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1272期圆锥曲线不联立系列13——斜率同构
该篇是圆锥曲线不联立系列第13篇，之前的推文可以参看链接
《圆锥曲线不联立系列1——拉格朗日恒等式》
《圆锥曲线不联立系列2——柯西不等式》
《圆锥曲线不联立系列3——参数方程与万能代换》
《圆锥曲线不联立系列4——点差法与中点弦》
《圆锥曲线不联立系列5——定比分点与定比点差》
《圆锥曲线不联立系列6——截距点差法》
《圆锥曲线不联立系列7——轴点差于非轴点差》
《圆锥曲线不联立系列8——对偶构造》
《圆锥曲线不联立系列9——对偶构造之假平移》
《圆锥曲线不联立系列10——斜率双用》
《圆锥曲线不联立系列11——定比插参》
《圆锥曲线不联立系列12——曲线系》
该篇素材选自刚考的广东福建2025届高三12月金太阳大联考第18题。该题并不难（原题如下），只是可以利用斜率同构的解法解决，因此今天借此题来讲一下圆锥曲线不联立系列的斜率同构技巧
一、此题的斜率同构解法 二、斜率同构技巧概述 三、斜率同构在模考中的应用 四、斜率同构在高考中的应用
一、此题的斜率同构解法
【广东福建25届高三12月金太阳大联考T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知 是椭圆 （ ）上的一点，且 的离心率为 ，斜率存在且不过点 的直线 与 相交于 两点，直线 与直线 的斜率之积为 .
（1） 求 的方程；
（2） 证明： 的斜率为定值；
（3） 设 为坐标原点，若 与线段 (不含端点) 相交，且四边形 的面积为 ，求 的方程.
解析：
（1）
（2） 令 ， ，则
设直线
由 联立得
将 代入椭圆中 得
其中， 是关于 的式子，但用不到，不用求
同理（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 ， 为同构方程
的两根（关注微信公众号：Hi数学派）
解得 ，或
但当 时，直线 过点 ，矛盾，舍去
（3） （详解群内分享）
二、斜率同构技巧概述
斜率同构技巧一般是针对具有同等地位的两条直线（或多条直线），并且已知两直线的斜率关系（通常是和积关系，比如斜率和为定值、斜率积为定值，或是关于和、积的等式），通过构造关于两直线斜率的二次方程，由于两直线具有同等地位，两斜率都是此二次方程的根，最后再利用根与系数的关系建立等式方程。
具有同等地位的直线一般是有共同的交点 ，即共交点的直线系，这样利用点斜式可以将这些直线用相同的结构表示出来， . 比如，（关注微信公众号：Hi数学派）在圆锥曲线问题中经常出现的“共点引双线”模型。
另外，斜率同构技巧一般是用到联立的，但其可以选择直线（一次）与直线（一次）联立，避开直线（一次）与曲线（二次）联立，起到减少运算的效果。因此将其收录到《圆锥曲线不联立系列》中！
注： 关于圆锥曲线中同构、同解方程的问题可以参考小派之前的推文《1263期 T8联考圆曲同构与同解方程应用（补充）》
三、斜率同构在模考中的应用
【24届济洛平许第三次质检T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知 是椭圆 上的动点，过原点 向圆 引两条切线，分别与椭圆 交于 ， 两点（如图所示），记直线 ， 的斜率依次为 ，，且
（1） 求圆 的半径 ；
（2） 求证： 为定值；
（3） 求四边形 的面积的最大值.
解析：
（1） 设直线 ， 的方程分别为 ，
则 ， 是方程 ，即方程
的两根.
当 时，圆 与 轴相切，直线 （或 ）的斜率不存在，矛盾.
于是由韦达定理得
化简得
解得
（2）
（3） 四边形 的面积的最大值为
注： （2）（3） 证明参考小派之前的推文《图解共轭直径12性质》
【典例1】（关注微信公众号：Hi数学派）已知 为椭圆 上异于长轴端点的两点， 为椭圆 的左顶点，设直线 ， 的斜率分别为 ，若 ，判断直线 是否过定点 . 若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由 .
解析： 如图 2，设直线 ， 的方程分别为
设直线 的方程为
联立直线 ， 的方程
得
代入椭圆方程得
同理可得（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 是一元二次方程
的两根
由韦达定理得
解得 或 （舍去）
所以直线 的方程为 ，恒过定点 .
四、斜率同构在高考中的应用
【2023 年全国乙卷T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．
（1） 求 的方程．
（2） 过点 的直线交 于点 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为定点．
解析：
（1） .
（2） 令 ， ， ，则
由 联立得
由 联立得（关注微信公众号：Hi数学派）
将 代入椭圆中 得
即
化简得
同理
所以 ， 为同构方程
的解
从而 ，所以 中点为定点 .
注： 这道题极点极线背景可以参考小派之前的推文《1080期 打脸！高考连续考两年的模型还是考啦！》
【2017 全国I卷理科T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆 ，四点 ，，， 中恰有三点在椭圆上.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 设直线 不经过 点且与 相交于 两点，若直线 与直线 的斜率之和为 ，证明： 过定点.
解析：
（1）
（2） 令 ， ，则
当直线 斜率存在时，设
由 联立得
将 代入椭圆中 得
同理（关注微信公众号：Hi数学派）
所以 ， 为同构方程
的两根
代入直线 得
则直线 过定点
当直线 斜率不存在时讨论一下即可。
