得 ，则

同理有（关注微信公众号：Hi数学派）

因为

从而可得

设 单调递增，且 （ ），则上面的方程解的个数等价于方程

解的个数

易知 ，

故当 时，方程有两个不同的根，即曲线 有两个内接正方形；

当 时，方程有两个相同的根，即曲线 有一个内接正方形；

当 时，方程无根，曲线 无内接正方形.

当 时，有

且易知此时

注： 当 时，将三次函数关于 轴对称即可

2、对于一般三次函数

【结论2】（关注微信公众号：Hi数学派）已知三次函数曲线 （ ）, 则

（1） 当 时，曲线 有两个内接正方形；

（2） 当 时，曲线 有一个内接正方形；

（3） 当 时，曲线 无内接正方形.

证明：

将 （ ） 对称中心平移到原点，即按照向量

的方向平移，得到

记 ，则

因此下面的证法就同上所述了！

三、另一道模考中的三次函数内接正方形问题

【23 年 4 月合肥二模T12】 设 、、、 是 ，上四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数 的值为 ()

解析：

由以上结论可知这道题就选

四、二次函数（抛物线）内接矩形问题

去年， 23年 新Ⅰ卷圆锥曲线压轴（抛物线）就是二次函数内接矩形问题，其并非是第一次出现，在2021年浙江7月学业水平考试中就有出过。

【23新高考1卷T22】（关注微信公众号：Hi数学派）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
（1） 求 的方程；
（2） 已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．

解析：

（1） 设 ，则

两边同平方化简得

故

（2） 设矩形的三个顶点 ，， 在 上，且 ，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为 （关注微信公众号：Hi数学派）

则 ，

令

同理令 ，且 ，则

设矩形周长为 ，由对称性不妨设 ，且

则

，（关注微信公众号：Hi数学派）易知

令 ，

当 时， ，此时 单调递减

当 ， ，此时 单调递增

则

故 ，即

当 时， ，且

即 时等号成立，矛盾，故

得证.

注： 更多解法可以参考小派之前的推文《712期【圆锥】23新Ⅰ卷背景&从二次到三次曲线内接矩形拓展》

【抛物线内接矩形结论】（关注微信公众号：Hi数学派）已知抛物线 上有一个矩形的三个顶点 、、，则矩形周长满足

证明： 设抛物线为 ，矩形的三个顶点 ，， 在抛物线上，且

易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为

由 ，则

由图 2 易知

不妨令

同理令

则 ， ，因此

设矩形周长为 ，由对称性不妨设 ，且

则

，（关注微信公众号：Hi数学派）易知

令

当 时， ， 单调递减；

当 时， ， 单调递增

所以 （关注微信公众号：Hi数学派）

但当 时， ，且

即 时等号成立，与 矛盾，故

得证；

注： 当 时，即为今年新Ⅰ卷第22题，另外当 时，还可以推出一下有趣的不等式

【推广1】 若实数若实数 、、 满足 ，则有

【推广1】 与23年新Ⅰ卷第22题的联系如下：

因为 ，则

则对不等式

与 相乘得

此即为 时，抛物线矩形半周长

【推广2】 若实数若实数 、、 满足 ，则有

证明： 不妨令 ，

则 ， ，

则，欲证不等

即证

只需证

即证

因式分解得

【21浙江学业水平考试T20】（关注微信公众号：Hi数学派）如图 3，已知点 ，抛物线 的焦点是 ，， 是抛物线上两点，四边形 是矩形．
（1） 求抛物线的方程；
（2） 求矩形 的面积．

解析：

（1） 抛物线 的焦点是 ，

， 解得 ，

抛物线的方程为 ；

（2） 设 ，

四边形 是矩形

，

且

即 ，

且

， ，

且