1282期打破信息差概率篇1——无记忆性+期望递推

该篇是打破信息差概率篇的第一篇，从几何分布及其一个重要的性质无记忆性讲起。几何分布在新教材中未涉及，但在老教材中出现过！另外在模考中，几何分布经常出现，比如浙江温州25届高三一模第68题，就是几何分布典型的例子，其次几何分布无记忆的特性也经常出现，比如24届武汉四调T19等。这种无记忆的特性有个很好用的技巧，期望可以用递推写！

• 一、往期回顾（可略过）
• 1、导数篇18讲+补充1讲
• 2、解三角形篇
• 二、几何分布与无记忆性
• 1、定义
• 2、期望
• 3、方差
• 4、无记忆性
• 5、几何分布模考中的典例
• 三、几何分布无记忆性的期望递推
• 四、马氏链无记忆性的期望递推
• 五、另一些可以用期望递推的摸球模型

一、往期回顾（可略过）

这种新定义已经被很多老师专家以及关注高考的爱好者喷过了，因为这种套壳新定义仅仅便于某些老师出题之外再无什么优点；另外就是这种题对于了解高等数学的同学非常有利（无论是知识技巧，还是考场上的心态），这就给学生一种错误的导向——应多去了解高等数学内容！（关注微信公众号：Hi数学派）
这虽然是不对的，但是对于学生而言，又改变不了某些老师就是喜欢出这些东西，就比如最近模考中就不乏这些类型的压轴题。因此，同学们在学有余力之下，多看一眼这类高等数学背景就行，突破信息差，让自己在考试中看到这东西心态稳一点。

1、导数篇18讲+补充1讲

《打破信息差系列1——泰勒展开》
《打破信息差系列2——三大中值定理》
《打破信息差系列3——极值点3大充分条件》
《打破信息差系列4——洛必达法则》
《打破信息差系列5——帕德逼近（参考图书+所有帕德题）》
《打破信息差系列6——刘维尔定理》
《打破信息差系列7——斯特林（Stirling）公式》
《打破信息差系列8——函数凸凹性》
《打破信息差系列9——拟合和插值》
《打破信息差系列10——曲率与曲率半径》
《打破信息差系列11——双曲正余弦函数》
《打破信息差系列12——Hadamard 不等式》
《打破信息差系列13——牛顿法与牛顿迭代》
《打破信息差系列14——切比雪夫最佳逼近》
《打破信息差系列15——切比雪夫函数与余弦n倍角展开》
《打破信息差系列16——不动点迭代收敛定理》
《打破信息差系列17——Hölder连续（李普希兹条件）》
《打破信息差系列18——二元函数与偏导数》

注： 以上各讲并没有内容上的递进关系或是学习的先后顺序，即每一讲内容基本上是独立的，看某一讲并不需要一定先看完排序靠前的，也就是各讲序号仅表明该讲编写出来的时间先后罢了。另外，后续如有考卷出现新的涉及导数高等数学背景的，再续更打破信息差系列——导数篇。

《补充篇1——同构与朗博W函数背景》

2、解三角形篇

该篇是第5篇，前面内容参看链接↓↓↓
《打破信息差系列19——解三角形与射影几何》
《打破信息差系列20——解三角形与梅氏定理》
《打破信息差系列21——阿波罗尼斯定理（中线长定理）》
《打破信息差系列22——解三角形与托勒密定理》
《打破信息差系列23——布洛卡点（角）》
未完待更……

二、几何分布与无记忆性

1、定义

几何分布： 若随机变量 的分布列为

其中 ， ，则称   服从几何分布 .

因为

所以定义是合理的 . 容易计算（关注微信公众号：Hi数学派）

下面举一个关于几何分布常用模型的例子，

注： 这里定义是合理的指的是概率的规范性 ，可以参考小派之前的推文《六大常见的离散型分布》

【几何分布典例】 在独立重复试验中，设每次试验事件 发生的概率为 ， 以 记件 首次发生时所需的试验次数，说明 服从几何分布 .

解析：

记 前 次试验 不发生，第 次 发生

由独立性知

即 服从几何分布 .

2、期望

几何分布的期望：

证明： 由于

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

记 ，则

所以

注： 以上借助的是武汉四调题目中所给的 无穷级数和定义式所求解的，其实也可以这样解，更简单，但用到了无穷级数和

所以

3、方差

几何分布的方差：

证明： 先计算

又 ，所以

所以

4、无记忆性

无记忆性： 取自然数值的随机变量 服从几何分布的充要条件是   具有无记忆性（关注微信公众号：Hi数学派）

对任意的自然数

证明：

（1）充分性：

设 服从几何分布，则对任意的 有

（2）必要性：

设 ，

由知，对任意的 ，有 ，且 .

解该方程得 .

由 知 . 记 ，，则对任意的 ，有（关注微信公众号：Hi数学派）

得证 服从几何分布 .

这表明，在做了 次试验事件 未发生的条件下，再做 次试验事件 仍未发生的概率 等于 从开始算起直接做 次试验事件 未发生的概率 . 也就是说，前面做的 次试验被忘记了 . 这主要是由于是独立重复试验，前面试验的结果对后面试验结果的概率没有影响造成的。

5、几何分布模考中的典例

【浙江温州25届高三一模T8】 （关注微信公众号：Hi数学派）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算 “到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数 . 在一次游戏中，飞机距终点只剩 步 ，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 . 则

解析： 由题意得，无论飞机在何处，离终点的距离只可能是 ，，，，

也就是无论前面掷了多少次骰子（都没到达终点），只要最后再掷一次骰子，总有 的概率到达终点

即

即 服从几何分布

由几何分布的期望公式可得（关注微信公众号：Hi数学派）

注： 该题还可以利用期望递推来做，假设已经投掷了 次骰子都没到达终点

则再投掷 次骰子到达终点的概率为 ，没到达的概率为 ，即在第 次投掷骰子才能到达

所以

解得

这种期望递推的操作主要利用的是几何分布无记忆性的性质。存在无记忆性的概率模型都可以利用概率递推来做，比如同学们已经熟知的马尔可夫链模型，有关概率递推的技巧典例可以参考小派之前的推文《传球问题的期望用递推做该会了！》，《1197期 条件期望，全期望公式听过吗？》

三、几何分布无记忆性的期望递推

【24届武汉四调T19】 已知常数 ，在成功的概率为 的伯努利试验中，记 为首次成功时所需的试验次数， 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 对于正整数 ，求 ，并根据 求 ；
（2） 对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 ，现提供一种求 的方式：先进行第一次试验 ，若第一次试验失败 ，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助 ，可以认为后续期望仍是  ，即总的试验次数为 ；若第一次试验成功 ，则进行第二次试验 ，当第二次试验成功时 ，试验停止 ，此时试验次数为 ，若第二次试验失败 ，相当于重新试验 ，此时总的试验次数为
（i） 求 ；
（ii） 记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ，求

解析：

（1） 详解可以参考小派之前的推文《1033期【概率】武汉四调概率为什么可以这样做？• 几何分布无记忆性》

（2）  （i） （利用题目所给的方法可以参考小派之前的推文）递推求法同 （ii）

（ii）

期望 表示已经有最后的 次连续成功

当下一次再成功时即有连续 次成功，则总试验次数为 ，概率为 ；

当下一次不成功时，因为出现试验失败对出现连续 次成功毫无帮助 ，可以认为后续期望仍是  ，即总的试验次数为 ，概率为

所以

则  

设

对比 式可得

又

是以 为首项，以 为公比的等比数列

则 （关注微信公众号：Hi数学派）

【24届镇海中学高三上期末T17】 某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费 元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ，若连续99次未抽中，则第 次必中新皮肤．已知 ，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为 ，（元）（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 ， 的分布列；
（2） 求 ；
（3） 若 ，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：．）

解析：

（1） （3） 详解参考标答，群内分享

（2）   服从几何分布，可以理解成 【24届武汉四调T19】 的情况

则期望满足

解得

【数学奥林匹克高中训练题】 有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行.最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为_________

解析： 记最多抛掷 次时该游戏抛掷次数的数学期望为 .

易知 .

考虑 时的情形，最多投掷 次，分以下三种情形讨论

（1） 第一次投郑为反面，概率为 ，变为 的情形，数学期望为

（2） 第一、二次投掷均为正面，概率为 ，变为 的情形，数学期望为

（3） 第一次投郑为正面，第二次为反面,游戏停止，概率为 ，数学期望为 2 .

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

因为

所以递推可得

故答案为

【23届江苏盐城中学高三三模T20】 2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久 运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.
（1） 已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有 发子弹，甲每次打靶的命中率均为 ，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2） 若某种型号的枪支弹巢中一共可装填 发子弹，现有一枪支其中有 发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行 次射击后，记弹巢中空包弹的发数为 ，
① 当 时，请直接写出数学期望   与 的关系；
② 求出 关于 的表达式.

解析： （1） 详解群内分享

（2）

① 第 次射击后，包含两种情况：第 次射出空包弹和第 次射出实弹

第 次射击前，剩余空包弹的期望是

若第 次射出空包弹，则此时对应的概率为

因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为

若第 次射出实弹，则此时对应的概率为 ，此时空包弹的数量为

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

② 当 时，弹巢中有 发空包弹，即

由 得

当 时，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列

而当 时， 满足上式

四、马氏链无记忆性的期望递推

有关马尔科夫链的内容可以参考小派之前的推文《1050期 从高考和新教材看全概率问题》，《976期 新试卷结构 • 概率 • 马尔科夫链模型》，《815期 马尔科夫链为什么这么热，新教材已经给出了答案！》

【浙南名校联盟 2024 高二下期末联考T19】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程 . 该过程要求具备 “无记忆” 的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关（关注微信公众号：Hi数学派）
甲、乙两口袋中各装有 个黑球和 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 .
（1） 求 ， 的值；
（2） 根据马尔科夫链的知识知道 ，其中 为常数，同时 ，请求出 ；
（3） 求证： 的数学期望 为定值 .

解析：
（1） ， （详解群内分享）

（2） （详解群内分享）

（3） 记第 次操作后，甲口袋中黑球个数为 ，则乙口袋中黑球个数为

则第 次操作时，

从甲口袋中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从乙口袋中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

则第 次操作后， 甲盒子中黑球个数 满足

第 次操作时（关注微信公众号：Hi数学派）

从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

即

数列 是常数列，即

【24届深圳中学预测卷T14】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型, 也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程 . 该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定, 在时间序列中它前面的事件均与之无关 . 甲口袋中各装有 个黑 球和 个白球，乙口袋中装有 个黑球和 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，  重复进行 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 ，恰有 个黑球的概率为 . 则 的 值是______； 的数学期望 是______.

解析：

（1） 第一次操作后，口袋甲中恰有 个黑球只可能有两种情况：

① 从口袋甲中摸出的是白球，则从口袋乙中摸出的也必须是白球，这种情况的概率为

②  从口袋甲中摸出的是黑球，则从口袋乙中摸出的也必须是黑球，这种情况的概率为

（2） （以下利用期望递推做，概率递推可以参考标答，群内分享）

记第 次操作后，口袋甲中黑球个数为 ，则口袋乙中黑球个数为

则第 次操作时（关注微信公众号：Hi数学派）

从口袋甲中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从口袋乙中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

则第 次操作后， 口袋甲中黑球个数 满足

第 次操作时，

从口袋甲中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从口袋乙中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

即

数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列

【24届贵州黔西南州部分学校联考9月考T21】 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 ，，，…次状态无关，即 .
已知甲盒子中装有 个黑球和 个白球，乙盒子中装有 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为 ，恰有 个黑球的概率为 ，恰有 个黑球的概率为 （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 ， 和 ，；
（2） 证明： 为等比数列（ 且 ）；
（3） 求 的期望（用 表示， 且 ）.

解析：

（1） （2） 详解参考标答，群内分享

（3） 记第 次操作后，甲盒中黑球个数为 ，则乙盒中黑球个数为

则第 次操作时，

从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

则第 次操作后， 甲盒子中黑球个数 满足

第 次操作时（关注微信公众号：Hi数学派）

从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

即

数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列

即

【“宜荆荆恩”24届高三起点9月考T21】 甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的 个黑球和 个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复 次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为 ，甲盒中恰有 个黑球的概率为 ，恰有3个黑球的概率为 （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求 ；
（2） 设 ，证明： ；
（3） 求 的数学期望 的值.

解析：

（1） （2） 详解参考标答，群内分享

（3）

记第 次操作后，甲盒中黑球个数为 ，则乙盒中黑球个数为

则第 次操作时，

从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

则第 次操作后， 甲盒子中黑球个数 满足

第 次操作时，

从甲盒中取出黑球的个数服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

从乙盒中取出黑球的个数也服从超几何分布，则取出黑球个数的期望为

即

数列 是常数列，即

五、另一些可以用期望递推的摸球模型

【2011清华自招】 已知袋中有 个球，其中 个白球， 个黑球，这些球除颜色外完全相同。从袋中取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不放回，并且另外补一个白球放入袋中。重复上述过程 次后，袋中白球的个数记为 （关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 求随机变量 ，的概率分布及数学期望
（2） 求随机变量 的数学期望 关于 的表达式

解析：

（1） （2）

设第 次取完球后的白球个数为 ，所以黑球的个数为

则第 次取球时，分为两种情况

① 取出的是白球，概率为 ，取完后白球则有

② 取出的是黑球，概率为 ，取完后白球则有

所以第 次的期望为

设

对比上式可得

第一次后， 可能取

数列 是以 为首项， 为公比的等比数列

即

【24届温州高三上期末（1.5模）T18】 现有标号依次为 ，，…， 的 个盒子，标号为 号的盒子里有 个红球和 个白球，其余盒子里都是 个红球和 个白球 ．现从 号盒子里取出 个球放入 号盒子，再从 号盒子里取出 个球放入 号盒子，…，依次进行到从 号盒子里取出 个球放入 号盒子为止（关注微信公众号：Hi数学派）
（1） 当 时，求 号盒子里有 个红球的概率；
（2） 当 时，求 号盒子里的红球的个数 的分布列；
（3） 记 号盒子中红球的个数为 ，求 的期望 ．

解析：

（1） （2） 详解参考标答，群内分享

（3） （标答利用的是概率递推写的，以下利用期望递推解答）

从 号盒子里取出 个球放入 号盒子之前，

号盒子中总共有 个球，设红球个数为 ，则白球个数为  

从 号盒子取两个球，取出红球的个数服从超几何分布，则取出红球个数的期望为