1276期广州零模概率 考验你的组合恒等式化简求和能力

该篇素材选自广州市 2025 届高三年级调研测试（广州零模）填空压轴第14题，该题是这张卷出的最好的一道题了吧！非常考验学生组合恒等式掌握情况和组合数求和计算能力！这一篇借此题再讲一下常用的12个组合恒等式，另外记得在新人教 版选择性必修第三册探究与发现中涉及两个简单的组合数恒等式！

记得2024年新 卷第14题同样也是概率题！命题组可能考虑到这是高考的缘故，仅出了 张牌，甲的总得分不小于 的情况，通过枚举就能做出！如果命题组像广州零模这样再挖一空，命制 张牌，甲的总得分不小于 的情况，相信一定会难倒一众考生！（同学们感兴趣可以尝试一下，有机会可以更一下此题）

• 一、这道非常考验计算能力的概率题
• 二、教材中涉及的两个组合恒等式
• 三、12个常用组合恒等式及理解技巧
• 四、卡特兰数有关恒等式
• 1、卡特兰数递推式
• 2、卡特兰数通项公式
• 3、卡特兰数重要性质
• 4、卡特兰数恒等式
• 五、模考中的组合恒等式

一、这道非常考验计算能力的概率题

【广州25 届高三零模T14】（关注微信公众号：Hi数学派）随机将 ，，，（ ， ）这 个连续正整数分成 ， 两组，每组 个数， 组最大数为 ， 组最大数为 ，记 . 当 时， 的数学期望 _____ ；若对任意 ， 恒成立，则 的最小值为_____.

解析：

（1） 当 时，将 ，，，，， 分成 ， 两组

由对称性不妨设 组最大数 ，则 组最大数可能为 ，，，此时 的可能值为 ，，，所以

所以（这里ξ=1和ξ=3概率写反了，对调一下）

（2）

法一： 由前面的分析可知，不妨设 组最大数 ，则 组最大数可能为 ，，，，此时 的可能值为 ，，，，所以

所以

若 恒成立，则 的最小值为

注1： 上式中步骤 主要用到恒等式

即（关注微信公众号：Hi数学派）

然后凑出 项（即通过加 再减 ）

步骤 主要用到恒等式

即

步骤 还是利用恒等式 ，即

注2： 以上步骤中通过对称性分析， 的可能值很容易得出，但求其期望时却用到了很多组合恒等式的配凑，即前面分析简单后面计算难！如果在前面分析中再进一步转化，将求 的期望转化为求 组最大数 的期望，则后面计算可能容易一些!

法二： 由对称性，不妨设 组最大数 ，则 组最大数可能为 ，，，，此时

因此求出 即可

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

所以

若 恒成立，则 的最小值为

注3： 此法中步骤 ， 分别用到了组合恒等式 和 ，即

法二 相较于 法一，在计算中少了一步配凑，而这一步计算中的配凑体现在了在分析中将求 的期望转化为求 组最大数 的期望。

二、教材中涉及的两个组合恒等式

在新人教 版选择性必修第三册第 页的探究与发现中涉及两个简单的组合数恒等式，如下图

三、12个常用组合恒等式及理解技巧

【恒等式1】

理解技巧： 从 个不同元素中取 个不同元素的种数 与取 个不同元素的种数 相同，从而

【恒等式2】

理解技巧： 求从 个不同元素中取 个元素的组合总数.

一方面，从 个不同元素中取 个元素的组合总数为

（关注微信公众号：Hi数学派）另一方面，完成这件事可以分类解决

将 个元素编号为 ，，，，

第一类： 个元素中不含有 ，则 个元素只能从前 个不同元素中取，有 种;

第二类： 个元素中含有 ，则只要在前 个不同元素中取 个元素即可，有 种.

由于两方面所得结果相同，从而

【恒等式3】

理解技巧： 求集合 中含有 个元素的子集的元素个数的总数

一方面，可以看作含有 个元素的子集，有 个，而每个这样的集合有 个元素，故共有 个元素（关注微信公众号：Hi数学派）

另一方面，对于每一个含有元素 且元素个数为 的集合有 个，由于共有 个不同的元素，故有 个元素

从而

【恒等式4】

理解技巧： 个灯泡排成一列，用灯亮与灯暗表示不同的信号，共有几种不同的信号？

一方面，可分 步完成：

第 个灯有 种 （亮、暗） 信号；

第 个灯有 种 （亮、暗） 信号；

...

第 个灯有 种 （亮、暗） 信号.

由乘法原理知，共有 种.

（关注微信公众号：Hi数学派）另一方面，可分 类完成：

第 1 类，有 0 个灯亮，有 种信号；

第 2 类，有 1 个灯亮，有 种信号；

...

第 类，有 个灯亮，有 种信号.

由加法原理知，共有 （种）

从而

【恒等式5】

理解技巧： 求 ，，，，，， 这 个不同的元素中取 个元素的组合总数 .

要完成这件事，一方面，可直接由组合数定义得，有 种.

另一方面，可分 类完成

由加法原理可知，共有 （种）

从而（关注微信公众号：Hi数学派）

【恒等式6】

理解技巧： 设集合 ，求集合 中所有子集元素的总个数

完成这件事，

一方面可以按含某个元素分为 类解决：

第 类，对于含有元素 的子集，有 （个）

第 类，对于含有元素 的子集，有 （个）

...

第 类，对于含有元素 的子集，有 （个）

由加法原理知共有 个

（关注微信公众号：Hi数学派）另一方面，也可按子集所含元素个数分为 类计算：

第 类，含 个元素的子集有  个，则元素有    个

第 类，含 个元素的子集有 个，则元素有 个

...

第 类，含 个元素的子集有 个，则元素有 个

由加法原理知共有 个元素

从而

【恒等式7】

理解技巧： 设集合 ，计算 的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的总数

完成这件事，也可用两种方法解决.

一方面，对于含有有序元素对 的子集有

而所有有序元素对有 对，故 的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数有

另一方面，也可分 类计算：

第 类，含 个元素的子集有 个，而每一个子集的有序元素对有 对；

第 类，含 个元素的子集有 个,而每一个子集的有序元素对有 对;

第 类，合 个元素的子集有 个，而每一个子集的有序元素对有 对（关注微信公众号：Hi数学派）

由加法原理知， 的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的总数有

从而

【恒等式8】

理解技巧： 两个盒子中分别放有 个不同的小球，求从中任取 个球的不同方法总数

完成这件事，

一方面，可直接由组合数定义得，有 种

另一方面，给盒子编号为 ，可对 号盒子分 类：

第 类，在 号盒子中取 个球，则在 号盒子中取 个球，有 种；

第 类，在 号盒子中取 个球，则在 号盒子中取 个球，有 种；

第 类，在 1 号盒子中取 个球，则在 2 号盒子中取 0 个球，有 种

由加法原理知，共有 （种）

注意到 ，从而

【恒等式9】 （其中 ，， 都是正整数，且 ， ）

理解技巧： 一方面，可把 看作二项式 的展开式中含 项的系数

另一方面，

将 展开后，按含 项的系数，可分类解决

第 类，，展开式中含 项的系数 与 的展开式中含 项的系数 的积为

第 类， 的展开式中含 项的系数 与 的展开式中含 项的系数 的积为

第 类， 的展开式中含 项的系数 与 的展开式中含 项的系数 的积为

第 类， 的展开式中含 项的系数 与 的展开式中含 项的系数 的积为

由加法原理知，含 项的系数为

从而

【恒等式10】

理解技巧： 求从 副不同的手套中任取 只，全不配对的情况总数

完成这件事，一方面可分 步完成：

第 步， 只手套必须来自于 副不同的手套，有 种，并对这 副手套编号；

第 步，在 号手套中任选 只，有 种；

第 步，在 号手套中任选 只，有 种；

第 步，在 号手套中任选 只，有 种；

由乘法原理知，共有 种

另一方面，也可分 类解决，设集合 为 只左手套，集合 为 只右手套

分别从集合 中取 只手套，对应着从集合 中取不同于集合 中的 只手套（关注微信公众号：Hi数学派）（如下表所示）

由加法原理知，不同的取法有 （种）

从而

【恒等式11】

理解技巧： 把集合 分拆成两个集合 和 ，且 ，这样的分拆共有多少种？

完成这件事，一方面按集合 中的元素个数进行分类：

第 类，当 中有 个元素 （即 种）时， 中的元素有 种，共有 种；

第 类，当 中有 个元素 （即 种）时， 中的元素有 种，共有 种；

第 类，当 中有 个元素 （即 种）时， 中的元素有 种，共有 种（关注微信公众号：Hi数学派）

第 类，当 中有 个元素 （即 种）时， 中的元素有 种，共有 种；

第 类，当 中有 个元素 （即 种）时， 中的元素有 种，共有 种

由加法原理知，共有 （种）

另一方面，可对元素实行分步解决：

第 步，对于元素 来说，可以只进入 ，也可只进入 ，也可进入 ，故有 种；

第 步，对于元素 来说，可以只进入 ，也可只进入 ，也可进入 ，故有 种；

第 步，对于元素 来说，可以只进入 ，也可只进入 ，也可进入 ，故有 种；

第 步，对于元素 来说，可以只进入 ，也可只进入 ，也可进入 ，故有 种；

由乘法原理知，共有 种，从而

【恒等式12】

理解技巧： 将集合 分拆成两个集合 和 ，即 ， ,这 样的分拆共有多少种？

一方面，按集合 中元素的个数进行分类：

第 类，当 中有 个元素（即 种）时， 中的元素有 种，共有 种；

第 类，当 中有 个元素（即 种）时， 中的元素有 种，共有 种；